函数不等式导数
09年高考文科函数不等式导数试题分析与展望
1.高考要求及命题特点 1.1高考要求(“理解”、“会”层面)
(一)函数
会求一些简单函数的定义域和值域;理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数;了解简单的分段函数, 并能简单应用;理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数的奇偶性,会判断简单的函数的奇偶性;理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值;会运用函数图像理解和研究函数的性质;理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念,会解决与指数函数性质有关的问题;理解对数的概念及其运算性质;理解对数函数的概念;能解决与对数函数性质有关的问题;理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法;能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数;能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
(二)不等式
会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;能用平面区域表示二元一次不等式组;会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
(三)导数及其应用
理解导数的几何意义;能根据导数定义,求函数y =c , y =x , y =x , y =1/x 的导数;能利用表给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次) ;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次) ;会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次) ;会利用导数解决某些实际问题。
2
1.2命题特点
2009年新课程各省(市) 高考文科函数、不等式和导数部分考查内容,分值分布情况
从最近几年浙江和全国其他省市新课程数学高考文科卷的考查内容及分值分布情况来看,函数、不等式和导数部分内容在高考中的考查可以说是全方位的,从考查要求来讲,它
不仅有基础知识、基本技能的考查,更有数学思想、数学本质的考查,从考查内容来看,它不仅有函数知识内部的显性考查,更有与其他主干知识(数列、不等式、解析几何、导数等)相结合的隐性考查.综观近几年浙江和全国其他省市新课程数学高考文科卷函数、不等式和导数部分的考查内容,我们可以发现:函数解析式、函数的定义域、函数值域与最值、函数的图象与性质等知识内容以及函数与方程、分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法都是函数部分内容高考考查的热点.
对函数概念考查内容包括根据条件求函数解析式、求已知函数的定义域、值域、最值等,考查的函数以二次函数、三次函数、指对数函数、含绝对值符号函数、分段函数为主.
2.考题分析
09年新课程文科高考数学(9份卷)在数列中,选择、填空有9题,解答题也有8题。 2. 1 选择、填空题分析比较
(1)求定义域
(09
福建文)下列函数中,与函数
y =1x
有相同定义域的是( A )
A .
f (x ) =ln x B. f (x ) =
C.
f (x ) =|x | D. f (x ) =e x
(2)求函数值
(09山东文)(7) 定义在R 上的函数
f (x ) 满足
⎧log 2(4-x ), x ≤0
,则f (3)的值f (x ) =⎨
f (x -1) -f (x -2), x >0⎩
为( B ) (A )-1 (B) -2 (C) 1 (D) 2 (09辽宁文)(6) 已知函数
1
f (x ) 满足:x ≥4,则f (x ) =() x ;当x <4时f (x ) =f (x +1) ,则
2
1113
f (2+log 23) =(A ) (A ) (B ) (C ) (D )
241288
(3)求反函数
(09广东文)4.若函数
y =f (x ) 是函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数,且f (2)=1,则
1
2x
C .
f (x ) =( A ) A .log 2x B .
(4)指、对数函数 (09江苏文)10.
已知a log 1x D .2x -2
2
=
x
f (x ) =a ,若实数m , n 满足f (m ) >f (n ) ,则m , n 0.3
1⎛1⎫
(09天津文)5. 设a =log 12, b =log 1, c = ⎪,则( B )
⎝2⎭323
A. a (09辽宁文)(11)下列4个命题
11
p 1:∃x ∈(0,+∞),() x ㏒1/3x
23111
p 3:∀x ∈(0,+∞),() x >㏒1/2x p 4:∀x ∈(0,),() x
232
其中的真命题是( D ) (A )p 1, p 3 ( B )p 1, p 4 (C )p 2, p 3 (D )p 2, p 4
(5)函数性质
(09浙江文)8.若函数A .∀a ∈R ,C .∃a ∈R ,
f (x ) =x 2+
a
(a ∈R ) ,则下列结论正确的是( C ) x
f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数B .∀a ∈R ,f (x ) 在(0,+∞) 上是减函数 f (x ) 是偶函数 D .∃a ∈R ,f (x ) 是奇函数
(09山东文)(12)已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x -4)=-f (x ), 且在区间[0,2]上是增函数,则( D ) (A) f (-25)
f (x ) =min {2x , x +2,10-x } (x≥0), 则
f (x )的最大值为( C ) (A ) 4 (B ) 5 (C ) 6 (D ) 7
(6)函数图象及特征
(09安徽文)8. 设a
(09福建文)8. 定义在R 上的偶函数
2
(x -b ) 的图像可能是( C )
f (x )的部分图像如右图所示,则在
(-2, 0)上,下列函数中与f (x )的单调性
不同的是( C ) A .
y =x 2+1 B. y =|x |+1
x
⎧⎧2x +1, x ≥0⎪e , x ≥o
C. y =⎨ D .y =⎨
3-x x +1, x
e x +e -x
(09山东文)(6)函数y =x 的图象大致为( A )
e -e -x
(7)零点问题 (09福建文)若函数以是( A ) A.
则f (x )可f (x )的零点与g (x )=4x +2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25,
1⎫⎛
f (x )=4x -1 B. f (x )=(x -1) 2 C. f (x )=e x -1 D. f (x )=ln x -⎪
2⎭⎝
x
(09山东文)(14)若函数f (x ) =a -x -a (a >0,且a ≠1) 有两个零点, 则实数a 的取值范围是 (1,+∞. )
(8)解不等式
(09安徽文)2. 若集合A =
{x |(2x +1)(x -3)
A .{1,2,3} B. {1,2} C. {4,5} D. {1,2,3,4,5}
⎧x 2-4x +6, x ≥0(09天津文)8. 设函数f (x )=⎨,则不等式f (x )>f (1)的解集是( A )
x +6, x
A. (-3,1) (3, +∞) B. (-3,1) (2, +∞) C. (-1,1) (3, +∞) D. (-∞, -3)
(1,3)
(09辽宁文)(12)已知偶函数围是( A )
1
f (x ) 在区间[0, +∞) 单调增加,则满足f (2x -1) <f () 的x 取值范
3
) (C)(
1212,) (D) [,) 232322
(09天津文)16. 若关于x 的不等式(2x -1)
(A )(
) (B) [
_(
12
,3312,33
2549, ) _ 916
(9)基本不等式求最值 (09天津文)设x , y ∈R , a
11
>1, b >
1,若a x =b y =3, a +b =,则+的最大值为(C )
x y
31
A.2 B. C. 1 D.
22
(10)线性规划问题
⎧x ≥0
⎪
(09安徽文)3. 不等式组⎨x +3y ≥4所表示的平面区域的面积等于( C )
⎪3x +y ≤4⎩
3 4
⎧x +y -1≥0⎪
(09福建文)9. 在平面直角坐标系中,若不等式组⎨x -1≤0(α为常数)所表示的平面区域内的
⎪ax -y +1≥0⎩
A.
B.
C.
D.
面积等于2,则a 的值为( D ) A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
322343
⎧x +y ≥2, ⎪
(09浙江文)13.若实数x , y 满足不等式组⎨2x -y ≤4, 则2x +3y 的最小值是 4 .
⎪x -y ≥0, ⎩⎧2x +y ≥4, ⎪
(09海南文)设x , y 满足⎨x -y ≥1, 则z =x +y ( B )
⎪x -2y ≤2, ⎩
(A )有最小值2,最大值3 (B )有最小值2,无最大值 (C )有最大值3,无最小值 (D )既无最小值,也无最大值
⎧x +y ≥3⎪
(09天津文)设变量x,y 满足约束条件⎨x -y ≥-1,则目标函数z =2x +3y 的最小值为(B)
⎪2x -y ≤3⎩
A. 6 B. 7 C.8 D.23
(09江苏文)(16)某公司租赁赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产生5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件. 已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元. 现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为 元. (9)导数、切线 (09天津文)10. 设函数
f (x )在R 上的导函数为f ' (x ),且2f (x )+xf ' (x )>x 2,下面的不等式
f (x )>0 B. f (x )x D. f (x )
在R 上恒成立的是( A )A.
14⎤'⎡2'3
>0 【解】当x ≥0时,2xf (x ) +x f '(x ) >x ,所以⎡x f (x ) ⎤>x ,所以x f (x ) -x ⎢⎥⎣⎦4⎣⎦
2
3
2
14⎤'14⎡22
⎢44⎥⎣⎦14121212
所以x f (x ) ≥x ,所以f (x ) ≥x ,从而排除了B ,D ,再取f (x ) =x +,排除了C ,从
4444
而选A 。
(09福建文)15. 若曲线
f (x )=ax 2+ln x 存在垂直于y
轴的切线,则实数
a 的取值范围是
{a |a
x +x +tan θ,其中θ∈⎢0, ⎥,则导数f '(1)的3⎣12⎦
取值范围是( D ) A. [-2,2]
B.
C. ⎤
D. ⎤
⎦⎦
(09安徽文)9.
设函数
f (x ) =
(10)导数单调性、极值 (09广东文)8.函数
A .
f (x ) =(x -3) e x 的单调递增区间是( D )
(0,3) C .(1,4) D .(2, +∞) (-∞,2) B .
. f (x ) =x 3-15x 2-33x +6的单调减区间为 (-1, 1x 2+a
(09辽宁文)(15)若函数f (x ) =在x =1处取极值,则a = 3
x +1(09江苏文)3. 函数
总之,09年高考文科的选择、填空题中,函数部分中主要考查了函数的基本概念、基本性质和基本的计算、解题方法,这些属于函数部分的基本练习,好多题目都在课本上找到影子,是课本上的试题的变形与创新,充分体现了高考数学试题源于课本的命题原则。由于新课程增加“零点”内容,福建、山东相应也出现了,实际上浙江在09年样卷中已经出现了。反函数浙江卷一般情况不会考,而广东只出现求“函数y =a
x
(a >0,且a ≠1)的反函
数”,是了解层面,不会超出要求。象浙江、辽宁卷中函数与量词的结合是新课程的一个特色,实际上量词与向量结合在浙江09年样卷中已经出现过。几年来浙江文科对基本不等式的考查,在选择、填空中只有08年出现一个简单的选择题,要求不高。线性规划05年开始每年必考一题,除08年浙江文科第10题较难外,其他几年都与课本题目相当。浙江文科卷中导数没在解答题中出现时,选择或填空中必会出现一道题,但难度不大,如05、06、07
n
年,同时04年到目前为止的6年来所有题目,基本初等函数只考了f (x ) =c ,f (x ) =x
(n=1,2,3),的导数,没有涉及指对数三角函数的导数。浙江关于函数性质的考查,文科与理科的要求不一样,在理科卷中出现较难的或有新颖性的题目,在文科卷中就不出现,可以说文科以课本要求为主,这一点要明确。 2. 2 解答题分析比较
32
(09浙江文)21.已知函数f (x ) =x +(1-a ) x -a (a +2) x +b (a , b ∈R ) .
(I )若函数f (x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a , b 的值; (II )若函数f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调,求a 的取值范围. ...
【评注】本题是试卷的倒数第2题,主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用、零点问题、解不等式等基础知识,考查分类讨论的数学思想方法,同时考查抽象概括能力和
创新意识。导数只涉及多项式函数不超过三次,表面上涉及2只参数,实际上很容易得出b=0,只有1个参数讨论,第(2)小题涉及导函数是二次函数的零点讨论。浙江省涉及导数有关的函数题目,都在倒数第2题如04,08,09年,没有涉及导数的二次函数问题都在第后1题,如05、06、07年。而04、08、09都是涉及导函数是二次函数的讨论,类型差不多,也只有1个参数的讨论。以下列举新课程各省文科数学高考试题。
(09山东文)已知函数
1
f (x ) =ax 3+bx 2+x +3,其中a ≠0.
3
(Ⅰ) 当a,b 满足什么条件时,f(x)取得极值? (Ⅱ) 已知a>0,且f(x)在区间(0,1)上单调递增,试用a 表示b 的取值范围.
13
x +ax 2+bx , 且f '(-1) =0 3
(I )试用含a 的代数式表示b ; (Ⅱ)求f (x ) 的单调区间; (Ⅲ)令a =-1,设函数f (x ) 在x 1, x 2(x 1
(09福建文)已知函数
f (x ) =
f (x ) =x 3-3ax 2-9a 2x +a 3.
1'
(1)设a =1,求函数f (x )的极值;(2)若a >,且当x ∈[1,4a ]时,f (x ) ≤12a 恒成立,试
4
确定a 的取值范围.
1322
(09天津文)设函数f (x )=-x +x +(m -1)x (x ∈R ),其中m >0
3
(1)当m =1时,求曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率;(2)求函数f (x )的单调区间与
(09海南文)已知函数极值;(3)已知函数
f (x )
有三个互不相同的零点
0, x 1, x 2
,且
x 1
,若对任意的
x ∈[x 1, x 2], f (x )>f (1)恒成立,求m 的取值范围。
a 为实数,函数f (x ) =2x 2+(x -a ) |x -a |. (1)若f (0)≥1,求a 的取值范围;(2)求f (x ) 的最小值;
(09江苏文)设(3)设函数h (x ) =(09辽宁文)设
(不需给出演算步骤) 不等式h (x ) ≥1的解集. f (x ), x ∈(a , +∞) ,直接写出....
f (x ) =e x (ax 2+x +1) ,且曲线y =f (x )在x =1处的切线与x 轴平行。
π
f(cosθ) -f(sinθ)
2
(09安徽文)已知函数f (x )=x -+1-a ln x ,a >0,w (Ⅰ)讨论f (x ) 的单调性; (Ⅱ)设a=3,
x
2
求f (x ) 在区间[1,e ]上值域,其中e=2.71828„是自然对数的底数。
(09广东文)已知二次函数y =g (x ) 的导函数的图像与直线y =2x 平行,且y =g (x ) 在x =-1处
g (x )
取得极小值m -1(m ≠0) 。设函数f (x ) =。
x
(1)若曲线y =f (x ) 上的点p 到点Q
(0,2) m 的值; (2)k (k ∈R ) 如何取值时,函数y =f (x ) -kx 存在零点,并求出零点。
由此可以看到,09辽宁、安徽、广东的试卷,涉及指数、对数分式函数等,跟浙江省不一样,其他省份如山东、福建、海南、天津试题与浙江试题有很多类似,之于江苏试题没有涉及导数的题目与浙江05、06、07年类似。
3.命题展望
浙江省文科高考数学卷,函数、不等式、导数作为支撑高中数学知识体系的重点知识,它始终是高考命题的重点内容,会有3—5道小题,一道解答题。对试题的设计,主要还是会围绕着几个基本初等函数以及对这些函数通过串联、组合而得到的简单的复合函数来展开.以二次函数、指对数函数、分式型函数、含绝对值符号函数、分段函数及由这些函数复合而成的复合函数等具体函数为载体,来考查函数的概念、函数的图象与性质;与方程、不等式、解析几何、导数等主干知识相结合,考查函数知识的综合应用能力;在基础知识考查的同时检测考生对知识中所蕴涵的数学思想和方法的理解与掌握程度等,仍将是2010年数学高考命题的热点.函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想以及换元法、待定系数法等思想与方法的考查将始终保持一定的力度.
选择、填空的函数、不等式和导数的题目难度一般不超过课本要求,不会出现象09天津第10题、第16题,福建15题要求的题,象海南12题已经作为最难的题了,线性规划仍然会出一道小题,浙江省函数解答题是必考题,仍然以两种类型考虑,一种是与导数结合的三次含参问题,另一种是二次函数讨论的问题。指数、对数函数中的参数讨论不会深入,参数讨论重点在二次函数上。新增的内容如量词、类比可以与函数不等式结合形成的小题目,函数不等式的应用可能成为亮点。另外09浙江解析几何用到不等式作为工具,也是一个热点。
4.复习建议
一般情况下文科学生的数学基础不好,因此,第一轮复习要明确考试说明的基础上,以课本要求进行复习,如对函数的三要素,单调性、奇偶性、最值等基础知识,如只要把课本中的例题、习题弄明白,把基础夯实,才能真正学掌握、灵活运用,达到事半功倍的效果。 指数、对数知识在高考要求不高,历届中最难的就是04年第9题,但被各种复习资料左右后,练习的题目远远超过要求。文科对抽象函数几乎不要求,没有必要化多少时间。基本不等式只控制在“两个字母,一次证得”的要求,之于考重点的学生在学考模块中另作要求。 关于二次函数与方程解不等式讨论的内容,第一轮复习其目的是为高考压轴题打基础的,只要文科中基础较好的同学要重视,可将届高考文科题第(2)小题抽出后改编为练习题。
附浙江省历年文科所考过的函数不等式导数的题目
一、线性规划 (05年) 10.设集合A =阴影部分) 是( A
)
{(x , y )|x , y ,1-x -y 是三角形的三边长},则A 所表示的平面区域(不含边界的
⎧x +y -2≤0, ⎪
(06年) (9)在平面直角坐标系中,不等式组⎨x -y +2≥0, 表示的平面区域的面积是(B)
⎪y ≤0⎩
(A) (B)4 (C) (D)2
⎧x -2y +5≥0
5⎪
07年(14)z =2x +y 中的x 、y 满足约束条件⎨3-x ≥0则z 的最小值是___-______.
3⎪x +y ≥0
⎩
⎧x ≥0, ⎪
(08年)(10)若a ≥0, b ≥0,且当⎨y ≥0, 时,恒有ax +by ≤1,则以a ,b 为坐标点P (a , b ) 所
⎪x +y ≤1⎩
1ππ
形成的平面区域的面积等于(C ) (A ) (B ) (C )1(D )
242
二、不等式 (06年) (4)已知log 1
2
m
2
(A) n<m < 1 (B) m<n < 1 (C) 1< m <n (D) 1 <n <m
x +1
>0的解集是 {x |x } 2 。 x -2
2
(06年) (20)设f (x ) =3ax +2bx +c ,若a +b +c =0,f(0)f(1)>0,求证:
b
(Ⅰ) 方程 f (x ) =0有实根。 (Ⅱ) -2<<-1;
a
2
(III )设x 1, x 2是方程f(x)=0的两个实根,则
. ≤|x 1-x 2|< (难度系数0.32)
33
(08年)(5)a ≥0, b ≥0, 且a +b =2,则(C)
112222
(A )ab ≤ (B )ab ≥ (C )a +b ≥2 (D )a +b ≤3
22
(06年) (11)不等式三、函数 (04年)(9)若函数(A )
f (x ) =log a (x +1)(a >0, a ≠1) 的定义域和值域都是[0,1],则a=(D)
12 (B ) 2 (C ) (D )2 32(04年)(12)若f (x ) 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数,且方程x -f [g (x )]=0有 实数解,则g [f (x )]不可能是(B) ...
(A )x
2
+x -
1111222
(B )x +x + (C )x - (D )x + 5555
⎡⎛1⎫⎤
f (x )=x -1-x ,则f ⎢f ⎪⎥=( D )
⎣⎝2⎭⎦
11
(A) - (B)0 (C) (D) 1
22
2x x
y =(x ∈R , 且x ≠1) ____. (05年) 11.函数y =的反函数是_____x ∈R , 且x ≠-2()
x +21-x
2
(05年) 20.已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称,且f (x )=x +2x .
(05年) 4.设
(Ⅰ) 求函数g (x )的解析式;(Ⅱ) 解不等式g (x )≥ (Ⅲ) 若h (x )=g (x )-λf
f (x )-x -1;
(难度系数0.36) (x )+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
⎧a , a ≥b
(06年) (10)对a,b ∈R, 记max{a,b}=⎨,函数f (x )=max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R) 的最小值是( C )
b , a <b ⎩
13
(A)0 (B) (C (D)3
22x 2
(x ∈R ) 的值域是___[0,1])_______. 07年(11)函数y =2
x +1
22
07年(22)已知f (x ) =|x -1|+x +kx .
f (x ) =0的解; (II)若关于x 的方程f (x ) =0在(0,2) 上有两个解x 1,x 2,求k 的 (I)若k =2,求方程取值范围,并证明1x +1
1x 2
(08年)(11)已知函数f (x ) =x 2+|x -2|,则f (1)=______2___。
四、导数
(04年)(21)已知a 为实数,f (x ) =(x 2-4)(x -a )
(Ⅰ)求导数f '(x ) ;
(Ⅱ)若f '(-1) =0,求f (x ) 在[--2,2] 上的最大值和最小值;
(难度系数0.53) (Ⅲ)若
f (x ) 在(--∞,--2)和[2,+∞]上都是递增的,求a 的取值范围。
(05年) 9.函数y =ax 2+1的图象与直线
y =x 相切,则a =( B )
(A)
1
8
(B)14 (C)12 (D)1
(06年) (6)
f (x ) =x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是(C )
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
07年(15)曲线
y =x 3-2x 2-4x +2在点(1,一3) 处的切线方程是_____5x +y -2=0______ (08年)(21)已知a 是实数,函数f (x ) =x 2
(x -a ) 。
(Ⅰ)若f '
(1)=3,求a 的值及曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求f (x ) 在区间[0, 2]上的最大值。 (难度系数0.16, 实际上是0.14)
.