数学抽象中的概念抽象(1)
数学抽象中的概念抽象
王建全
高中数学课程旨在培养和提高学生的数学核心素养，使学生获得
良好的数学教育，不同的学生在数学上得到相应的发展。而数学抽象
又是数学核心素养之一，在教学中应以数学学科的特征、高中学生的
认知规律，以学生的最近发展区为主线来设计课堂教学。将数学抽象
融入到教学过程中，去引导学生进行思考，突破思维障碍，达到学会
数学知识，提高学生数学核心素养的目的。
图 数学概念的形成过程
知识的形成过程首先是由猜想开始的，然后根据所具备的知识进
行探究、抽象、验证等来实现对未知知识的一个发现过程。其中，数
学抽象在其中起了很大的作用，反之，概念教学也是对数学抽象这个
核心素养的一个很好的培养过程。下面就任意角的三角函数这一课为
例来说明如何将数学核心素养之一的数学抽象融入到课堂教学中。
一 猜想，类比过程
任意角的三角函数是任教A 版必修四第一章第二节内容。首先
复习直角三角形中的三角函数的定义，此时需强调，三角函数值只与
角的大小有关与边长没有关系。
第二步引入钝角三角函数并提问，如何求钝角的三角函数，学生
根据已有的知识是不能解答这个问题的，但是学生对于直角三角形中
的定义此时是非常清晰的。这时设置一个引导性问题，能否依据直角
三角形中的三角函数求法来解决钝角三角形中的钝角的三角函数值。
图1C
此时学生会过点B 作高，这时写出α的三角函数值令r =a 2+b 2
sin α=b a b b a β= cos α= tan α=但是同时会出现 sin β= c o s r r a r r
b tan β=那么引导学生提出sin α=sin βcos α=cos βt an α=t an β是否相a
等这样的疑问。这个问题，学生是无法解答的。过点B 做AB 的高，
这是一个类比过程。这样可以在钝角三角形中构造一个直角三角形，
这样就可以用直角三角形的三角函数定义来写出钝角α的三角函数，
同时又出现了锐角β的三角函数，而写出的两组三角函数值是否相
等，这是一个猜想过程，这两个过程需要教师来引导学生完成。
二 分化过程
在出现上述猜想之后，学生中会出现迷茫分化现象。因为三角函
数值只与角的大小有关而与边长是没有关系的。但是角α与角β是互
补的，他们的三角函数值是否相等学生是无法解答的。这时提出问题：
“我们能否借助数学工具来继续研究这个问题？”若学生想不到借助
什么工具来研究这个问题，可继续提示，我们在将角扩展时借助的工
具是什么? 因为学生知道角是放在坐标系当中进行扩展的，这时学生
自然会想到借助直角坐标系来研究钝角的三角函数。这时我们可将三
角形放入直角坐标系中，因为三角函数值与直角三角形的边长没有关
系，所以可直接将角放入直角坐标系中进行研究。这时设置一个问题，
怎样把角放入到直角坐标系当中呢？这个角不是随意放入坐标系当
中的，是根据直角坐标系中角的定义来放的。角的顶点在坐标原点，
始边与x 轴的正方向重合。
三 抽象验证过程
这是一个关键过程，在我们把角放入直角坐标系中后，就需要学
生讨论，研究，抽象出三角函数的定义了。
因为三角函数的大小与三角形的边长没有关系，所以在将角放入
直角坐标系中时就不需要三角形了直接将角放入即可。如图
y ) 图2
P (
在锐角的终边上任意取一个点P( x,y)不与原点重合，此时
r =x 2+y 2写出三角函数值。sin α=y x y cos α= tan α=钝角做法与r r x
锐角相同。这时会发现该锐角的三角函数值与直角三角形是完全符合
的，这是一个验证过程，说明刚才的猜想过程是正确的。而钝角的正
弦值同锐角的相同，但余弦和正切值是负值，与刚才的猜想不同。继
续提问，上述三个式子可否简化呢？
因为角α的三角函数值与P(x,y)点的位置无关，则令r=1时，最简单。
若令r=1，则OP 绕O 点旋转一周，这时P 点轨迹为一个圆，这个圆
记为单位圆。此时将角扩展到任意角。如图
图3
y
x 这时三角函数值为 sin α=y cos α=x tan α=。 继续引导学生
讨论 α=k π, k ∈z 时上述三角函数成立，当α=π
2tan α没+k π, k ∈z 时，
有意义，这时对于角α为任意角的情况学生都进行了讨论。顺理成章
的得出三角函数的定义。 四 概括形式化过程
对于确定的角α上述三个值都是唯一确定的，正弦、余弦、正切
都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值得函
数。得出定义sin α=y cos α=x tan α= α≠y
x π2+k π, k ∈z
经过一系列的探讨，学生终于得到了三角函数的定义，这样的探
讨过程也是三角函数的定义在学生脑海中的一个思维形成过程 ，并
不是强行灌输给学生的，这里教师所起的作用是引导学生把握数学
概念的本质，感悟数学思想，提升学生的数学抽象能力。
三角函数的定义到这里并没有结束，在这里可继续提问。既然三
角函数的定义是用单位圆的坐标或坐标的比值来定义的，那么你还能得到哪些比值，能否继续定义三角函数？这时学生自然可以得到，
1x ，这三个比值。这时自然的给出余割，正割和余切的定义。这三y y 1x
个定义虽然课程标准没有要求，但是这是对学生思维的肯定和赞扬。
相信学生此时内心的喜悦和自豪是无法形容的。
数学抽象是是数学的基本核心素养之一，在概念教学中是形成数
学概念的思维过程。通过数学概念的教学有又对数学抽象这个数学核
心素养进行了培养，使学生更深地去理解数学概念的形成过程。