泰勒公式的展开及其应用论文_周波

本科毕业论文（设计）

Taylor 公式的展开及其应用

学 院：数学与统计学院

专 业：数学与应用数学

班 级：应数121班

学 号：1207010258 学生姓名：周波 指导教师：吴奎霖老师

2016年06月10日

本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所完成。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。

特此声明。

论文（设计）作者签名： 日期：

目录

摘要 .................................................. I ABSTRACT ............................................. II 前言 ................................................. II

第一章、预备知识 ...................................... 1

1.1TAYLOR 公式 ................................................ 1

1.2不常见的TAYLOR 余项 ....................................... 4

1.3TAYLOR 公式展开的唯一性 .................................... 5

1.4常见函数的展开式 .......................................... 6

1.5常见展开式的拓展 .......................................... 6

第二章、TAYLOR 公式在数学分析上的应用 .................. 8

2.1利用TAYLOR 公式求极限 ..................................... 8

2.2利用TAYLOR 公式作导数的中值估计 ........................... 9

2.3利用TAYLOR 公式求极值 .................................... 10

2.4利用TAYLOR 公式求曲线的渐近方程 .......................... 11

2.5利用TAYLOR 公式证明不等式 ................................ 14

第三章、在数学计算方面的应用.......................... 17

3.1利用TAYLOR 公式求近似值 .................................. 17

3.2TAYLOR 公式导出牛顿迭代法和欧拉法. ........................ 18

3.3判定迭代法的收敛速度. .................................... 19

第四章、在复变函数中的应用 ........................... 22

4.1复变函数的LAURENT 展开 ................................... 22

4.2积分的计算 ............................................... 22

4.3TAYLOR 公式判断正项级数的敛散性 ........................... 24

结束语 ............................................... 26 参考文献 ............................................. 27 致谢 ................................................. 28

Taylor 公式的展开及其应用

摘要

James Gray在1671年已经发现了Taylor 公式的特例，不过当时并未明确提出, 在41年后著名的英国数学家Brook ·Taylor 在他的一封信里首次公诉了这个公式, 并计算出了这个多项式和真实的函数值之间的误差,Taylor 公式也由此而得名. 在1797年之前Lagrange 最先提出了带有余项的现在形式的Taylor 定理. 伴随着科技的发展，越来越多的计算需要进行近似化或模拟化，合理的运用Taylor 公式可以大大的减小这其中所产生的误差。

本文主要通过引入数学分析中的知识点Taylor 展开的思想，采取举例分析的方法，对Taylor 公式展开的特性及高等数学各个方面的应用进行了分析讨论(利用Taylor 公式求极限、计算近似值、证明不等式、求曲线的渐近线方程、计算留数、判断级数的收敛和发散性、作导数的中值估计、计算极值)

关键词：Taylor 公式；极限；近似值；不等式；渐近线

Abstract

James Gray had found the special case of Taylor Formula in 1671, but he didn’t clearly put it forward. Forty-one years later, famous British Mathematician Brook·Taylor made it known to the public in a letter and figure out the random error between the polynomial and its real functional value, from which Taylor Formula got its name. Before 1979, Lagrange is the earliest person to put forward the present form of Taylor Theorem with remainder. With the scientific and technological development, more and more calculations need to be

approximated and simulated, which causes larger errors, but the reasonable use of Taylor Formula can greatly improve it.

With illustrations, this paper analyzes and discusses the features of expanded Taylor

Formula and applications in different areas in advanced mathematics by introducing expanded thought knowledge in mathematical analysis. (Using Taylor Formula to seek the limit, compute approximate value, prove in-equation, find curve asymptotic equations, compute residue, estimate convergence and divergence of series, evaluate derivative median and compute extreme value.)

Key words: Taylor Formula; the limit; approximate value; in-equation; curve asymptotic line

前言

早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。直至Taylor 展开思想的提出：利用n 次多项式来逼近函数f , 而多项式具有形式简单，易于计算等优点。我们已经知道，在函数的运算中，多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Taylor 公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Taylor 公式成为高等数学的核心内容之一。本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的Taylor 公式的应用，本文最大的特点是让Taylor 公式零散的应用系统化，进而加深大家对Taylor 公式的认识和理解。

第一章、预备知识

1.1Taylor 公式

用多项式近似地表达一个给定函数的问题, 不仅从计算的观点看是很必要的, 而且从理论分析的角度看也是很有意义的, 一般的函数不好处理, 就常常用容易处理的简单函数近似地代替它, 因此这种简单函数再过渡到原来的函数, 这就是Taylor 公式的基本思想.

Taylor 的定义:已知f(x)在x 0处可微, 那么在x 0附近存在

f x =f x0 +f′ x0 x−x0 +o x−x0 ,

从上述公式可得知, 在x=x0附近用一次多项式f x0 +f′ x0 x−x0 作近似值取代f x 时, 其误差为x−x0的高阶无穷小量, 这时f x0 +f′ x0 x−x0 的精确度对于x−x0来说只达到了一阶, 为了提高精确度, 必须考虑使用更高次数的多项式作逼近. 若函数f x 在x0处n阶可导时, 有如下更精确的计算公式.

定理1.1.1[1](Peano余项的Taylor 公式): 若函数f x 在x0存在n阶导数, 则存在x0的一个邻域, 对于该邻域中的任一点x, 成立

f′′ x0 x−x0 2+⋯ f x =f x0 +fx0 x−x0 +fn x0 +(x−x0) n+o x−x0 n , (1) ′

上诉公式称为f x 在x=x0处的带Peano 余项的Taylor 公式, 它的前n+1项组成, 的多项式

f′′ x0 x−x0 2+⋯ pn x =f x0 +fx0 x−x0 +fn x0 +(x−x0) n, ′

称为f x 的n次Taylor 多项式, 余项rn x =o( x−x0 n) 称为Peano 的余项.

证因为rn x =f x − nk=0fk x0

k! x−x0 k,

所以只需证明rn x =o x−x0 n ,

又因为rn x0 =rn′ x0 =rn′′ x0 =⋯=rnn−1 x0 =0,

反复应用L ’Hospital 法则, 则有:

rn x rn′ x rn′′ x lim =lim =lim =⋯ x→x00x→x00x→x00 rnn−1 x =lim x→x001f n−1 x −f n−1 x0 −f n x0 x−x0 =lim x→x00

f n−1 x −f n−1 x0 =lim −f n x0 x→x00

1 n = f x0 −f n x0 =0, 因此rn x =o x−x0 n . □

当x0=0时, (1)式转化为f x =f 0 +f′ 0 1! x+f′′ 0 2! x+⋯+2fn 0

n! xn+o(xn) , 我们

将此式子称为(带有Peano 余项的) Maclaurin公式.

接下来将要介绍的关于Lagrange 型的余项表达式, 与之前所提到的带Peano 余项的Taylor 展开式相比较在作近似估计、求不等式的极限的时候同样的便利, 不仅如此拉格朗日的型余项还克服了Peano 余项只给出了余项的阶的估计式, 而没有给出余项与函数f x 的关系这一缺点. 当然拉格朗日型的余项表达式的成立条件, 也伴之需要增加：“函数有n+1阶导数, 则可展开成为余项为Lagrange 型的n次多项式”.

定理1.1.2[2](带Lagrange 余项的Taylor 公式):若函数f x 在[a, b]内为存在n阶的连续导数, 且在其上有n+1导数, 则在其上一定点x0, 对于任意x∈[a, b], 成立.

f′′ x0 f x =f x0 +fx0 x−x0 +(x−x0) 2+⋯ ′

n+1 ε fn x0 f x−x0 n+ +(x−x0) n+1, (2) 其中ε在x与x0之间,

称上式为f x 在x=x0处带Lagrange 余项的Taylor 公式, 其中

f n+1 ε rn x =(x−x0) n+1, 为Lagrange 余项.

证使用辅助函数, 令G t =f x −明

G x0 =f n+1 ε H(x0) . n+1 f nk=0 k t x−t kk! , H t =(x−t) n+1. 则只需要证

设x0

n+1 t f x−t n, H′ t =− n+1 x−t n, G′ t =−上式可看出H′ t 在 x0, x 上不等于零, 因为G x =H x =0, 由Cauchy 中值定理可得

G(x0)

H(x0) =G x −G(x0)

H x −H(x0) =H(ε) =G′(ε) f n+1 (ε) n+1 !

其中ε∈ x0, x .

因此G x0 =f n+1 ε H(x0) （当x n+1 !

f′ 0 1! 当x0=0时, 2 式转化为f x =f 0 +

x+f′′ 0 2! x2+⋯+fn 0 n! xn+rn(x) , 我们

将此式为(带有Lagrange 余项的)Maclaurin 公式.

当n=0时 2 式转化为[f x =f x0 +f′ x0 x−x0 ]Lagrange 中值定理, 因此Lagrange 余项的Taylor 公式可以看成是Lagrange 中值定理的推广.

1.2部分Taylor 余项整理

本小节部分公式引自参考文献[3] 1.2.1积分余项

(−1) nx

rn x = (t−x) nfn+1 t dt.

a

1.2.2柯西（Cauchy ）余项 对Lagrange 余rn x =

f n+1 ε (n+1)!

(x−x0) n+1进行变换, 若把f n+1 ε (x−x0) n看作一

个函数, 使用积分第一中值定理进行计算, 则有:

f n+1 ε x−x0 n

rn x =(x−x0)

(1−θ) n x−x0 n+1 n+1 ε =f其中 θϵ 0,1 .

1.2.3施勒米尔希·罗什（Schlomilch-Roche ）余项

rn x =f

n+1

(1−θ) n+1−p x−a n+1

a+θ x−a ,

其中θ∈(0,1), p任意实数, 且当p=n+1时对应Lagrange 余项p=1时对应柯西余项.

1.3Taylor 公式展开的唯一性

定理2.3.1[4](唯一性):

若f x =a0+a1 x−x0 +a2 x−x0 2+⋯+an x−x0 n+Rn x =b0+b1 x−x0 +b2 x−x0 2+⋯+bn x−x0 n+Rn x ,

则ai=bi, i=0,1,2…, n.

证明设f x 有连续的n阶导数, f x 在x=x0处有展开式：

f x =a0+a1 x−x0 +a2 x−x0 2+⋯+an x−x0 n+Rn x , (1) 余项满足

Rn x

=0;

x→x00lim

其中f 0 x =f x .

根据Taylor 公式, f x 在x=x0处可展开成

f i x0

x−x0 i+o x−x0 n . (2) f x =

i=0n

联立(1)式与(2)式, 推出

i

x0 f

x−x0 i+o x−x0 n . ai x−x0 i+Rn x =

i=0

i=0

n

n

令x→x0取极限, 得a0=f x0 . 两边消去首项, 再同时除以 x−x0 , 然后令x→x0取极限, 得a1=f′ x0 . 反复推导可以得出公式

ak=

f k x0 k!

k=0,1,2, …, n , □

该公式的存在表明:不论通过什么途径、使用何种方式得到的形如(1)式的展开式, 只

n

要余项满足lim x→x0(x−x

R x

n0)

=0, 则此展开式的系数一定是相同的, 可以直接使用

f k x0 ak=

进行计算.

1.4常见函数的展开式

x2xneθx

e=1+x++⋯++xn+1+o xn+1 ;

x3x5x2n+1

n

sinx=x−+−⋯+(−1) +o x2n+1 ;

x2x4x6x2n

n

cosx=1−+−…+(−1) +o x2n ;

x2x3xn+1

ln 1+x =x−+−⋯+ −1 +o xn+1 ;

1

=1+x+x2+⋯+xn+o xn ; m m−1 … m−n+1 m

(1+x) =1+mx+⋯++o xn .

x

1.5常见展开式的拓展

1.5.1 正切函数的Taylor 展开

2n+1nx

x−3! +5! −⋯+(−1) 2n+1 ! +o x2n+1

xxxxn2n1−2! +4! −6! …+(−1) 2n ! +o x

tan x=

sinx

=x3x5

=c1x+c3x3+c5x5+⋯cnxn+o x , 令

2n+1x

sinx= an= (−1) n,

n=0

n=0

∞

∞

2nx

cosx= bn= (−1) n

n=0

n=0

∞

∞

则有

n

; cn= akbn−k, n= 1,3,5,7···

k=1

1.5.2 正割函数的Taylor 展开 使用“代入法”求解, 在

1

= un=1+u+u2+⋯+un+o un , n=0∞

中以u=

x22!

−

x44!

+

x66!

−⋯代入, 可得

2

1x2x4x6x2x4x6

secx==1+ −+−⋯ + −+−⋯ +⋯

1254

=1+x+x+⋯.

第二章、Taylor 公式在数学分析上的应用

2.1利用Taylor 公式求极限

解决待定型的极限问题, 我们通常可以采用L ’Hospital 法则来进行求解, 但是, 对待少数求导比较复杂, 特别是需要多次使用L ’Hospital 法则的情况,Taylor 公式于L ’Hospital 法则而言, 通常是更为有效的求极限公式. 本小节部分内容引自文献[5]

例2.1.1使用包括Taylor 公式在内的不同计算方式计算下列式子的极限并进行比较

exsinx−x(1−x) lim . x→0解这是个0待定型的极限问题. 若用L ’Hospital 法则, 则分子分母必须求导3次 exsinx−x 1−x exsinx+excosx−1−2x)

lim =lim x→0x→0excosx−1excosx−exsinx1

=lim =lim =.

x→0x→0这样的计算过程繁杂计算过程容易出错. 若使用Taylor 公式进行计算

1+x+esinx−x 1−x

lim =lim x→0x→0x

x3

x2

x−

2

x3

x3 − x+x2 +o6

=

计算过程就简单多了.

3

+o(x3) 1

=, 例2.1.2lim x→∞[x−x2ln ⁡(1+x

解：令u =x, 由于ln ⁡(1+u) =u−

1

u22

1

+o(u2) 可使用Taylor 公式展开得

1u−ln ⁡(1+u) u−ln ⁡(1+u)

lim [x−x2ln ⁡(1+=lim =lim x→∞u→0u→01

=lim

3

22u+(u) 2

u→0

1= 例2.1.3lim x→∞x( + −2 ). 解:令u =x则有

1lim x(+−2 ) =lim + x→∞u→03

31

+ −2

=lim + ,

u→0又因为

uu2uu2

2

+o u + 1−−+o u2 −2 + −2= 1+−

u2

=−+o u2 ,

所以

1 + −2

lim x(+−2 ) =lim +(= x→∞u→03

Taylor 公式计算极限的本质是利用等价无穷小的替换来进行极限的计算, 合理的运用带Peano 余项的Taylor 公式可以将复杂的函数极限计算题变得非常简单.

2.2利用Taylor 公式作导数的中值估计

例2.2.1[6]若f x 在 a, b 上有二阶导数, f′ a = f′ b =0, 试证：∃∈(a, b) , 使得

f′′(ξ) ≥

证应用Taylor 公式, 将f

a+b2

4

f b −f a .

分别在a, b点展开, 注意f′ a = f′ b =0, ∃ζ, η:a

ζ

a+b2

a+b1′′b−a2f =f a +f ζ ; (1)

a+b1′′b−a2f =f b +f η , (2)

2 −(1)得f b −f a + f′′ η −f′′ ζ b−a 2=0. 8故

4 f b −f a b−a 2

1

≤ f′′ η + f′′ ζ ≤f′′ ξ .

2

1

其中

ξ=

2.3利用Taylor 公式求极值

定理2.3.1[7]（极值判定定理）：设函数f x 在x0点的某一领域中有定义, 且f x 在x0点连续.

若f′ x0 =0, 且f x 在x0点二阶可导:

(1) 若f′′ x0 0, 则x0是f x 的极小值点;

(3) 若f′′ x0 =0, 则x0可能是f x 的极值点也可能不是f x 的极值点. 证因为f′ x0 =0, 由Taylor 公式

f′′ x0

x−x0 2+⋯o x−x0 2 f x =f x0 +fx0 x−x0 +

f′′ x0

x−x0 2+⋯o x−x0 2 , =f x0 +

′

η, 当f′′ ζ

ζ, 当f′′ ζ ≥f′′ η 时, 推出

f x −f x0 x−x0 2

=2! f′′ x0 +

x−x0

2

1

o x−x0 2 x−x0 2

当x→x0时, 立

o x−x0 2

→0, 因此当f′′ x0

f x −f x0

0所以f x

从而f x0 在x0取极大值, 同理当f′′ x0 >0时, f x >f x0 . □ 例题1求函数f x = (4x−x的极值. 解函数f x 的定义域为(−∞, +∞) , 由

1164 4x−x 1−x3 , fx =

3

′

可知f x 的驻点为x=1, 使得f′ x 不存在的点为x=0和x= . 由于

(1) 当−∞0; (3) 当10,

由定理2.3.1推出f 0 =0是极小值, f 1 = , f =0是极小值.

2.4利用Taylor 公式求曲线的渐近方程

2.4.1曲线渐近线的概念

在学习Taylor 公式求曲线渐近线前, 首先了解一下曲线渐近线的概念, 设曲线y=f x , 直线y1=ax1+b, 曲线上任意一点(x, f x ) 到直线的距离为d. 当x在趋向于无穷大或负无穷大时, 如果点(x,f x ) 到直线的距离为d 趋向于0, 则称直线y 1=ax 1+b 是曲线y =f(x)的一条渐近线. 显然直线y 1=ax 1+b 是曲线y=f x 的渐近线的充要条件为

x→+∞

3

3

3

3

3

lim [f x −(ax1+b)]=0,

或

x→−∞

lim [f x −(ax1+b)]=0,

如果直线y 1=ax 1+b 是曲线y=f x 的渐近线, 当x趋向于无穷大时, x≈x 1 则

f x −(ax+b) f x −(ax+b)

=0或lim =0,

x→+∞x→−∞lim

f x f x

lim =a或lim =a, x→+∞x→−∞其次, 又因为

x→+∞

lim [f x −(ax+b)]=0,

或

x→−∞

lim [f x −(ax+b)]=0,

可推出

x→+∞

lim [f x −a x]=b或lim [f x −a x]=b.

x→−∞

反之, 如果由上两式确定了a 和b, 那么y=ax+b即是曲线的一条渐近线. 若

x→+∞

lim [f x −(ax1+b)]=0,

和

x→−∞

lim [f x −(ax1+b)]=0.

同时成立, 则称y1=ax1+b是关于曲线y=f x 在+∞, −∞两个方向上的渐近线

此外, 如果当x→a+或x→a−时, f x 趋向于+∞或−∞即

x→a+

lim f x =±∞或lim −f x =±∞,

x→a

则称直线x=a是y=f x 的一条垂直渐近线.

综上可以看出求曲线渐近线方程的本质就是求函数的极限. 关于求函数的极限, 可由多种方式, 对于一些特殊情况则需要应用Taylor 公式.

例1判断函数y=x xe近线的方程.

解, 由于

x →02

1−是否存在渐近线, 若存在的话求出此函数渐

lim x (xe− x 2+x) =+∞, +

2

1

所以x=0是一条垂直渐近线, 令u =x ,

x →+∞

1

lim [x xe − x +x −ax−b]

u2

1e− −au2−bu3

=lim + u→0 1+2+2∙4+6∙8− 1+2−2∙4+6∙8 −au2−bu3+o(u3) =lim + u→0 =lim +

u→0

u

u2

u3

u

u2

u3

4−a u2− 24+b u3+o(u3)

1

1

11

=0.

1

1

解出a=4, b=−24, 所以当x 趋向于正无穷大时, 渐近线为y=4x−24由于

2+x 1yx

lim =lim x 2(e− =+∞, x →−∞x →−∞所以当x 趋向于负无穷大时, 没有渐近线. 例2求曲线y=x xe解由于lim x xe+

x →0

2

13x

2

1−的渐近线方程.

3

− =+∞,

3

所以x=0是一条垂直渐近线,

设y=x xea=lim

2

13x

−的渐近线方程为y=ax+b, 则由定义可得

3

y111121=lim x2 1+++o − 1+−+o x →∞x →∞y211

=lim x =;

x →∞b=lim x xe

x →∞

2

1

311113 −x+x −x =lim x e−1+−x

x →∞3

=lim x3 (1+

x →∞

11111251

+++o ) −(1+−++o ) 1

−x 1

=−;

综上推出渐近线为y=6x−18.

2.5利用Taylor 公式证明不等式

在过去的章节中我们学习过利用Lagrange 中值定理、讨论导数的符号来得到函数的单调性、以及函数的凸性、等等方法来实现对不等式的证明, 而接下来的例题则会告诉大家Taylor 公式也是证明不等式的一种重要公式.

例2.5.1证明不等式

x2x2x3

x−0.

分析：本例中若将ln 1+x 使用Taylor 公式展开会发现不等式左边的多项式即是ln 1+x 展开后的前两项, 不等式右边的多项式即时ln 1+x 展开后的前三项, 这样即可简单的比较不等式的大小.

则有 证：

x2x3x4x5

ln 1+x =x−+−+−⋯

1

1

因为ln 1+x =x−

x22

+3(1+ð) 3 , 其中 00,

x3x3

x2x3x2

⟹ln 1+x =x−+>x−

又有ln 1+x =x−

x22

+

x33

−3(1+ð) , 其中 00,

x4x4

x2x3x4x2x3

⟹ln 1+x =x−+−

综上推出不等式

x2x2x3

x−0 成立.

例2.5.2设f(x)在[0,1]上二阶可导, 且f 0 =f 1 =0, min 0≤x≤1f x =−1 证明

0≤x≤1

maxf′′(x) ≥8

证设x0∈(0,1)为函数的最小值点, 则f x0 =−1, f′ x0 =0. 以x=0, x=1代入在点x0的带Lagrange 余项的Taylor 公式,

则有

1′′

f 0 =f x0 +fx0 0−x0 +f ð (0−x0) 2

1

=−1+f′′ ð (x0) 2=0,

1

f 1 =f x0 +f′ x0 1−x0 +f′′ β (1−x0) 2

1

=−1+f′′ β (1−x0) 2=0,

′

上面两式中0

1′′1′′

2

f β (1−x0) =f ð (x0) 2=1. 当x0≤2时, f′′ ð =x

1

2

0≥8; 当x0>2时f′′ β =(1−x

0≤x≤1

12

0)

>8. 所以

maxf′′(x) ≥8.

例2.5.3设f(x) 在[a,b]上二阶可导, 且f a =f b =0, 证明

1

max f(x) ≤(b−a) 2max f′′ x . a≤x≤ba≤x≤b证 设 f(x0) =max a≤x≤b f(x) , 若x0=a或b, 原式右边多项式最小只能取到0, 则结论自然成立. 设a

1

f a =f x0 +f′ x0 a−x0 +f′′ ð a−x0 2ðϵ a, x0 ,

1′′

′ fb=fx0+fx0b−x0+f β b−x0 2βϵ x0, b .

将f a =f b =0, f′ x0 =0代入上面两式, 得到

1

f x0 ≤ a−x0 2max f′′ x ,

a≤x≤b1

f x0 ≤ b−x0 2max f′′ x .

a≤x≤b当x0∈(a, 当x0∈(

2a+b2

时, a−x0 2

14

1

a+b

, b) 时, b−x0 2

综合上诉两种情况, 则有

a≤x≤b

max f(x) ≤

1

(b−a) 2max f′′ x .

a≤x≤b

第三章、在数学计算方面的应用

Taylor 公式的逼近思想不仅在数学分析方面意义重大，他对在数值计算中的计算也有着很大的影响，接下来将介绍Taylor 公式在数值计算中的使用。

3.1利用Taylor 公式求近似值

例3.1.1 利用Taylor 公式求 的近似值精确到(10−4) 并估计误差

23nθxxxxe

ex=1+x+++⋯++xn+1,

3

其中θ位于0与1之间. 令x=3, n=4, r4(3) ≤5!3≈0.27×10−5满足精度要求, 所以

3

11

1

e1111

++≈1.39561, ≈1++

3

=1.[1**********]61…可以看出这样的计算结果是比较准确的, 误

3

差估计如下

e

d =(

θ

1

x=

1e−6

≈0.15×10, 1必须注意,Taylor 公式只是一种局部性质, 因此在用它进行近似计算时, x不能远离x0, 否则效果会比较差, 甚至产生完全错误的结果.

如在计算4的近似值时, 令4=arctan1, 并直接使用Taylor 公式展开可得 πx3x5x2n+1

n=arctan1≈x−+−⋯+(−1) (1)

x=1π11=arctan −arctan, (2)

π

π

x3x5x2n+1x3x5x2n+1

nn ≈4[x−+−⋯+(−1) −[x−+−⋯+(−1) ]

x=1x=

5

1

239

计算上面两个式子其中 1 式取到第二项时得到4≈0.66666667, 2 式取到第二项时4=0.78514925, 与精确值4=0.78539815相比较(1)得到的结果与精确值完全不符, 可视作错误, 即使(1)式取到第三项得到的结果4=0.86666667也与精确值相差甚远, 这是为什么呢.

分析：上面两个计算4arctanx的Taylor 公式, 但第一个公式是用x=1代入, 而第二个公式是用x=5x=239代入, 由于x=5和x=2391小得多, 因此第二个公式的通项（或余项）比第一个公式的通项（或余项）趋近于0的速度快得多, 所以第二个公式计算π的近视值效果更好更精确.

例3.1.2利用Taylor 公式求sin31°的近似值精确到(10−4) .

πππ1π2

sin +x =sin +cos x−sin x+r2 x ,

其中r2 x =

π

x2

1

1

1

1

π

π

π

π

π

cos (6+ð) , 其中ð位于0到x之间. 3!

π3

π

由于 r2 180 ≤3!180≈0.88×10−6, 满足精度要求, 所以

πππππ1ππ2

sin31°=sin +=sin +cos −sin (≈0.51504.

3.2Taylor 公式导出牛顿迭代法和欧拉法

用迭代法求解方程f x =0, 关键在于选择迭代函数φ(x) , 使相应的迭代过程xn+1=φ(xn) 收敛于f x =0的根. 本小节参照文献[8]进行分析讨论.

3.2.1Newton 迭代法

Newton 迭代公式xn+1=xn−f x0

f x

证设f x 于α的近旁二次连续可微, 在α的领域内取初始值x0, 将f(x) 在x0处展开

f′′ ε

f x =f x0 +fx0 x−x0 +(x−x0) 2,

′

其中ε属于x0与x之间, 于是

′′ fε

0=f α =f x0 +f′ x0 α−x0 +(α−x0) 2,

若将上式含有(α−x0) 2的项忽略不计, 并设f′ x0 ≠0便得到α的进一步近似值x1,

f x0

x1=x0−.

0综上可得到迭代序列xn+1=xn−f′ x0 , n=0,1,2,3,···. □

f x

3.2.2 Euler法

dy

Euler 法是计算常微分方程 dx

=f(x, y)(x0≤x≤b) y x0 =y0

初值问题的重要方式之一, 接下

来由Taylor 公式导出欧拉公式yn+1=yn +ℎf xn , yn .

用Taylor 公式将y(xn+1) 在x0处展开，则有x xn+1 y xn +ℎyxn +

′

ℎ22

yn ε ,

建立y xn 用的近似值y(xn+1) 的近似值yn+1的公式即得到yn+1=yn +ℎf xn , yn .

3.3判定迭代法的收敛速度

我们将收敛的迭代方法在收敛时, 迭代误差的下降速度叫做收敛速度. 一种好的迭代方法我们不仅要求他是收敛的, 而且他必须具有较快的收敛速度.

记记迭代过程xk+1=φ xk 收敛, 且ek=xk−x∗为第k次迭代误差, 即ek→0, ∃p+≥1, 使

+1

lim k→∞ek(

p) =C(C≠0) ,

k

e

则称此迭代公式为p阶收敛的. 通常将当p=1时称为线性收敛, p=2时称为平方收敛.

在计算中, 借助Taylor 公式判定迭代公式的收敛的速度, 相较于直接利用收敛速度的定义进行判断要便利很多. 下面以求解一元非线性方程的迭代方法为例说明Taylor 公式的应该. 对于迭代公式xk+1=φ xk , k=(1,2,3···) 的收敛速度有如下定理：

定理3.3.1[9]对于迭代过程xk+1=φ xk , 如果φp xk 在所求根x∗的附近连续, 并且

φ′(x∗) =φ′′(x∗) =⋯=φp−1(x∗) =0 p∗ ,(1) φ(x) ≠0

则该迭代过程在点x∗附近时p阶收敛的.

证由于φ′(x∗) =0, 所以该迭代公式具有局部收敛性. 将φ xk 用Taylor 公式在x∗处展开, 得到

φ xk =φ x

∗

+φ(x) xk−x

′∗

∗

φ′′(x∗) xk−x∗ 2φ p (ε∗) xk−x∗ p++⋯,

其中ε介于xk与x∗之间,

由条件(1)可得

(p) ∗ ∗ p

φ(ε) x−xk

φ xk =φ x∗ +,

因为φ xk =xk+1, φ x∗ =x∗, 则有ek+1=xk+1−x=

∗

∗

φ(p) (ε∗) xk−x∗ p

p! ek+1ek

≠0.

综上, 对于ek=xk−x, 有lim k→∞

=

(p) ∗

p+1φ(x)

(−1)

p!

推出该迭代公式在x∗邻近是p阶收敛的. □

上诉定理就是利用Taylor 公式. 利用上诉定理判定迭代公式的收敛阶梯, 只需要求迭代函数的各阶导数在x∗点的值, 而避免了求函数的极限, 更简便.

接下来利用定理3.3.1给出的牛顿法的收敛性.

牛顿迭代公式xk+1=xk−f xk f′ xk ≠0 的迭代函数为:

k

f x

f x ′f x f′′ x

φ x =x−, φ x =

设x∗是方程f x =0的一个单根, 即f x∗ =0, f′ x∗ ≠0, 且φ′ x 在x∗的邻域内连续.

则由上式可知 φ′ x∗ =0

′ 2′′ ′ ′′′ ′′ 2 fxfx+fxfxfx−2[fx]f(x) ′′ φx=

f′′ x∗ ′′ ∗ φx=, 只需要f′′ x∗ ≠0, 则φ′′ x∗ ≠0由定理3.3.1可知牛顿迭代是平方收敛的.

第四章、在复变函数中的应用

复变函数f(z) ) 的Laurent 展开，是幂级数的一种，它不但拥有了正幂次数的项，也含有负幂次数的项，他是Taylor 展开的扩展。在复变函数中很多函数因为有奇点的存在使他在该点的领域附近无意义，所以大多无法用Taylor 展开，这是可以用Laurent 展开进行近似求解。本章部分论点习题引用自参考文献[8]。

4.1复变函数的Laurent 展开

Taylor 展开具有唯一性，而Laurent 展开作为Taylor 的推广，他并不具有唯一性，他的展开形式受积分区域的影响可能呈现不同的形式。

例4.1.1设f z =(z−1)(z−2) 分别写出这个函数在D 1= z:1

解当z∈D 1时, 由于1

111

=−

=−

1111

−

1−1−2

z

∞

1

1

=− z− ,

n

n=0

n=1

1

∞

当z∈D 2时, 由于2

1111111

=−=−

1−1−z

z

2n12n−1

= − = .

n=0

n=0

n=0

∞∞∞

分析, 若本例题出现在实变函数中则有,

f x =

111

=−此函数使用Taylor 展开式只可展开为

=−2

11−2

+1+x+x2+⋯+xn

xx2xn

=−2 1++ +⋯+ +1+x+x2+⋯+xn.

综上可以看出在实变函数和复变函数中Taylor 展开有本质上的差异.

4.2积分的计算

例4.2.1计算 z =4(z2+1)4(z4+2)3dz.

解:由例题4.1.1可知, 我们要计算复函数的积分不仅要考虑如何计算留数, 而且需要注意积分区域的变换. 本例中方程f(z) =(z+1) (z+2) 共有六个有限奇点, 且均在C: z =4内, 由留数定理可以推出

z =4

z19

z19

f(z) dz=2πi −Res f, ∞ ,

将f在z=∞的去心邻域内作Laurent 展开,

f z =

z19

z8(1

+

4

) z3) z∙1

z12(1+

=

1∙

(1+

4) z∙(1+

3 z1410612

= 1−+−⋯ 1−+−⋯

14

=−+⋯,

推出Res f, ∞ =−C−1=−1, 则有 z =4f(z) dz=2πi.

4.3Taylor 公式判断正项级数的敛散性

定理4.2.1(比较判别法) ：用一个已知收敛或发散的级数与未知收敛或发散的级数进行比较, 是判断一个级数收敛性和发散性最常用的方法.

∞

设 ∞n=1xn与 n=1yn是两个正项级数, 若存在常数m, 使得

xnlim ≤m, n=1,2, …, n→∞n∞

(1)若常数m>0,则 ∞n=1yn与 n=1xn的收敛性和发散性相同； ∞ (2)若常数m=0,则 ∞n=1yn收敛, n=1xn一定收敛； ∞(3)若m=+∞, 则级数 ∞n=1yn发散, n=1xn一定发散.

4.2.2 计算过程：利用Taylor 公式展开xn, 则然后与适当的yn相比, 求出极限值m, 即可根据比较判别法得出 ∞n=1xn的收敛性和发散性.

例题1判断级数的收敛性和发散性.

11

an= − ln 1+ .

n=1n=1

因为ln 1+x =x−

x22∞

∞

+

x33

−⋯+ −1

xn+1n+1

+o xn+1 ;

(1+x) m=1+mx+⋯+

所以an= =

m m−1 … m−n+1

+o xn ;

+o n2 ) 2=2

1

1

−(−

n

112n

−

1−2n+o(n)

11

2

1

31−3−

=n+o n . 推出lim n→∞

an

−n3

−

1

1−

11+o =4,

1

即an→

−

0时是2阶的与 ∞n=1n收敛性和发散性相同, 所以

3

3

∞n=1an收敛, 运用这类方

法可以快速的找到恰当的yn, 从而正确的判断所求级数 ∞n=1xn的收敛性和发散性.

例题2

1讨论正项级数 ∞n=1np

(e

1

n−cos n) 的敛散性.

π

解因为

2nθxxxe

ex=1+x++⋯++xn+1+o xn+1 ;

2n

x2x4x6x

cosx=1−+−…+(−1) n+o x2n ,

令an=an=

1np

e−cos n ,

np

1n2

+o 2− 1− +o 2=p 1+ 2+o 2

x2nxn2nn

1

1π

2

1

1

nπ

1+

11

π2

11

π211

= 1+ +o ,

因此有lim n→∞则当p>散.

nan

=1+(e

π2

∞ ∞, 即a→0是p+2阶, a与nn=1n=1n, n2

−cos n) 收敛；当−2

π

1

−1时 ∞n=1n1

1

−1时 ∞n=1n1

n(e

1n−cos n) 发

π

结束语

我的论文到这里进入了尾声，这篇论文主要使用数学分析中所学的基础知识”Taylor 公式的思想”，在数学分析、数值计算、复变函数等方面的应用进行简单的分析讨论。清楚明了的阐述了Taylor 公式在高等数学各科目中的应用，进而加深我们对Taylor 公式的认识以及了解各学科间的串联关系，达到优化学习的目的，也让大家更加深刻的认识到Taylor 公式在微分学中的重要地位。

参考文献

[1] 陈纪修, 於崇华, 金路, 数学分析(上册)[M],北京:高等教育出版社,2004.192~193 [2] 张自兰, 崔福荫, 高等数学证题方法[M],陕西:陕西科学出版,1985.

[3] 徐志庭, 刘名生, 冯伟贞, 数学分析(二)[M],北京:科学出版社,2009.180~181 [4] 刘名生, 冯伟贞, 韩彦昌, 数学分析(一)[M],北京:科学出版,2009.P145~146 [5] 李锐, 利用Taylor 公式计算极限问题注记[J],商情,2010.28

[6] 裴礼文, 数学分析中的典型问题与方法[M],北京:高等教育出版社,1993.245~246 [7] 吴孟达, 数学分析(上册)[M],长沙:国防科技大学出版社,2002.114~115

[8] 孔珊珊,Taylor 公式在数值计算中的应用[J],济宁学院学报,2011.32(3): 70-71 [9] 黄清云, 舒适, 陈艳萍等, 数值计算方法[M],北京:科学出版社,2009.225~245 [10]史济怀, 刘太顺, 复变函数[M],合肥:中国科学技术大学出版社,1998.

致谢

伴随撰写论文的结束大学四年生涯也即将过去，在这期间不论是学识上还是生活上我都有了许多新的收获。学习上对数学分析、高等代数、复变函数、实变函数、数值计算等诸多课程有了一定的认识，生活中我认识了很多乐于助人的同学，和关心学生的老师。在庆幸之余，我想借此机会对我的母校贵州大学、我的老师和同窗、我的父母和亲人们，表达我由衷的谢意。谢谢我的母校给了我在大学四年深造的机会，让我的学识可以获得进一步提高。感谢对我倾囊相授、鼓舞鞭策的贵州大学理学院诸位师长秦新波老师、杨辉老师、何基好老师、罗贤兵老师、等诸多不能一一列出的老师，谢谢您们无数次不畏枯燥的替我答疑解惑，没有他们四年来的谆谆教诲，我永远无法顺利的完成大学的学业，恩师们诚挚的教导我将永记于心，祝愿列位老师身体康健、合家欢乐！同时感谢我的同窗好友冉光章、徐永省、何小兵、陈佳等大学期间给予我帮助同学们，谢谢你们给了我一个如初春艳阳一般温暖的大学生活，谢谢你们给我创造了一个如此优异的学习环境，谢谢你们在我困惑时不论闲忙无条件给予我的帮助，祝愿你们前程似锦，事业有成。最最感谢我各位家乡的叔伯，谢谢您们在我大学四年期间对我的关心以及照顾，感谢我的父亲母亲，谢谢您们这数十年来

对我一成不变的支持、理解，谢谢您们对我无知的包容、接纳，再多的谢谢也无法表达你们对我的无私爱，愿您们健康长寿。最后要感谢我的指导老师吴奎霖，他不仅教授给了我实变函数这一课程，更给我选择了一个合适的论题，并且在撰写论文期间对我的督促，让懒惰的我也能按时完成一份论文。在写作论文这段时间吴老师的监督下阅读了大量相关的知识收获颇丰，对过去比较懵懂的知识现在也有了一个清晰的轮廓，再次想您表示感谢。