集合的概念
2016届高三(上)数学1A模块
集合的概念
一、选择题
1.下列六个关系式:①{a,b}⊆{b,a};②{a,b}={b,a};③{0}=Φ;④0∈{0};⑤Φ∈{0};⑥Φ⊆{0},其中正确的个数为( ) A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 少于4个
2.若全集U={1,2,3,4}且CUA={2},则集合A的真子集共有( ). A.3个 B.5个 C.7个 D.8个 3.如果集合A=xax+2x+1=0中只有一个元素,则a的值是( )
A.0 B.0 或1 C.1 D.不能确定 4.如图,U是全集,A、B、C是它的子集,则阴影部分表示的集合是( )
{
2
}
A.(A B) C B.(AICUB)IC C.(CUAIB)IC D.(AUCUB)IC
5.在平面直角坐标系xOy中,如果菱形OABC的边长为2,点A在x轴上,则菱形内(不含边界)整点(横纵坐标都是整数的点)个数的取值集合是
(A){1,2} (B){1,2,3} (C){0,1,2} (D){0,1,2,3}
6.在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即
[k]={5n+kn∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:
①2015∈[3]; ②-2∈[2];
③Z=[0] [1] [2] [3] [4];
④整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”.
其中,正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
7.若x∈A,则
11⎧⎫
∈A,就称A是“伙伴关系集合”,集合M=⎨-1,0,,2,3⎬的所有非x2⎩⎭
空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________.
8.设集合M={1,2,3, ,n}(n∈N*),对M的任意非空子集A,定义f(A)为A中的最大元素,当A取遍M的所有非空子集时,对应的f(A)的和为Sn,则①S3= ;②Sn=。
9.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈R,都有a+b、a-b,ab、
a
∈P (除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数
集b
F=a+,b∈Q也是数域.有下列命题:①数域必含有0,1两个数;②整数集
是数域;③若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;④数域必为无限集;⑤存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是_______.(把你认为正确的命题的序号填填上)
{}
N=xx--4-x
x-2)x∈R,
若M N≠φ,则实数a的取值范围是____________ .
三、解答题
22
11.已知A={1,2,x-5x+9},B={3,x+ax+a},如果A={1,2,3},2∈B,求实数a的值.
12.(本小题满分12分)定义A⊗B={z|z=xy+
{}
{}
x
,x∈A,y∈B}.设集合A={0,2},y
B={1,2}
1.求集合A⊗B的所有元素之和. 2.写出集合A⊗B的所有真子集。 13.设集合A=x-2
(2)当A B=B时,求a的取值范围. 14.(本小题满分12分)
x
已知A ={x-11
{}
⎧⎩x-a⎫
,a≠0,a∈R⎬. 3a-x⎭
{}
A
B
(第15题图)
(1)求A B和A B;
(2)若记符号A-B={x|x∈A,且x∉B},
①在图中把表示“集合A-B”的部分用阴影涂黑; ②求A-B和B-A.
2
15.已知集合A={xx+2x-3
x+2
(1)在区间(-4,4)上任取一个实数x,求“x∈A⋂B”的概率;
(2)设(a,b)为有序实数对(如有序实数对(2,3)与(3,2)不一样),其中a是从集............合A中任取的一个整数,b是从集合B 中任取的一个整数,求“b-a∈A B”的概率
16.(本小题满分13分)若集合
具有以下性质:①0∈A,1∈A;②若x,y∈A,则
x-y∈A,且时,
1
∈A.则称集合是“好集”. x
(Ⅰ)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是否是“好集”,并说明理由; (Ⅱ)设集合
是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A;
(Ⅲ)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题p:若x,y∈A,则必有x∙y∈A;
命题q:若x,y∈A,且,则必有
y
∈A; x
17.(本小题满分12分)已知全集U=R,A={x||x-1|≥1},B为函
数
f(x)=C为g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a
(2)若C⊆B,求实数a的取值范围;
18.已知集合A={-4,2a-1,a },B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.
(1)9∈A B; (2){9}=A B. 19.已知集合A=⎨x|(1)求集合A;
2
⎧⎩2x-1⎫
≤1,x∈R⎬,集合B={xx-a≤1,x∈R}. x+1⎭
20.设A=xx+4x=0 B=xx+2(a+1)x+a-1=0.
2
2
2
{}
{}
(1)若A B=B,求a的值; (2)若A B=B,求a的值; 21.(本小题满分12分)
a(x-a)
x+1
(1)若a=3,求P;
记关于x的不等式
(2)若a>-1且Q⊆P,求a的取值范围。 22.已知集合
A={a1,a2, ,an}中的元素都是正整数,且a1
x≠y,有|x-y|≥
xy.25
x,y∈A,且
11n-1-≥;aa25n (I)求证:1
(II)求证:n≤9;
(III)对于n=9,试给出一个满足条件的集合A。
23.集合A是由适合以下性质的函数组成:对于任意x≥0,f(x)∈[-2,4],且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
⎛1⎫
(1)试判断f1(
x)=2及f2(x)=4-6 ⎪(x≥0)是否在集合A中,若不在A
⎝2⎭
中,试说明理由;
(2)对于(1)中你认为集合A中的函数f(x),不等式f(x)+f(x+2)
x
参考答案
1.C 【解析】
试题分析:(1)依据子集定义,任何集合都是自身的子集,①正确;②正确;③单元素0集合含一个元素0,不是空集φ,③错误;④0∈{0}正确;⑤空集φ和集合{0}两个集合的关系为包含关系不是从属关系,不能用属于关系,⑤错误;⑥由于空集是任意集合的子集,则
Φ⊆{0}正确;选C
考点:1.元素与集合关系;2.集合与集合的关系;3.集合相等; 2.C 【解析】
试题分析:根据题意,易得A={1,0},由集合的元素数目与集合子集数目的关系,可得其子集的数目,排除其本身这个子集后可得其真子集的数目,即可得答案.
根据题意,全集U={1,2,3,4},且CUA={2},则A={2,3,4},A的子集有23=8个,其中真子集有8-1=3个;
考点:子集与真子集. 3.B. 【解析】 试题分析:若集合仅有一个解,当
A=xax2+2x+1=0
{
}中只有一个元素,则方程ax
2
+2x+1=0有且
a=0时,方程可化为2x+1=0,满足条件;当a≠0时,二次方程ax2+2x+1=0有
且只有一个解,则∆=4-4a=0,解得a=1,故满足条件的a的值为0或1.故选B. 考点:元素与集合关系的判断. 4.B 【解析】
试题分析:阴影部分的元素属于集合A和C,但不属于B,从而属于CUB,所以阴影部分的集合是(AICUB)IC,故选择B. 考点:集合的运算及其关系. 5.C 【解析】
试题分析:当菱形为正方形时,菱形内只有一个整点(1,1),当菱形的一个内角是菱形内有两个整点(1,1)(2,1),当菱形的内角等于
π
时,3
π
时,菱形内不含有整点,故C正确 6
考点:本题考查图形的变换,让菱形的一个内角动起来,画图即可 点评:考查学生的运动变化的思维能力 6.B
试题分析:① 2015÷5=403,∴2015∈[0], 故①错误;② 故②错误; -2=5⨯(-1)+3,∴-2∉[2],
③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类,故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正确;
④∵整数a,b属于同一“类”,∴整数a,b被5除的余数相同,从而a-b被5除的余数为0,反之也成立,故“整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”.故④正确.故答案为:③④正确结论的个数是2,选B 考点:真命题、假命题 7.3
【解析】具有伙伴关系的元素组是-1;
1
,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},2
⎧1⎫⎧1⎫⎨,2⎬,⎨-1,,2⎬ ⎩2⎭⎩2⎭
8.①17;②(n-1)2n+1 【解析】
试题分析:根据题意,集合M的子集有2个,非空子集有2-1个,在所有非空子集中,每个元素出现2
n-1
n
n
次,所有2
n-1
个子集含含n,有2
k-1
n-2
个子集不含n,含n-1,有2
n-3
个
子集不含n,n-1,含n-2, ,有2个子集不含n,n-1,n-2, k-1,而含k,所以
Sn=2n-1⨯n+2n-2⨯(n-1)+ +21⨯2+1,利用错位相减法求得:Sn=(n-1)2n+1,
所以S3=17,Sn=(n-1)2+1.
n
考点:1.集合的子集;2.数列求和. 9.①④⑤ 【解析】
试题分析:因为a-a=0,
a
=1,故①正确;任意两个整数相除,商不一定都是整数,故
a
②错误;若M=QU,则M就不是数域,故③错误;因为N必为任意一个数域的子
集,故数域必为无限集,故④正确;例如在数域F=a+,b∈
Q其它的任意一个无理数,得到的集合F都是数域,所以存在无穷多个数域,故⑤正确.综上正确的有①④⑤.
考点:对及时定义的概念的理解和运用. 10.(-1,+∞)
{}
⎧-3,(x
试题分析:M={x︱x>2},N=R,而x--4-x=⎨2x-5,(1≤x≤4),因为M N≠φ,所
⎪3,(x>4)⎩
以a>2×2-5=-1.
考点:集合中元素的特征和集合间的关系
27或-. 34
22
【解析】解:由A={1,2,x-5x+9}={1,2,3},知x-5x+9=3,解得x=2或x=3,
272
又2 ∈B,则x+ax+a=2,当x=2时, a=-,当x=3时,a=-.
34
27
故a=-或-.
34
11.a=-
12.1.9;2.{0} {4} {5} {0,4} {0,5} { 4,5}共7种可能
【解析】 试题分析:(1)分别将A,B中的元素代入,从而求出A⊗B中的元素,进而求出元素之和;(2)由(1)A⊗B={0,4,5,},逐项写出即可. 试题解析:(1)集合A={0,4,5,},
所以A⊗B={0,4,5,},集合所有元素和 9;
(2){0} {4} {5} {0,4} {0,5} { 4,5}共7种可能. 考点:子集和真子集
13.(1){x1
2
. 3
x-1x-1
>0就的定义域,解不等式
3-x3-x
x-a
>0的解集,在解不可得到集合B;(2)由A B=B知A⊆B,集合B是不等式
3a-x
等式时可先化为一元二次不等式,然后对相应方程的根的大小进行讨论,具体化集合B,再由A⊆B确定a的取值范围.
x-1x-1
>0, 3分 试题解析: (1)当a=1时,y=lg,由
3-x3-x
试题分析:(1)当a=1时,集合B就是函数y=lg
解得1
x-a
>0,得(x-a)(x-3a)
3a-x
(ⅰ)当a>0时,B=(a,3a),显然不满足题意; 10分
(ⅱ)当a
⎧3a≤-22
,解得-1≤a≤-. 13分
3⎩a≥-1
综上所述,所求a的取值范围是-1≤a≤-考点:集合的运算、子集的含义. 14.略 【解析】
2
. 14分 3
15.(Ⅰ)p=【解析】
试题分析:(Ⅰ)易得A={x-3
33
.(2)p=. 84
3
.(2)由于a、b是整数,8
故属于古典概型,列出所有可能出现的结果,找出满足“b-a∈A B”的所有结果,二
续的实数,故属于几何概型,由几何概型的概率公式可得P1=者相除即得所求概率.
2试题解析:(Ⅰ)∵A={xx+2x-3
x+2
3P=设事件“x∈A B”的概率为P,这是一个几何概型,则概率 6分 11
8
∵B={x
,∈B(2)因为a,b∈Z,且a∈Ab,所以,基本事件共12个:(-2,-1),(-2,0),(-2,1),
(-2,2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2) 9分
设事件E为“b-a∈A B”,则事件E中包含9个基本事件 11分 事件E的概率P(E)=
93
=. 12分 124
考点:1、几何概型;2、古典概型. 16.(Ⅰ)有理数集(Ⅲ)命题
是“好集”. (Ⅱ)
.
均为真命题..
是“好集”.因为
,
,所以
【解析】(I) 先假设集合这与
矛盾.这样就确定集合不是“好集”.有理数Q也采用同样的方法,进行推证.
(II)根据好集的定义
是“好集”,则0∈A,然后再根据x,y的任意性,可证明x+y∈A.
(III)本小题也是先假设p、q都是真命题,然后根据好集的定义进行推证.. (Ⅰ)集合因为有理数集
不是“好集”. 理由是:假设集合,
,所以
,
是“好集”. . 这与,对任意的
矛盾.…………2分 ,有
,且
时,
是“好集”. 因为
1
∈Q.所以有理数集x
(Ⅱ)因为集合所以(Ⅲ)命题
是“好集”. ………………………………4分
是“好集”,所以
,即
.若,则,即.
. …………………………6分
均为真命题. 理由如下: ………………………………………7分
,任取
, 若
中有0或1时,显然
.
对任意一个“好集”下
设
均不为0,1. 由定义可知:x-1,
1111,∈A.所以-∈A,即x-1xx-1x
1
∈A.
xx-1所以
若
或.
所以
. 所以
. 由(Ⅱ)可得:
,则显
然
,即.
若
. 同理可得
且
.
,
则
1
∈A.由(Ⅱ)可得:2xy
111=+∈A. xy2xy2xy
所以
.综上可知,
,即命题
为真命题.若
,且
,则
1
∈A. x
所以
y1
=y∈A,即命题为真命题. „„„„„„„„„„„„„„13分 xx
17.(1)A B=xx
{
{
CU(A⋃B)={x0
(2)a≤-2或
1
≤a
【解析】解:(1)解|x-1|≥1得:x≤0或x≥2∴A=xx≤0,或x≥2}; ∵函数f(x)的自变量x应满足2-
{
⎧(x+1)(x-1)≥0x+3
≥0,即⎨ x+1x+1≠0⎩
∴x
{
A B={xx
(2)∵函数g(x)的自变量x应满足不等式(x-a-1)(2a-x)>0. 又由a{
} C⊆B∴a+1≤-1或2a≥1
∴a≤-2或a≥
11
,又a
18.(1)a=5或a=-3;(2)a=-3.
【解析】 试题分析:(1)9∈A B,说明9是集合A和集合B的公共元素,即9∈A且9∈B,但解题时,我们只要用一个9∈A或9∈B,来求出参数a的值,只不过求出参数a的值后,必须代入集合B进行验证是不是符合题意,这里题意不仅有9∈B,而且还要考虑集合元素的互异性;(2){9}=A B只是(1)的特殊情形,(2)中说明集合A和集合B只有一个公共元素9,故只要把(1)中的结论代入确认,而且(1)中的两个结果都应该代入检验才能得出正确的结论. 试题解析:解:(1)∵9∈A B,∴9∈A且9∈B,
2
∴2a-1=9或a=9,∴a=5或a=±3.
检验知:a=5或a=-3.
(2)∵{9}=A B,∴9∈A B,∴a=5或a=-3.
a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A B={-4,9}与A B={9}矛盾,舍去; a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},此时A B={9},符合题意.
∴a=-3.
考点:交集的定义和集合的相等. 19.(1) (-1,2];(2) (-∞,-2] (3,+∞).
【解析】
试题分析:(1)求集合,要认清这个集合的代表元是什么?这个代表元具有什么性质?也即这人集合实质是什么?象本题中集合A实质就是不等式
2x-1
≤1的解集,故我们只要解这x+1
个不等式即可,当然分式不等式的解法是移项,把不等式的右边变为0,左边变成若干因式的积或商,再转化为整式不等式,还要注意的转化时要注意等价转化(主要是原分式不等式中分母不能为0);(2) 条件B ðRA=B,说明B⊆ðRA,不需要求出B ðRA,而是利用集合的关系解决问题. 试题解析:解:(1)由
2x-1x-2
≤1,得≤0 2分 x+1x+1
所以A=(-1,2] 2分 (2)ðRA=(-∞,-1] (2,+∞) 2分
B=[a-1,a+1] 2分
由B ðRA=B,得B⊆ðRA 2分 所以a+1≤-1或a-1>2
所以a的范围为(-∞,-2] (3,+∞) 2分 考点:(1)分式不等式;(2)子集的性质. 20.(1) a=1,或a≤-1;(2) a=1 【解析】
试题分析:(1)由解出集合A.又因为A B=B,可得∴B⊆A.所以分两类为空集. 其一集合B.则只需二次方程的判别式小于零即可;其二集合B不是空集.则至少存在集合A中的一
个元素-4,或0通过列举分类以及带入验证即可求得a的值.
(2)因为A B=B∴A⊆B.由于一个二次方程至多两个实数根,所以集合A与集合B相等.所以两个方程要相同,所以可得a=1.
试题解析:由已知A=xx+4x=0得A={-4,0}
2
{}
答案第7页,总10页
(1) B=xx+2(a+1)x+a-1=0. A B=B,
2
2
{}
∴B⊆A. ①若0∈B,则a2-1=0,
解得 a=±1. 当a=1时,B=A ; 当a=-1时, B={0} ② 若-4∈B,则a-8a+7=0,
解得a=7或a=1,当a=7时, B={-12,-4}, B⊄A. ③
2
若B=ϕ,则△=4(a+1)-4a-1
2
2
()
由①②③得a=1,或a≤-1, (2) A B=B ∴A⊆B.
A={-4,0} B至多有两个元素, ∴A=B,由(1)知, a=1
考点:1.集合的运算交集,并集.2.二次方程的求解.3.分类讨论问题. 21.
【解析】略 22.
(I)证明略 (II)证明略 (III)【解析】
答案第8页,总10页
23.(1)在集合A中;(2)任意x≥0不等式f2(x)+f2(x+2)
[]
答案第9页,总10页
f2(x)+f2(x+2)-2f2(x+1)⎛1⎫⎛1⎫=4-6 ⎪+4-6 ⎪
⎝2⎭⎝2⎭
x
x+2
x+1
⎡⎛1⎫⎤-2⎢4-6 ⎪⎥
⎝2⎭⎥⎢⎣⎦
⎡⎛1⎫x+1⎛1⎫x⎛1⎫x+2⎤
=6⎢2 ⎪- ⎪- ⎪⎥
⎝2⎭⎝2⎭⎥⎢⎣⎝2⎭⎦⎛1⎫
=-6 ⎪
⎝2⎭
x+2
(x≥0)
∴f2(x)对任意x≥0不等式f2(x)+f2(x+2)
答案第10页,总10页