选做专题(一)--常见的参数方程
选做专题（一）常见的参数方程
【要点梳理】
(1)直线的参数方程
⎧⎪x ＝x 0＋t cos α，
若直线过(x 0，y 0) ，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为⎨(t 为参数) ，其中参数t 的几何
⎪y ＝y 0＋t sin α⎩
意义是直线上定点P 0到动点P 的有向线段P 0P 的数量，若动点P 在定点P 0的上方，则t >0；若动点P 在定点P 0
的下方，则t
⎧⎪x ＝x 0＋r cos θ，
若圆心在点M 0(x 0，y 0) ，半径为r ，则圆的参数方程为⎨(θ为参数) ．
⎪y ＝y 0＋r sin θ⎩⎧x ＝a cos θ，⎪x 2y 2
(3)椭圆1(a >b >0)的参数方程为⎨(θ为参数) ．
a b ⎪y ＝b sin θ⎩
a ⎧⎪x ＝cos θ，x 2y 2
(4)双曲线1(a >0，b >0)的参数方程为⎨(θ为参数) ．
a b
⎪⎩y ＝b tan θ
2
⎧x ＝2pt ，⎪2
⎨(5)抛物线y ＝2px (p >0)的参数方程为(t 为参数) ． ⎪⎩y ＝2pt
【利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题】
⎧⎪x ＝x 0＋t cos α，
经过点P (x 0，y 0) ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ．若A ，B 为直线l 上两点，
⎪y ＝y 0＋t sin α⎩
其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0＝
t 1＋t 2t 1＋t 2(2)|PM |＝|t 0|＝⎪|PB |＝|t 1·t 2|. 2⎪2；(3)|AB |＝|t 2－t 1|；(4)|P A |·
注意：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t |是直线上任一点
M (x ，y ) 到M 0(x 0，y 0) 的距离，即|M 0M |＝|t |.
⎧x ＝1－22，
1．(2014·江苏，21C ，10分，易) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，
2
⎩y ＝2＋2直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
⎧x ＝5＋23t ，
2．(2015·湖南) 已知直线l ：⎨(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
1
⎩y ＝3＋2t
曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M 的直角坐标为(5，，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．
⎧⎪x ＝1＋4cos θ
3．(2016·东北三校联考) 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨(θ为参数) ，直线l 经过
⎪y ＝2＋4sin θ⎩
π
定点P (3，5) ，倾斜角为.
3
(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．
π
4．(2016·山西忻州一模) 在直角坐标平面内，直线l 过点P (1，1) ，且倾斜角α＝以坐标原点O 为极点，x 轴的
4非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．
5．(2016·贵州六校联考) 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ
⎧x ＝－2＋22t ，＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4) 的直线l ：⎨(t 为参数) 与曲线C 相交于M ，N 两点．
2
⎩y ＝－42t
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．
6．(2014·安徽) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的
⎧⎪x ＝t ＋1，长度单位．已知直线l 的参数方程是⎨(t 为参数) ，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截
⎪y ＝t －3⎩
得的弦长．
7．(2015·湖北，16，中) 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的
⎧x ＝t －t ，极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ) ＝0，曲线C 的参数方程为⎨(t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，求
1
⎩y ＝t 1
t
|AB |．
8．(2014·福建) 已知直线l 的参数方程为⎧⎪⎨x ＝a －2t ，⎧⎪x ＝4cos θ，⎪⎩y ＝－4t (t 为参数) ，圆C 的参数方程为⎨⎪⎩
y ＝4sin θ(θ为参数) ．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．
(2014·课标Ⅰ) 已知曲线C ：x 2y 2
9．⎧⎪x ＝2＋t ，491，直线l ：⎨⎪⎩
y ＝2－2t (t 为参数) ．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
选做专题（一）常见的参数方程答案解析
【要点梳理】
(1)直线的参数方程
⎧⎪x ＝x 0＋t cos α，
若直线过(x 0，y 0) ，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为⎨(t 为参数) ，其中参数t 的几何
⎪y ＝y 0＋t sin α⎩
意义是直线上定点P 0到动点P 的有向线段P 0P 的数量，若动点P 在定点P 0的上方，则t >0；若动点P 在定点P 0
的下方，则t
⎧⎪x ＝x 0＋r cos θ，
若圆心在点M 0(x 0，y 0) ，半径为r ，则圆的参数方程为⎨(θ为参数) ．
⎪y ＝y 0＋r sin θ⎩⎧x ＝a cos θ，⎪x 2y 2
(3)椭圆1(a >b >0)的参数方程为⎨(θ为参数) ．
a b ⎪y ＝b sin θ⎩
a ⎧⎪x ＝cos θ，x 2y 2
(4)双曲线1(a >0，b >0)的参数方程为⎨(θ为参数) ．
a b
⎪⎩y ＝b tan θ
2
⎧x ＝2pt ，⎪2
⎨(5)抛物线y ＝2px (p >0)的参数方程为(t 为参数) ． ⎪⎩y ＝2pt
【利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题】
⎧⎪x ＝x 0＋t cos α，
经过点P (x 0，y 0) ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ．若A ，B 为直线l 上两点，
⎪y ＝y 0＋t sin α⎩
其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0＝
t 1＋t 2t 1＋t 2(2)|PM |＝|t 0|＝⎪|PB |＝|t 1·t 2|. 2⎪2；(3)|AB |＝|t 2－t 1|；(4)|P A |·
注意：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t |是直线上任一点
M (x ，y ) 到M 0(x 0，y 0) 的距离，即|M 0M |＝|t |.
⎧x ＝1－22，
1．(2014·江苏，21C ，10分，易) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，
2
⎩y ＝2＋2直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
⎧x ＝1－22t ，2
2⎫2⎫⎛⎛解：将直线l 的参数方程⎨代入抛物线方程y ＝4x ，得2＋＝41－t ， 2⎭2⎭⎝⎝2
⎩y ＝2＋2t
2
解得t 1＝0，t 2＝－82. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝82.
⎧x ＝5＋23t ，
2．(2015·湖南) 已知直线l ：⎨(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
1
⎩y ＝3＋2t
曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)设点M 的直角坐标为(5，3) ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ. ①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①， 即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0. ②
⎧x ＝5＋23t ，(2)将⎨代入②，得t ＋5
1
⎩y ＝3＋2t
2
3t ＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.
⎧⎪x ＝1＋4cos θ
3．(2016·东北三校联考) 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨(θ为参数) ，直线l 经过
⎪y ＝2＋4sin θ⎩
π
定点P (3，5) ，倾斜角为.
3
(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．
1
x ＝3＋t ，
2
22
解：(1)曲线C 的标准方程为(x －1) ＋(y －2) ＝16，直线l 的参数方程为(t 为参数) ．
3
y ＝5＋2
⎧⎨⎩
(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的标准方程可得t 2＋(2＋33) t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA |·|PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.
π4．(2016·山西忻州一模) 在直角坐标平面内，直线l 过点P (1，1) ，且倾斜角α＝以坐标原点O 为极点，x 轴的
4非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．
222
解：(1)∵ρ＝4sin θ，∴ρ＝4ρsin θ，则x ＋y －4y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.
⎧x ＝1＋22t ，
(2)由题意，得直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ．
2
y ＝1＋⎩2
22
2⎫⎛2⎫2⎫⎛⎛将该方程代入圆C 的方程x ＋y －4y ＝0，得1＋＋1＋t －41＋t ＝0， 2⎭⎝2⎭2⎭⎝⎝
2
2
即t 2＝2，∴t 1＝2，t 2＝－2. 即|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.
5．(2016·贵州六校联考) 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ
⎧x ＝－2＋22t ，＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4) 的直线l ：⎨(t 为参数) 与曲线C 相交于M ，N 两点．
2
y ＝－4t ⎩2
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．
⎧⎪x ＝ρcos θ，
解：(1)把⎨代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)，
⎪⎩y ＝ρsin θ
⎧x ＝－2＋22t ，由⎨(t 为参数) ，消去t 得x －y －2＝0，
2
y ＝－4＋t ⎩2
∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.
⎧x ＝－2＋22，(2)将⎨(t 为参数) 代入y ＝2ax ，整理得t －2
2
y ＝－4＋⎩2
2
2
2(4＋a ) t ＋8(4＋a ) ＝0.
设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a ) ，t 1·t 2＝8(4＋a ) ，
∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2) 2＝(t 1＋t 2) 2－4t 1·t 2＝t 1·t 2，∴8(4＋a ) 2－4×8(4＋a ) ＝8(4＋a ) ，∴a ＝1. 6．(2014·安徽) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的
⎧x ＝t ＋1，⎪长度单位．已知直线l 的参数方程是⎨(t 为参数) ，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截
⎪y ＝t －3⎩
得的弦长为( 14 B ．14 C. 2 D ．22
【答案】D 知，直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2) 2＋y 2＝4.
|2－0－4|2
∵圆心(2，0) 到直线x －y －4＝0的距离为d ＝2，∴弦长为24－（2）＝22. 1＋（－1）7．(2015·湖北，16，中) 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的
⎧x ＝t －t ，极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ) ＝0，曲线C 的参数方程为⎨(t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则
1
⎩y ＝t t
|AB |＝________．
1
x ＝t －，⎧x ＋y ＝2t ，
t ⎪22
【解析】 由题可知直线l 为y ＝3x . ①又∵∴⎨2∴y －x ＝4. ②
1y －x ＝.
t ⎩y ＝t ＋，⎪t
1
⎧
⎨⎩
2⎛232，⎛－2，－32⎫，
联立①②得8x 2＝4，x ＝. ∴A ，B 两点坐标为
22⎝22⎭⎝2∴|AB |＝（2）2＋（32）2＝20＝25.
⎧⎧⎪x ＝a －2t ，⎪x ＝4cos θ，
8．(2014·福建) 已知直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，圆C 的参数方程为⎨(θ为参数) ．
⎪⎪y ＝－4t y ＝4sin θ⎩⎩
(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．
解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.
|－2a |
(2)因直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝4，解得－25≤a ≤25.
5
⎧⎪x ＝2＋t ，x 2y 2
9．(2014·课标Ⅰ) 已知曲线C ：1，直线l ：⎨(t 为参数) ．
49⎪y ＝2－2t ⎩
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
【解析】 (1)曲线C 的参数方程为⎧⎪⎨x ＝2cos θ，
⎪⎩
y ＝3sin θ(θ为参数) ．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ) 到l 的距离为d ＝5
5
θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝
d sin 30°
＝255|5sin(θ＋α) －6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3
当sin(θ＋α) ＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为225
5.
当sin(θ＋α) ＝1时，|PA |取得最小值，最小值为25
5