运用均值不等式解题的变形技巧
运用均值不等式解题的变形技巧
利用均值不等式解题的关键是凑 “定和”
和“定积”，此时往往需
要采用“拆项、补项、平衡系数”等变形技巧找到定值，再利用均值不等式来求解，使复杂问题简单化，收到事半功倍的效果．
一、 拆项
4
例1（原人教版课本习题）已知n>0，求证：n +2≥3
n
证明：因为 n>0
所以
n+
4n n 4=++≥=3 22n 22n 当且仅当n=2 时等号成立．
二、 拆幂
例2（1993年全国高考题）如果圆柱轴截面的周长l 为定值，那么 圆柱体积的最大值是（ ）
1⎛l ⎫⎛l ⎫⎛l ⎫⎛l ⎫
（A ） ⎪π (B) ⎪π (C) ⎪π (D) ⎪π
4⎝4⎭⎝6⎭⎝3⎭⎝4⎭
3
3
3
3
解：设圆柱底面半径为r , 高为h , 则2h +4r =l , 即h +2r =
⎛l +l +h ⎫⎛l ⎫
v =πr h =πr ⋅r ⋅h ≤π ⎪= ⎪π, 故选(A)．
⎝3⎭⎝6⎭
2
3
3
l 2
三、 升幂
⎡π⎤
例3 设 x ∈⎢0, ⎥, 求y=sin2x ⋅cos x 的最大值．
⎣2⎦
⎡π⎤
解: x ∈⎢0, ⎥, ∴ y=sin2x ⋅cos x ≥0
⎣2⎦
∴ y2=sin 4x ⋅cos 2x
11
=4(sin 2x ⋅sin 2x ⋅cos 2x)
22
1212
sin x+sin x+cos2x
4 ≤4() 3 =
327
∴ y≤
1
, 当且仅当 sin 2x=cos 2x , 2
即 tan2x=2时等号成立, 故y max =
4、整体代换
11
例4
已知x , y ∈R +, 且x +2y =1,
+≥3+x y
证明： x , y ∈R +, x+2y=1,
11112y x ∴+ =(x+2y) (+) =3++
x y x y x y ≥3+ 当且仅当
=3+
2y x ＝ 即 x =1, y =1x y 5、平衡系数
例5 用总长14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5米，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
解：设容器底面短边长为x 米，则另一边长为（x+0.5）米，并设
14.8-4x -4(x +0.5)
容积为 y 米3, 其中容器的高为=3.2-2x
4
从而 y =x (x +0.5)(3.2-2x ) (0
1
⋅3x ⋅(2x +1)(8-5x ) 15
3
1⎡3x +(2x +1) +(8-5x ) ⎤
≤⎢=1.8⎥15⎣3⎦
当且仅当 3x =2x +1=8-5x 即 x=1时取等号，这时高为3.2-2⨯1=1.2所以，高为 1.2 米时容积最大, 最大容积为 1.8米3.
6、分离取倒数 例6 求函数y=
x+1
(x>-1)的最大值.
(x+5)(x+2)
解: y =
x +1x +11
==2
(x +5)(x +2) (x +1) +5(x +1) +4(x+1)++5x+1
x >-1∴ x +1>0∴
14=(x +1+) +≥5=59y x +1
1
∴y ≤
9
41
当且仅当 x +1= 即 x=1 时取等号, 故y m a x =
x +19
7、换元 例7
求函数y=
的最大值
2x+5
解: 令 t = 则 x =t 2-2 (t ≥0), y= 当 t=0时, y=0; 当 t>0时, y=
12t+
1t ≤
=4
t 2t 2+1
(t ≥0)
1 当且仅当 2t=, 即 t=t 23 ∴ x =-时函数取最大值24
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定 三等”，同时还要注意一些变形技巧，灵活运用均值不等式．