长方体在立体几何中的运用
长方体是一个基本的空间几何体，它比较全面的展现了空间点、线、面的位置关系和数量关系，与几何体的三视图，多面体的外接球联系紧密，综合度高，运用灵活而多变，历来是命题专家所关注的对象之一，也是学生学习中的一个重点、难点和能力增长点。 本文通过对考题的解析、归纳得出一些经验和解题结论，供对此感兴趣的读者以参考和借鉴。 题目1 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体外接球的体积是____。 解析：首先通过三视图可定性判断出该多面体是底面为正方形的四棱锥，然后在正方体中进行探究，如图，四棱锥A1-ABCD即为该多面体，且该多面体的外接球即正方体A1C的外接球， 评注：多面体三视图的本质就是，将多面体完全置于长方体内部时，多面体分别在长方体的后面、左面及底面上的正投影;当多面体的所有顶点都是长方体的顶点时，长方体的外接球就是多面体的外接球。 题目2 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A.3π B.4π C.3 π D.6π 解析：以正方体的面对角线为棱可构成一个正四面体，从而将原四面体补成一个棱长为1的正方体，正方体的对角线即球的直径。故，S=4π× ）2=3π。 评注：正四面体可看作是由正方体的一个顶点发出的三条面对角线为侧棱的三棱锥。这一模型对于正四面体的外接球问题非常有用。 题目3 锐角△PQR的三边长分别为2a，2b，2c，沿着它的三条中位线把△PQR折成四面体ABCD，则该四面体的体积是____。 解析：四面体ABCD的相对棱长相等，联想到长方体中一对平行底面上的异面对角线相等这一特点，构造长方体，如图所示，则四面体ABCD可看作是长方体被截去四个相同的直三棱锥后的剩余几何体。设长方体的长、宽、高分别为x、y、z则 评注：该题运用了补形分割的思想方法，使问题易于解决，且结论具有一般性，值得借鉴。 题目4 （2014全标I理12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ） 解析：由题目1的经验促使我们在正方体中来考虑多面体的直观图，如图所示，设辅助正方体的棱长为4，则三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD，其中最长的棱为AD =6。 评注：正方体的引入，使得多面体的直观图变得明显而直观，从而使问题的解决变得简洁。这再一次体现了长方体在实现棱锥三视图向直观图转化中的作用，及对问题解决所带来的便利。 上面四道题目从三视图与长方体、长方体与外接球、长方体的自身特点几个方面对长方体在空间几何中的运用进行了展示，从这些展示中，启示我们：三视图向直观图的转化中，长方体是一个非常有用的辅助体;三（四）棱锥的外接球与长方体的外接球往往联系在一起;棱长特殊的四面体和长（正）方体中的对角线是否关联，是不能不注意的一个问题。总之，长方体是立体几何问题解决过程中不应被遗忘的对象，是“构建”中的一种常用“模型”。