极限是微积分的核心
科技信息○高校讲坛○
SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2011年第17期
极限是微积分的核心
赵雪莲王诗筠
（浙江海洋学院数学系浙江舟山
316000）
【摘要】极限思想至始至终贯穿于微积分之中，微积分中许多重要的概念都是用极限来定义的，如连续、导数、积分、级数等.可以说微积分就是应用极限和极限思想研究函数变量间依赖关系和函数变化规律的数学分支，极限和极限思想在微积分中扮演着核心的地位.
【关键词】极限；微积分；核心；连续；导数；积分；级数
极限概念是微积分中最基本的概念,极限思想是数学中极为重要的思想.在数学领域中“极限”是用来描述变量在一定的变化过程中的极限状态的.“极限”经历了漫长的发展进程,今天的极限概念是数学家用了两千余年的时间不断完善才得到的.
粗略地讲，微积分可分为三部分：微分学、积分学、级数.每一部分的最基本概念都是通过极限来定义的,每一部分都离不开极限,可以说没有极限就没有微积分.极限和极限思想在微积分中扮演着核心的地位.
2
2.1
微积分处处是极限
1
1.1
极限的发展史
极限的早期历史
极限的思想可以追溯到古代.古希腊的“穷竭法”、阿基米德圆周率计算、刘徽的割圆术,都蕴含着古代朴素、直观的极限思想.古朴的极限思想主要指通过整体细分,按照某种规律或发展趋势逼近终极状态近似获得整体值的一种思想.
古代数学中的极限思想仅止于思想,而没有发展到方法层面,希腊学者发明了穷竭法,却避开了“取极限”.穷竭法是逻辑方法,这导致极限思想未能尽早的发展为极限方法.1.2极限的发展期
极限思想是随着微积分的发展而发展的.16世纪的工业革命,社会生产力得到快速发展,随之在社会生产和技术中产生了许多用初等数学方法无法解决的问题,为此数学研究对象由常量问题扩展到变量问题.荷兰数学家斯蒂文突破性地运用极限思想来思考研究三角形重心问题,极大推动了极限思想方法的实际应用价值.
起初，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨试图以无穷小概念为基础建立微积分,可在研究过程中却遇到了逻辑问题.牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度,使Δt无限趋近于零,得到瞬时速度,并由此引出导数概念和微分学理论.但牛顿关于极限的表述是:“两个量和量之比,如果在有限时间内不断趋于相等,且在这一时间终止前互相靠近,使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等”,他的极限概念只是直观性描述.这样的定义无法定量地分析两个“无限过程”之间的联系,为此它不能成为理论科学论证的严密基础.1.3极限的成熟期
极限思想是随着微积分的严格化而不断完善的.到了18世纪,许多科学家和数学家先后意识到必须将极限概念作为微积分的基础概念,并给出了多种关于极限的定义.第一个明确阐述极限概念的数学家是法国的达朗贝尔.他指出,“当第一个量以比人们能想出的任何细微给定量都更密切地逼近第二个量时,第二个量就是第一个量的极限.”显然达朗贝尔的极限概念已不再只是几何、力学的直观描述,因而他的极限理论成为最先被认定的现代严格极限理论.
19世纪,法国数学家柯西给出了比较完整的极限概念及其理论,提出了极限理论的ε-方法,并首先定义了定积分即为和式极限,也给出了无穷小、无穷大的定义.柯西将以0为极限的变量视为无穷小,他让无穷小“似零非零”的认识不再模糊.但柯西的极限概念中还是有一些如“无限趋近”、“要多小就多小”等描述性的词语,因此它还不能称为彻底严密化的概念.柯西之后,德国数学家维尔斯特拉斯又进一步改进,并给出了相当严密的ε-δ方法,消除了“无限趋于”和“要多小有多小”这些直观性语言,从而使得极限概念变得更加的严密完整.
极限的ε-δ定义用静态的有限量刻画了动态的无限量,使极限概念摆脱了几何直观和想象,为微积分提供了严格的理论基础.
极限与连续
客观世界的许多事物以及现象都是运动变化的,且变化过程往往是连绵不断的,而连续函数是刻画变量连续变化的最佳数学方式.
正是对物体连续运动的研究促使了微积分的萌芽和产生.18世纪时,虽然许多数学家都已在研究连续函数,但仍停留在几何直观上.直到19世纪,柯西及维尔斯特拉斯等数学家建立严格的极限理论后,才使连续函数有了精确定义.
连续的直观含义:一个“连续函数”y＝f（x）有两种直观含义,一是从几何形象上说，在坐标平面上y＝f（x）的图象是一条连绵不断的曲线;二是若用函数值y＝f（x）随x的值的改变而变动的观点来说,就是当x的改变量不大时,函数y＝f（x）的相应变动也是缓慢细微的,不会出现跳跃式的突增或突减变化.
连续的精确定义1:设y＝f（x），记Δx＝x－x0为自变量的增量,而因变量的增量记为Δy＝f（x）－f（x0）＝f（x0＋Δx）－f（x0）＝y－y0.那么,若
Δx→0
limΔy＝0，
则称f（x）在点x0连续.
连续的精确定义2:设函数f（x）在某U（x0）内有定义,若
limf（x）=f（x0），
x→x0
则称f（x）在点x0连续.
连续的精确定义3:设函数f（x）在某U（x0）内有定义,若对任给的
ε＞0，存在δ＞0，使得当x－x0＜δ时有f（x）－f（x0）＜ε，则称函数f（x）在点x0连续.
连续在数学运算中的体现:函数在点连续意味着极限和对应法则两种数学运算可交换,即limf（x）=f（limx）.
x→x0
x→x0
2.2
极限与导数
法国数学家费马为研究极值问题最早的引入了导数的思想,但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线.这是由英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和研究几何学过程中建立起来的.
设质点在作直线运动时的运动规律为s＝s（t），则质点在时刻t0的
瞬时速度为:
v＝lim
t→t0
s（t）－s（t0）
.
而平面曲线y＝f（x）上过点P（x0，y0）处的切线斜率为:
f（x）－f（x0）軈k＝.0
问题截然不同,但在数学上的表现毫无差异.描述这种变化率,我们可以通过导数来定义.导数的定义:设函数y＝f（x）在x0的某邻域内有定义,若极限
lim
x→x0
f（x）－f（x0）0
存在，则称函数f（x）在点x0可导，并称该极限为函数f（x）在点x0
处的导数，记作f′（x0）.
设函数f（x）为定义在区间I上的函数,若有（）limf（x+Δx）－f（x），
Δx→0
f′x=
x∈I.
则称f′（x）为函数f（x）在区间I上的导函数,简称导数.
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可见,微分学的基本概念导数是用极限来定义的.此外,导数也可用来解决极限问题,如洛必达法则就是以导数为工具解决未定式极限的.
2.3极限与积分
微分学的另一基本概念积分也是用极限来定义的.不定积分是用导数的反运算来定义的,或者说是用极限间接定义的；而定积分,多重积分,各种曲线积分、曲面积分都是用极限直接定义的.这儿试举两例.
定积分定义:设f是定义在区间［a，b］上的有界函数,用点xi将区间［a，b］任意分成n个子区间Δi=［xi－1，xi］，i=1，2，…，n.子区间及其长度记作Δxi.在每个子区间上任取一点ξi∈Δi，i=1，2，…，n，并作和式
n
n
数项级数敛散的定义:若数项级数u1＋u2＋…＋un＋…的部分和数列｛Sn｝收敛，则该称数项级数u1＋u2＋…＋un＋…收敛，若｛Sn｝是发散的,则称该数项级数发散.
显然，上述定义可改用下面的方式来叙述.
级数及敛散的定义:设Sn＝
∞
Σu
k=1
n
k
，那么
Σu
n=1
∞
n
＝：limSn.如果极限
n→∞
limSn存在，我们称级数Σun收敛，如果极限limSn不存在，我们称级
n→∞
n=1
n→∞
数
Σu
n=1
∞
n
发散.
Σf（ξ）Δx.如果当最大的子区间的长度｜｜T｜｜
i=1
i
i
i=1
i
i
3结束语
极限存在，并且其极限值与T的分法及ξi的取法无关，则称f在区间［a，b］上可积，此极限值J称为f在区间［a，b］上的定积分，记作J=（x）dx，即
n
乙f
a
b
J=lim
｜｜T→0｜｜i=1
Σf（ξ）Δx=乙f（x）dx.
i
i
a
b
极限思想方法可以说贯穿了数学分析或微积分的全部内容.如果●
说“微积分是一门什么样的学科?”那么可以概括为:“微积分就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具研究函数的一门学科.”这充分体现了极限思想在微积分中无可替代的重要地位.除上述连续、导数、定积分、级数等许多重要概念依赖于极限外,微积分中还有许多重要定义也离不开极限概念.极限,微积分无可争议的核心.
第一型曲线积分的定义:设L为平面上可求长度的曲线段，f（x，y）为定义在L上的函数.对曲线L作分割T,把L分成n个可求长度的小曲线段Li（i=1，2，…，n），Li的弧长记为Δsi，分割T的细度｜｜T｜｜＝
1≤i≤n
4致谢
作者感谢张海亮教授对本文的指导，同时也感谢浙江海洋学院大学生研究性学习与创新性实验项目对本文的资助.科
maxΔsi，在Li上任取一点（ξi，ηi）（i=1，2，…，n）．若有极限
lim
【参考文献】
［1］邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海:教育出版社,2009.［2］华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001．［3］徐利治.论无限：无限的数学与哲学[M].大连:大连理工大学出版社,1999.［4］龚群强.论“极限思想”在教学中的重要性[J].数学学习与研究,2010,13(1):16．
通讯作者:王诗筠。
｜｜T｜｜→0i=1
Σf（ξ，η）Δs=J
i
i
i
n
且J的值与分割T与点（ξi，ηi）的取法无关,则称此极限为f（x，y）在L上的第一型曲线积分，记作
乙f（x，y）ds.
L
2.4
极限与级数
作为微积分三大分支之一的级数理论其实也无法离开极限.例如级数收敛和发散的定义，表面上无极限,但事实上只是把极限隐藏起来罢了.
［责任编辑：王静］
（上接第159页）装备生产厂家调研，熟悉装备，提升能力。三是畅通引智渠道，盘活人才资源。采取特招入伍、科研合作等措施，引进长江学者、留学归国博士等高层次人才，选调更多的博士后出站人员留校工作。
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2．4加强教学保障条件建设，为学科建设发展提供良好的物质条件
一是要完善现有的教学设施，发挥综合优势。对现有的教学设备、器材资源，要管好用好，加强专业内的综合应用和与其它学科专业的联合，发挥出综合优势的最大效能。二是要根据新的培训任务和专业特点，加强教学条件建设。要采取措施，积极扩大承训能力，使办学条件逐步与新的培训任务相适应。教学设备、器材建设要高起点，增大教学保障的科技含量，尽量采用比较成熟的现代化教育教学手段，尽可能给学员创造一个比较逼真的现代化作战环境。三是要开发新手段，研制模拟设备，实行网络化、模拟化教学训练。要建设功能齐全的现代化教学场地，加强专业教室和实验室建设，开发教学软件，研制模拟训练器材和虚拟化装备，加强校园网络建设，积极开展网上教学和远程教学，发挥现代技术在教学中的作用，实现课堂教学多媒体化，研讨交流网络化，图书阅览电子化。
2．5加强科研工作，为学科建设发展提供有力的科研支撑
一要选准科研项目。紧紧抓住新时期军事斗争准备中作战的重大
理论问题和技术难题，紧紧围绕部队战斗力的提高，在作战理论研究和军事技术创新上下功夫；深入部队科技练兵实际，结合部队训练中的技术难题开展研究，在为部队服务上下功夫，认真做好科研课题的立项工作。二要加强交流与合作。要注重与军内外院校、科研单位及机关部队的联系，采取“走出去”和“请进来”的交流方式，使教员很快地吸收、消化学科前沿的新知识、新方法和新信息，促进教员思维模式的变革；要加大开放协作研究力度，积极争取重大科研项目，改变过去以个体、单兵作战为主的现象，组织跨教研室、跨系甚至跨校间的联合攻关，力争取得高水平科研成果，提高学科整体水平。三要抓好科研管理规章制度的建立与完善。科研管理规章制度的建立与完善，要有利于充分调动系、教研室和课题组等多方面的积极性，为科研创新提供必要的保证。四要积极推进学科成果转化工作。尤其要把研究成果及时转化到教材和课堂教学内容中去，以丰富和创新军事理论，使学员了解到最新发展，促进学科建设良性循环。科
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【参考文献】
［1］刘勇志,丁浩杰,杨海波.把摇任职教育特点加强管科专业建议[J].海军院校教育，2005，15(1):24-26．
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2005，15(2):20-23．
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作者简介：叶文（1979—），男，安徽黄山人，副教授，博士。
［责任编辑：常鹏飞］
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