直线.平面垂直关系
第 课 直线、平面垂直的判定及其性质
【教学目标】 一、知识与目标
1、使学生掌握直线和平面、平面和平面垂直的定义及判定定理与性质定理; 2、掌握求直线与平面所成角,平面与平面所成二面角的方法;
3、培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论. 二、能力目标
在实践中通过观察、想象、思考培养学生思维能力与空间想象力. 三、情感目标
培养学生空间想象能力,让学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知. 【教学重点】
直线与平面、平面与平面垂直的判定定理与性质定理的运用. 【教学难点】
线与面、面与面垂直的证明及线面角、二面角的求法. 【知识点梳理】
1、直线与平面垂直的判定定理与性质定理
(1)判定定理
①定义:直线l与平面内的任意一条直线都垂直,则l.
②一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 若am,an,m,n,mnA,则a. (2)性质定理
垂直于同一个平面的两直线平行. 若a,b,则a//b. 2、垂线、斜线与射影
(1)垂线:自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
(2)斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线 叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫斜足;斜线上一点与斜足间的线段 叫这点到这个平面的斜线段.
(3)射影:过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影.
直线与平面平行,直线在平面内的射影是一条直线.直线与平面垂直射影是点.斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. 3、直线和平面所成角
定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角. 一直线垂直于平面,所成的角是直角;一直线平行于平面或在平面内,所成角为0角. 斜线与平面所成角(0,
);直线和平面所成角范围:0, 22
4、平面与平面垂直的判定定理与性质定理
(1)判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 若a,a,则. (2)性质定理
两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 若a,ab,ab,a,则a. 5、二面角的平面角的定义:
以二面角的棱上作意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所形成的角就叫二面角的平面角.
6、常见的作二面角的平面角的方法
(1)定义法:
在二面角的棱a上任取一点O为端点,在面α、β内分别 引垂直于棱a的射线OA、OB,则∠AOB就是二面角的平面角.
(2)作垂直面法:
过二面角的棱上任一点O,作平面γ与该棱垂直(作棱的垂直面), 平面γ与平面α、β分别交于OA、OB,则∠AOB就是二面角的平面角.
(3)三垂线定理法:
在二面角α-a-β的面α内任取一点A,过点A分别作 棱a的垂线AO,作面β的垂线AB,连OB;或过A作AB⊥β, 过B作BO⊥a,连AO,则∠AOB就是二面角的平面角. 【典型例题】 题型一、线面垂直
例题1:如图,直角△ABC所在平面外一点S,且SASBSC,点D
β
B
A
(1)求证:SD平面ABC;
(2)若ABBC,求证:BD面SAC.
【解析】证明:(1)∵SASC,D为AC的中点,∴SDAC.
连结BD.在Rt△ABC中,则ADDCBD.
A
∴△ADS≌△BDS,∴SDBD.
又ACBDD,∴SD面ABC.
(2)∵BABC,D为AC的中点,∴BDAC. 又由(1)知SD面ABC, ∴SDBD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线. ∴BD面SAC. 【点评】线线垂直转化成线面垂直.
变式1:如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD. 【解析】证明:(1)连接AC,AN,BN,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,
在Rt△PAC中,N为PC中点,∴AN=PC.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB, 从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线,∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形, 又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD. (2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD. ∵四边形ABCD为矩形. ∴AD=BC, ∴PA=BC. 又∵M为AB的中点,∴AM=BM. 而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM. 又N为PC的中点,∴MN⊥PC.
由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.
【点评】(1)在直角三角形中斜边中线等于斜边一半.(2)利用线面垂直的判定定理与性质定理,实现线线垂直与面面垂直的相互转化. 题型二、平面与平面垂直
例题2:设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 (填序号). ①m⊥,n,m⊥n⊥ ②∥,m⊥,n∥m⊥n ③⊥,m⊥,n∥m⊥n ④⊥,∩=m,n⊥mn⊥ 【答案】②
【点评】①可能与平行,③m可能与n平行,④可能n.
变式2:已知a、b是两条不重合的直线,、、是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
1
2
12
①若a⊥,a⊥,则∥; ②若⊥,⊥,则∥;
③∥,a,b,则a∥b; ④若∥,∩=a, ∩=b,则a∥b. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①④
【点评】②可能⊥;③可能a、b异面. 例题3:判断下列命题的真假:
(1)两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线,必垂直于另一个平面. (2)两个平面垂直,分别在两个平面内且互相垂直的两直线,一定分别与另一平面垂直; (3)两平面垂直,分别在这两个平面内的两直线互相垂直. 【解析】(1)若该点在两个平面的交线上,则命题是错误的,
如图,正方体A1C中,平面AC平面AD1,平面AC平面AD1AD, 在AD上取点A,连结AB1,则AB1AD,
即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直,但AB1与平面ABCD不垂直, 其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内. 可以看出:线在面内这一条件的重要性;
(2)该命题注意了直线在平面内,但不能保证这两条直线都与棱垂直, 如图,在正方体A1C中,平面AD1平面AC,AD1平面ADD1A1,
AB平面ABCD,且ABAD1,
即AB与AD1相互垂直,但AD1与平面ABCD不垂直;
(3)如上图,正方体A1C中,平面ADD 1A1平面ABCD,AD1平面ADD1A1,AC平面ABCD,
AD1与AC所成的角为60,即AD1与AC不垂直.
【点评】必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件:(1)线在面内,(2)线垂直于交线,从而可得出线面垂直.
例题4:如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面
EDB
⊥平面ABCD.
【解析】证明:连结AC、BD,交点为F,连结EF,
∴EF是△SAC的中位线,∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD. 又EF平面BDE, ∴平面BDE⊥平面ABCD.
【点评】要证面面垂直,需证线面垂直.这里需要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD ”与需证结论“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁.
变式3:如图,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=AC=2BD,M是AE的中点,求证:①DE=DA;②平面BDM⊥平面ECA;③平面DEA⊥平面ECA. 【解析】证明:①取EC的中点F,连结DF.
∵CE⊥平面ABC,
∴CE⊥BC.易知DF∥BC,∴CE⊥DF. ∵BD∥CE,∴BD⊥平面ABC. 在Rt△EFD和Rt△DBA中,∵EF=
1
CE=DB,DF=BC=AB, 2
∴Rt△EFD≌Rt△DBA,故DE=AD.
②取AC的中点N,连结MN、BN,则MNCF. ∵BDCF,∴MNBD, ∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN. 又∵AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA.
又∵BN平面MNBD,∴平面BDM⊥平面ECA. ③∵DM∥BN,BN⊥平面ECA,∴DM⊥平面ECA. 又∵DM平面DEA,∴平面DEA⊥平面ECA. 题型三、直线与平面所成角
例题5:如图,在正方体AC1中,求面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角.
A1O,连结OB, 【解析】连结AC11与B1D1交于
∵DD1AC平面BB1D1D, 11,B11D1AC11, ∴AO∴A1BO是A1B与对角面BB1D1D所成的角, 在RtA1BO中,A1O
1
A1B, ∴A1BO30. 2
【点评】根据直线与平面所成角的定义找到线面角.
变式4:如图,已知AP⊥BP,PA⊥PC,∠ABP=∠ACP=60º,PB=PC=面PBC所成角的余弦值.
【解析】∵AP⊥BP,PA⊥PC,∴AP⊥PBC
连PD,则PD就是AD在平面PBC上的射影 ∴∠PDA就是AD与平面PBC所成角 又∵∠ABP=∠ACP=60º,PB=PC=∴PD=
2BC,D是BC中点,求AD与平
A
C
2BC,D是BC中点,
731BC, PA=6BC ∴AD=BC 22
PD217
AD31
∴cosPDA
∴AD与平面PBC所成角的余弦值为题型四:二面角
217
. 31
例题6:正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点.求二面角ABD1P的大小. 【解析】过P作BD1及AD1的垂线,垂足分别是E、F,连结EF、PB
∵AB面AD1,PF
面AD1, ∴ABPF, 又PFAD1,∴PF面ABD1. 又∵PEBD1,∴EFBD1, ∴PEF为所求二面角的平面角.
∵RtD1DA∽RtDPFA,∴
PFAP
.
DD1AD1
而AP
12,DD11,AD,∴. PF2124
在PBD1PB1中,PD∵PEBD1,∴BE在RtPEB中,PE
. 2
13
. BD
22PB2BE2
2
, 2
在RtPEF中,sinPEF
PF1
, ∴PEF30. PE2
【点评】求二面角关键是确定它的平面角,按定义在二面角的棱上任取了点,在二个半平面上分别作棱的垂线,方法虽简便,但因与其他条件没有联系,要求这个平面角一般是很不容易的,所以在解题中不大应用.在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法,如图考虑到AB垂直于平面AD1,BD1在平面AD1上的射影就是AD1.再过P作AD1的垂线PF,则PF面ABD1,过F作D1B的垂线FE,PEF即为所求二面角的平面角了.
变式5:如图,平面角为锐角的二面角EF,A∈EF,AG,∠GAE = 45°,若AG与所成角为30°,求二面角EF的平面角.
【分析】首先在图形中作出有关的量,AG与所成的角(过G到的垂线段GH,连AH,∠GAH = 30°),二面角EF的平面角,注意在作平面角是要试图与GAH建立联系,抓住GH⊥这一特殊条件,作HB⊥EF,连接GB,利用相关关系即可解决问题. 【解析】作GH⊥于H,作HB⊥EF于B,连结GB,
则CB⊥EF,∠GBH是二面角的平面角. 又∠GAH是AG与所成的角, 设AG = a
,则GBGH1
,GH
a,sinGBH. GB2
所以∠GBH = 45°. 【方法与技巧总结】
1、三垂线定理:在平面内一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 如图:PA,PO分别是平面的垂线和斜线,AO是PO在平面的射影,a,aAO.则aPO; 2、三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个 平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 如图:PA,PO分别是平面的垂线和斜线,AO是PO在平面 的射影,a, aPO.则:aAO;
3、关于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互转化:
【巩固练习】
1.给出下列四个命题:
①若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直; ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线与平面垂直;
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线; ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线. 其中正确的命题共有 个.
2.已知m,n是两条不同直线,,,是三个不同平面,下列正确命题的序号是. ①若m∥,n∥,则m∥n ②若⊥,⊥,则∥ ③若m∥,m∥,则∥ ④若m⊥,n⊥,则m∥n
3.设P是60°的二面角—l—内一点,PA⊥平面,PB⊥平面,A、B为垂足,PA=4,PB=2
,则
P
AB的长为.
4.a、b表示直线,,,表示平面.
①若∩=a,b,a⊥b,则⊥;
②若a,a垂直于内任意一条直线,则⊥; ③若⊥,∩=a, ∩=b,则a⊥b;
④若a不垂直于平面,则a不可能垂直于平面内无数条直线; ⑤若a⊥,b⊥,a∥b,则∥.
上述五个命题中,正确命题的序号是 .
ABBC,CDDA, E,F,G分别是CD,DA,AC的中点,5.如图, 在空间四边形ABCD中,求证:平面BEF
平面BGD.
6.四面体ABCD中,AC=BD,E、F分别是AD、BC的中点,且EF=平面ACD.
2
AC,∠BDC=90°.求证:BD⊥2
7.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角
形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点,
(1)求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB;
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论.
【课后作业】
1.①两平面相交,如果所成的二面角是直角,则这两个平面垂直;
②一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面一定垂直; ③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直,则这两个平面垂直; ④一平面与两平行平面中的一个垂直,则与另一个平面也垂直;
⑤两平面垂直,经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面. 上述命题中,正确的命题有 个. 2.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 ( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
3.设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是( )
A.m,n,mn B.//,m,n//mn C.,m,n//mn D.,m,nmn
4.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形, 侧棱PA=a,PB=PD=2a,则它的5个面中,互相垂直的面有 对.
5.如图所示,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,M、N分别是AB、PC的中点.求证:MN⊥平面PCD.
6.如图所示,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC为正三角形,D、E分别是BC、CA的中点.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAC;
(2)如何在BC上找一点F,使AD∥平面PEF?并说明理由.
7.如图所示,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是
直
角
梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC//
11
AD,BE//FA,G、H分别为FA、FD的中点. 22
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么? (3)设AB=BE,证明:平面ADE⊥平面CDE.
【拓展练习】
1.如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M、N分别是A1B1、AB的中点.
(1)求证:C1M⊥平面A1ABB1; (2)求证:A1B⊥AM;
(3)求证:平面AMC1∥平面NB1C; (4)求A1B与B1C所成的角.
2.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P—CD—B为45°.
(1)求证:AF∥平面PEC; (2)求证:平面PEC⊥平面PCD;
(3)设AD=2,CD=22,求点A到平面PEC的距离.
3.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. (1)求证:PB⊥DM;
(2)求BD与平面ADMN所成的角.
4.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC,PC的中点.
(1)证明:AE⊥PD;
(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为
6
,求二面角E—AF—C的余弦值. 2
【参考答案】
1、 巩固练习答案
1.答案 2 2.答案 ④ 3.答案 27 4.答案 ②⑤ 5.证明:ABBC,G为AC中点,所以ACBG.
同理可证ACDG, ∴ AC面BGD.
又易知EF//AC,则EF面BGD.
又因为EF面BEF,所以平面BEF平面BGD. 6.证明:如图所示,取CD的中点G,连接EG、FG、EF.
∵E、F分别为AD、BC的中点, ∴EG//
12
11
AC,FG//BD. 22
又AC=BD,∴EG=FG=AC.
∴在△EFG中,EG2+FG2=AC2=EF2. ∴EG⊥FG. ∴BD⊥AC. 又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.
7.【解析】(1)证明 在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BG⊥平面PAD.
(2)证明:连接PG,因为△PAD为正三角形, G为AD的中点,得PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD, PG平面PGB,BG平面PGB,PG∩BG=G,
所以AD⊥平面PGB,因为PB平面PGB,所以AD⊥PB. (3)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明如下:
取PC的中点F,连接DE、EF、DF,
在△PBC中,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE,
1
2
而FE平面DEF,DE平面DEF,EF∩DE=E, 所以平面DEF∥平面PGB, 因为BG⊥平面PAD,所以BG⊥PG 又因为PG⊥AD,AD∩BG=G, ∴PG⊥平面ABCD,而PG平面PGB, 所以平面PGB⊥平面ABCD, 所以平面DEF⊥平面ABCD. 2、课后作业答案
1.4 2.D 3.D 4.5
5.证明:如图所示,取PD的中点E,连接AE、NE,
∵N、E分别为PC,PD的中点,∴NE为△PCD的中位线, ∴NE∥CD且NE=12
CD.
又M为AB的中点,∴AM∥CD且AM=12
CD, ∴AM∥NE且AM=NE,
∴四边形AENM为平行四边形,∴AE∥MN. 又△PAD为等腰三角形,∴AE⊥PD,∴MN⊥PD. 连接PM、MC,设AD=a,AB=2b,
∴PM2=a2+b2,CM2=a2+b2, ∴CM=PM,∴MN⊥PC. ∵PC∩PD=P,∴MN⊥平面PCD.
6.(1)证明 因为PA⊥底面ABC,所以PA⊥BE.
又因为△ABC是正三角形,且E为AC的中点,所以BE⊥CA. 又PA∩CA=A,所以BE⊥平面PAC.
因为BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面
PAC.
(2)解 取CD的中点F,则点F即为所求. 因为E、F分别为CA、CD的中点,所以EF∥AD. 又EF平面PEF,AD平面PEF, 所以AD∥平面PEF.
7.(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GH//
又BC//
1
AD. 2
1
AD,故GH//BC.所以四边形BCHG是平行四边形. 2
(2)解:C、D、F、E四点共面. 理由如下: 由BE//
1
AF,G是FA的中点知,BE//GF,所以EF∥BG. 2
由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面. 又点D在直线FH上,所以C、D、F、E四点共面.
(3)证明:如图,连接EG,由AB=BE,BE//AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形,故BG⊥EA. 由题设知,FA、AD、AB两两垂直,故AD⊥平面FABE, 因此EA是ED在平面FABE内的射影,根据三垂线定理,BG⊥ED. 又ED∩EA=E,所以BG⊥平面ADE. 由(1)知,CH∥BG,所以CH⊥平面ADE. 由(2)知CH平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE. 3、拓展练习
1.【解析】(1)证明:方法一:
由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1, 又∵C1M平面A1B1C1,∴AA1⊥MC1.
又∵C1A1=C1B1,M为A1B1中点,∴C1M⊥A1B1. 又A1B1∩A1A=A1,∴C1M⊥平面AA1B1B.
方法二:
由直棱柱性质得:平面AA1B1B⊥平面A1B1C1,交线为A1B1,又∵C1A1=C1B1,M为A1B1的中点, ∴C1M⊥A1B1于M.
由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B. (2)证明:由(1)知C1M⊥平面A1ABB1, ∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA. ∵AC1⊥A1B,MC1⊥A1B,MC1∩AC1=C1,
∴A1B⊥平面AMC1,又AM平面AMC1,∴A1B⊥AM.
(3)证明 :方法一:由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形,M、N分别是A1B1、AB的中点,∴AN//B1M. ∴四边形AMB1N是平行四边形.∴AM∥B1N. 连接MN,在矩形AA1B1B中有A1B1// AB. ∴MB1//BN,∴四边形BB1MN是平行四边形. ∴BB1//MN,又由BB1//CC1,知MN//CC1. ∴四边形MNCC1是平行四边形.∴C1M//CN.
又C1M∩AM=M,CN∩NB1=N, ∴平面AMC1∥平面NB1C.
方法二:由(1)知C1M⊥平面AA1B1B,A1B平面AA1B1B,∴C1M⊥A1B. 又∵A1B⊥AC1,而AC1∩C1M=C1,∴A1B⊥平面AMC1. 同理可证,A1B⊥平面B1NC. ∴平面AMC1∥平面B1NC. (4)方法一:由(2)知A1B⊥AM,
又由已知A1B⊥AC1,AM∩AC1=A,∴A1B⊥平面AMC1. 又∵平面AMC1∥平面NB1C,∴A1B⊥平面NB1C.
又B1C平面NB1C,∴A1B⊥B1C. ∴A1B与B1C所成的角为90°. 方法二:由直棱柱的性质有平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB, 又CA=CB=C1A1,N为AB的中点,∴CN⊥
AB.
∴CN⊥平面AA1B1B.
∴CB1在侧面AA1B1B上的射影是NB1.
又由(2)知A1B⊥AM,由(3)知B1N∥AM,∴A1B⊥B1N,CN⊥A1B,
∴A1B⊥平面B1NC,又B1C平面B1NC,∴A1B⊥B1C. ∴A1B与B1C所成的角为90°. 2.【解析】(1)证明 :取PC的中点G,连接EG、FG,
∵F为PD的中点,∴GF//
1
CD. 2
∵CD//AB,又E为AB的中点,∴AE//GF. ∴四边形AEGF为平行四边形.
∴AF∥GE,且AF平面PEC,因此AF∥平面PEC. (2)证明 PA⊥平面ABCD,则AD是PD在底面上的射影 又ABCD为矩形,∴CD⊥AD,则CD⊥PD.
因此CD⊥AF,∠PDA为二面角P-CD-B的平面角,即∠PDA=45°. F为Rt△PAD斜边PD的中点,AF⊥PD,PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD. 由(1)知AF∥EG.∴EG⊥平面PCD. ∵EG平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD.
(3)解:由(1)(2)知AF∥平面PEC,平面PCD⊥平面PEC, 过F作FH⊥PC交PC于H,则FH⊥平面PEC.
∴FH的长度为F到平面PEC的距离,即A到平面PEC的距离.
在△PFH与△PCD中,∠P为公共角,∠FHP=∠CDP=90°,∴△PFH∽△PCD,∴
2
×22=1. 4
FHPF
=. CDPC
∵AD=2,PF=2,PC=CD2PD2=8=4,∴FH=∴A到平面PEC的距离为1.
3.【解析】(1)证明 ∵N是PB的中点,PA=PB, ∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°,∴AD⊥
AB.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.
∵PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,∴AD⊥PB. 又∵AD∩AN=A,∴PB⊥平面ADMN. ∵DM平面ADMN,∴PB⊥DM. (2)解:连接DN, ∵PB⊥平面ADMN,
∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角, 在Rt△BDN中,
1
2AB
BN1
sin∠BDN===, ∴∠BDN=30°,
BD22AB
即BD与平面ADMN所成的角为30°.
4.【解析】(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,
可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点,所以AE⊥BC. 又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE. 而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A, 所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD, 所以AE⊥PD.
(2)解:如图所示,设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH、EH, 由(1)知,AE⊥平面PAD,
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中,AE=,
所以,当AH最短时,∠EHA最大,
即当AH⊥PD时,∠EHA最大.
此时,tan∠EHA=AE6==, AHAH2
因此AH=2.又AD=2,
所以∠ADH=45°,所以PA=2.
因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC, 所以,平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC, 过O作OS⊥AF于S,连接ES,
则∠ESO为二面角E—AF—C的平面角. 在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=
3
23, 2AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点,
32, 4在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=
39, =448又SE=EO2SO2=
3SO在Rt△ESO中,cos∠ESO===, SE530
4
即所求二面角的余弦值为
. 5
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