用平面向量坐标表示向量共线条件
一、选择题
1.设k∈R,下列向量中,与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是( )
A.b=(k,k)
C.d=(k2+1,k2+1) B.c=(-k,-k) D.e=(k2-1,k2-1)
【解析】 由向量共线的判定条件,当k=0时,向量b,c与a平行;当k=±1时,向量e与a平行.
对任意k∈R,1·(k2+1)+1·(k2+1)≠0,∴a与d不平行.
【答案】 C
2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于( )
A.(-5,-10)
C.(-3,-6) B.(-4,-8) D.(-2,-4)
【解析】 由a∥b得m+2×2=0,∴m=-4,
∴b=(-2,-4).
∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).
【答案】 B
→→
3.在▱ABCD中,已知AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC、BD相交于O点,则→
CO的坐标是( )
1A.(-25)
1C.(25) 1B.(-2,-5) 1D.(2,5)
→1→1→→
【解析】 ∵CO=-2=-2AB+AD)
111=-2-2,3)-2(3,7)=(-25).
【答案】 B
314.已知向量a=(2,sin α),b=(sin α,6,若a∥b,则锐角α为( )
A.30°
C.45° B.60° D.75°
311【解析】 ∵a∥b,∴sin2 α=264
1∴sin α=. 2.∵α为锐角,∴α=30°
【答案】 A
5.与a=(12,5)平行的单位向量为( )
125A.(1313125B.(-1313125125C.(1313或(-1313125D.13,13)
22⎧x+y=1,【解析】 设与a平行的单位向量为e=(x,y),则⎨ ⎩12y-5x=0,
12x=⎧⎪13∴⎨5y=⎪⎩13 12x=-⎧⎪13,或⎨5y=-⎪⎩13.
【答案】 C
二、填空题
6.已知A,B,C三点的坐标分别为(0,-1),(2,3),(-1,-3),则A,B,C三点的位置关系是________.
→→→→
【解析】 AB=(2,4),AC=(-1,-2),∴AB=-2AC.
∴A,B,C三点共线.
【答案】 共线
7.(2013·福州高一检测)设向量a=(1,0),b=(1,1),若向量λa+b与向量c=(6,2)共线,则实数λ=________.
【解析】 λa+b=λ(1,0)+(1,1)=(λ+1,1),因为向量λa+b与c=(6,2)共线,所以(λ+1)×2=6×1,∴λ=2.
【答案】 2
→→→
8.(2013·宿州高一检测)已知:AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1).若A、C、D
三点共线,则k=________.
→→→
【解析】 ∵AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1),
→→→
∴AC=AB+BC=(10,k+1),又∵A、C、D三点共线,
→→
∴AC∥CD.
∴10×1-2(k+1)=0,
解得k=4.
【答案】 4
三、解答题
9.已知向量AB=(6,1),CD=(-2,-3),BC=(x,y)
且|BC|=5,BC∥DA,求x,y的值.
【解】 由题意得DA=-AD=-(AB+BC+CD)
=-[(6,1)+(x,y)+(-2,-3)]=(-x-4,-y+2),
BC=(x,y).又∵BC∥DA,
∴x(-y+2)-y(-x-4)=0.
化简得x+2y=0.
即x,y应满足的关系为x+2y=0.①
又∵|BC|=5,即x2+y2=5.②
⎧x=-2,⎧x=2,由①②解得⎨或⎨ ⎩y=1⎩y=-1.
10.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),试证明四边形ABCD是梯形.
→→
【证明】 ∵AB=(3,3),CD=(-2,-2),
→3→
∴AB=-2.
→→又∵A、B、C、D四点不共线,∴AB∥CD.
→
又∵AD=(0,2)-(1,0)=(-1,2), →→→→→→→→→→→→→→→
→
BC=(2,4)-(4,3)=(-2,1).
且-1×1-2×(-2)≠0,∴AD与BC不平行,
∴四边形ABCD是梯形.
11.已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积.
→
【解】 以A为坐标原点,AB为x轴建立直角坐标系,如图所示,
∴A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6).
∴F(6,4),E(3,0),
→
设P(x,y),AP=(x,y),
→→→
AF=(6,4),EP=(x-3,y),EC=(3,6).
由点A,P,F和点C,P,E分别共线,
9⎧⎪4x-6y=0,x=⎧2得⎨∴⎨⎩6(x-3)-3y=0,⎪⎩y=3.
∴S四边形APCD=S正方形ABCD-S△AEP-S△CEB
1145=36-23×3-23×6=2