H5二次函数图象上点的坐标特征
1.(2016•兰州)点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3>y2>y1 B.y3>y1=y2 C.y1>y2>y3 D.y1=y2>y3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为x=1,图象开口向下,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,据二次函数图象的对称性可知,P1(-1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,可判断y1=y2>y3.
【解答】解:∵y=-x2+2x+c,
∴对称轴为x=1,
P2(3,y2),P3(5,y3)在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,
∵3<5,
∴y2>y3,
根据二次函数图象的对称性可知,P1(-1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,
故y1=y2>y3,
故选D.
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,同时考查了函数的对称性及增减性
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2.(2016•桂林)已知直线
与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-3(x-
3)2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;等腰三角形的判定.
【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点C、M、N点,连接AC、BC,由直线
可求出点A、B的坐标,结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形,再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标,发现该两点与M、N重合,结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形,由此即可得出结论.
【解答】解:以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点C、M、N点,连接AC、BC,如图所示.
令一次函数中
x=0,则y=3,
∴点A的坐标为(0,3);
令一次函数中y=0,则,
解得:
∴点B
0).
∴
∵抛物线的对称轴为
∴点C的坐标为(
3),
∴
,
∴△ABC为等边三角形.
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令y=-3(
2+4中y=0,则-3(
2+4=0,
解得:
∴点E的坐标为(
0),点F的坐标为(
0).
△ABP为等腰三角形分三种情况:
①当AB=BP时,以B点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M、N三点; ②当AB=AP时,以A点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M两点,; ③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,交抛物线交于C、M两点;
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个.
故选A.
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与坐标轴的交点坐标以及等边三角形的判定定理,解题的关键是依照题意画出图形,利用数形结合来解决问题.本题属于中档题,难度不小,本题不需要求出P点坐标,但在寻找点P的过程中会出现多次点的重合问题,由此给解题带来了难度.
3.(2016•莆田)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,2),在x轴上任取一点M,完成以下作图步骤:
①连接AM.作线段AM的垂直平分线l1,过点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P; ②在x轴上多次改变点M的位置,用①的方法得到相应的点P,把这些点用平滑的曲线顺次连接起来,得到的曲线是( )
A.直线 B.抛物线
C.双曲线 D.双曲线的一支
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图.
【分析】按照给定的作图步骤作图,根据图形中曲线的特征即可得出该曲线为抛物线.
【解答】解:根据作图步骤作图,如图所示.
由此即可得出该曲线为抛物线.
故选B/
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、线段的垂直平分线的性质以及基本作图,解题的关键是按照给定的作图步骤完成作图.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,熟悉各曲线的图形是关键.
4.(2016•沈阳)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中-3≤x1<x2≤0,则下列结论正确的是( )
A.y1<y2 B.y1>y2
C.y的最小值是-3 D.y的最小值是-4
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值.
【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标,结合函数图象的增减性进行解答.
【解答】解:y=x2+2x-3=(x+3)(x-1),
则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是-3、1.
又y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴该抛物线的顶点坐标是(-1,-4),对称轴为x=-1.
A、无法确定点A、B离对称轴x=-1的远近,故无法判断y1与y2的大小,故本选项错误;
B、无法确定点A、B离对称轴x=-1的远近,故无法判断y1与y2的大小,故本选项错误;
C、y的最小值是-4,故本选项错误;
D、y的最小值是-4,故本选项正确.
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值,解题时,利用了“数形结合”的数学思想.