04 第四节 平面曲线的弧长
第四节 平面曲线的弧长
内容分布图示
★ 平面曲线弧长的概念
★ 直角坐标情形 ★ 例1 ★ 例2
★ 参数方程情形 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 极坐标情形 ★ 例7 ★ 例8
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-4
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讲解注意：
一、平面曲线弧长的概念
二、平面曲线的弧长的计算
直角坐标情形：y =f (x ) x ∈[a , b ]，弧长微元（弧微分）ds =
滑曲线的弧长 s =
⎧x =ϕ(t )
⎩y =ψ(t )
2+y 'dx ，所求光2⎰b a +y 'dx (a
22ϕ'(t ) +ψ'(t ) dt . (4.3) 22 s =⎰αβ
极坐标情形：r =r (θ) (α≤θ≤β), 弧长微元
ds =(dx ) +(dy ) =22r (θ) +r '(θ) d θ, 22
所求光滑曲线的弧长
s =⎰αβr (θ) +r '(θ) d θ. (4.4) 22
例题选讲：
平面曲线的弧长的计算
3
例2 (讲义例3) 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量，下垂成曲线形. 这样的曲线
x 叫悬链线. 适当选取坐标系后，悬链线的方程为y =k cosh , 其中k 为常数. 计算悬链线k
上介于x =-b 与x =b 之间一段弧的长度. 例1 (讲义例2) 求曲线y =23x 上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度. 2
例3 (讲义例1) 求圆x +y =R 的周长. 222
例4 (讲义例4) 求星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t 的全长. 例5 求摆线 ⎨⎧x =a (t -sin t )
⎩y =a (1-cos t )
例6 证明正弦线y =a sin x (0≤x ≤2π) 的弧长等于椭圆
x =c o s t ⎧ ⎨(0≤t ≤2π) 的周长. 2y =+a s i n t ⎩ (a >0, 0≤t ≤2π) 一支的弧长.
θ⎫⎛例7 求极坐标系下曲线r =a sin ⎪(a >0, 0≤θ≤3π) 的长. 3⎭⎝
例8 (讲义例5) 求心形线r =a (1+cos θ) 的全长.
课堂练习
x 3
1. 计算曲线y =⎰n
0n sin x dx 的弧长(0≤x ≤n π).
2. 求阿基米德螺线r =a θ (a >0) 上相应于θ从0到2π的弧长.