重要极限的证明

1. 求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n, Sol:复数方法：

复数方程 z^(2n＋1) ＝1的根是 a1，a2，a3，... ，a(2n)，1。

其中，ak ＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k ＝1，2，... ，2n 。 所以，ak ＝(a1)^k

所以，z^(2n＋1) －1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1) ，即

(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1) －1)/(z－1) ＝z^(2n)＋z^(2n－1) ＋... ＋z ＋1。

两边令z ＝1，并取模，则：

|1－a1|×|1－a2|×...... ×|1－a2n|＝2n ＋1......... （*)

因为，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1)) ＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2×sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得：

2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝2n ＋1。

所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n

2. 三角函数

求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ

/(2n+1))=√(2n +1)/2^n.

证:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n

设Z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1)

则x^(2n+1)=1的根为1,z,...z^2n

得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n)

2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜... ｜(1-z^2n)｜...(1)

又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1)...(2)

|1-z^k| = |1-(cos(2kπ/(2n+1)) +sin(2kπ/(2n+1)) )|

=|1-cos(2kπ/(2n+1))) -sin(2kπ/(2n+1)) )|

=√((1-2cos(2kπ/(2n+1)) +cos^2 (2kπ/(2n+1))) + sin^2 (2kπ/(2n+1))) =√(2-2cos(2kπ/(2n+1)) )

=√(4sin^2(kπ/(2n+1))

=2sin(kπ/(2n+1)

故

2n+1 =( n(π/(2n+1)). n(2π/(2n+1)) n(3π/(2n+1))........ n(2nπ/(2n+1)) 两边开方, 得

sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1)) =√(2n+1) / 2^n

另外那个类似, 可以尝试自己证一下.

3. 为什么sin π／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n?

解：2 sin [π／(2n)]·sin(π／n)= cos [π／n -π／(2n)]- cos [π／n +π／(2n)]= cos [π／(2n)]- cos [3π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(2π／n) = cos [2π／n -π／(2n)]- cos [2π／n+π／(2n)]= cos [3π／(2n)]- cos

[5π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(3π／n)= cos [3π／n -π／(2n)]- cos [3π／n +π／(2n)]= cos [5π／(2n)]- cos [7π／(2n)]……2 sin [π／(2n)]·sin[(n-1)π／n]= cos [(n-1)π／n -π／(2n)]- cos [(n-1)π／n +π／(2n)]= cos [(2n-3）π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)]

故：2 sin [π／(2n)] ·｛sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]｝= cos [π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)]= cos [π／(2n)]- cos [π-π／(2n)]=2 cos [π／(2n)]

故：sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]= cos[π／(2n)]/ sin

[π／(2n)]= cot [π／(2n)]

4. 级数sin n/(n+1)收敛还是发散, 如果收敛, 是绝对收敛还是条件收敛, 为什么? Sol:收敛,Dirichlet 判别法. 这是最典型的一个用Dirichlet 判别法判别收敛的例子.sinn 的部分和＝[sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)]/sin1/2（积化和差公式）＝[cos1/2-cos(2n+1)/2)]/sin1/2,于是有界,1/(n+1)单调递减趋于0, 收敛. 不绝对收敛.|sinn/(n+1)|>=sin^2n/(n+1)=[1-cos(2n)]/2(n+1).类似用Dirichl et 判别法知道级数cos2n/(n+1)收敛, 但级数1/(n+1)发散, 于是易知不绝对收敛. 建议记住这个典型例子.

o n ln c n +ln c 1

n +... +ln c n 求lim =I . 2x →∞n

2n

n ln o n ln c n +ln c 1+... +ln c =n ln 2-ln n =ln 2-1ln n n n sol :≤ n 2n 2n n

I =ln2

5. 求sin π/n*sin2π/n*…*sin(n-1)π/n的值, 用复数思想

6. 三角函数连乘(正弦) 求证：sin[π/(2n+1)]*sin[2π/(2n+1)]*sin[3π/(2n+1)]*……*sin[nπ/(2n+1)]=(根号下2n-1)/2^n

Sol: 7. 证一般项级数∑sin √(n^2+1)π条件收敛

Sol:∵sin √(n²+1)π =[(-1)^n]sin[√(n²+1)π-n π]

=[(-1)^n]sin[√(n²+1)-n]π

=[(-1)^n]sin{1/[√(n²+1)+n]}π

lim(n→∞)[sin{1/[√(n²+1)+n]}π]/(1/n) =lim(n→∞)n π/[√(n²+1)+n]

=π/2

∴∑sin{1/[√(n²+1)+n]}与∑1/n有相同的敛散性, 即∑sin{1/[√(n²+1)+n]}π发散 lim(n→∞)sin{1/[√(n²+1)+n]}π=0,且sin{1/[√[(n+1)²+1]+(n+1)]}π≤sin{1/[√(n²+1)+n]}π

由莱布尼兹判别法知lim[(-1)^n]sin{1/[√(n²+1)+n]}π收敛

∴原级数条件收敛

其他回答:sin √(n^2+1)π=(-1)^n sin(√(n^2+1)π+nπ)

再利用分子有理化可得：(-1)^n sin(π/[根号(n^2+1)+n])

利用 Dirichlet判别法可知级数收敛。

而它的绝对值级数可以等价为：sin(π/[根号(n^2+1)+n])~π/[根号(n^2+1)+n]~1/n即发散。

9.Sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 这等式怎么证? 大概要从哪个方面入手? sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 用复数

w=cos(2π/n)+isin(2π/n)

w'=cos(2π/n)-isin(2π/n)

z^n=1

(z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1)=0

z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1=(z-w)(z-w^2)(z-w^3)……（z-w^(n-1)） 令

z=1

n ＝(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1)）

1-w^k=2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)

|1-w^k|=|2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n||(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n|=2sin(kπ/n)

取模

|n|＝|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1))|

|n|＝|(1-w)||(1-w^2)||(1-w^3)|…|(1-w^(n-1))|

n=2^(n-1)sin(π/n)sin(2π/n)……sin[(n-1)π/n]

得证