椭圆定值问题
圆锥曲线中的定值问题
姓名:张小燕 校区:天河北(10校) 职位:高中数学老师
题目: 已知定点C (-1,0)及椭圆x 2+3y 2=5,过点C 的动直线与椭圆相交于
A 、B 两点,在x 轴上是否存在点M ,使MA ⋅MB 为常数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由。
解答: (1)依题意,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=k(x+1), 将y=k(x+1)代入x 2+3y2=5,
消去y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.
设A (x 1,y 1),B(x2,y 2), ⎧∆=36k 4-4(3k 2+1)(3k 2-5) >0, ⎪2⎨6k x +x =-. ⎪1223k +1⎩① 则 ②
由线段AB 中点的横坐标是-1, 2
得x 1+x 2
2=-3k 3k 22+1=-1, 解得k=±233,适合①.
3所以直线AB 的方程为x-3y+1=0,或x+y+1=0.
(2)假设在x 轴上存在点M (m ,0),使MA ⋅MB 为常数.
(ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时,由(1)知
x 1+x2=--6k
3k 22+1,x 1x 2=3k 2-5. 3k +12 ③ 所以MA ⋅MB =(x 1-m )(x2-m)+y1y 2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)
=(k2+1)x1x 2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.
将③代入,整理得
(6m -1) k MA ⋅MB =23k
1
32
22-5+m2 143+1=(2m -)(3k +1) -2m -+1
6m +14
3(3k 2+m2 3k =m2+2m-1-3+1) . 注意到MA ⋅MB 是与k 无关的常数,从而有
6m+14=0,m=-7,此时MA ⋅MB =4. 39
(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时,
此时点A ,B 的坐标分别为
⎛2⎫ -1, ⎪ ⎪3⎭⎝-1, -、 ⎝⎛2⎫⎪⎪3⎭,
9当m=-7时,亦有MA ⋅MB =4. 3
7⎫综上,在x 轴上存在定点M ⎛ -, 0⎪,使MA ⋅MB 为常数。 ⎝3⎭
点评分析: ◆本题的难点是由MA ⋅MB 的表达式来确定m 值使其与直线的斜率无关,化解的方法是让有关k 的系数等于0,即在m 2+2m--316m +143(3k 2+1) 中6m+14=0时,式
子的值才能与k 无关;
◆圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点,也是一个难点。解决这个难点的基本思想是函数思想,可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关
系等,不受变量所影响的一个值,就是要求的定值。就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量即得定值;