第5节 绝对值和绝对值不等式的解法
第5讲 绝对值和绝对值不等式的解法
5.1 绝对值的概念
定义:我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值.
例如,-2到原点的距离等于2,所以-2=2.这一定义说明了绝对值的几何定义,从这一定义中很容易⎧a , a >0⎪得到绝对值的求法:a =⎨0, a =0.
⎪-a , a
5.1.1 绝对值的性质
【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是( )
A .±2 B .2 C .-2 D .4
解:A
【例2】已知|x |=5,|y |=2,且xy >0,则x -y 的值等于( )
A .7或-7 B .7或3 C .3或-3 D .-7或-3
解:C
b ,c 是非零整数,且a +b +c =0,求练习1:已知a ,+++的值 a b c abc
b ,c 是非零整数,则a ,b ,c 一正二负或一负二正, 解:由于a +b +c =0,且a ,
b ,c 一正二负时,不妨设a >0,b
b ,c 一负二正时,不妨设a 0,c >0,原式=-1+1+1-1=0. (2)当a ,
原式=0.
【例4】若a -4=-b +2,则a +b =_______.
解:a -4=-b +2⇒a -4+b +2=0⇒a =4, b =-2,所以a +b =2.
结论:绝对值具有非负性,即若a +b +c =0,则必有a =0,b =0,c =0.
2练习1:(a +1)+b -2=0, a =________;b =__________
解:a =-1, b =2.
练习2:若m +3+n -7+22p -1=0,则p +2n +3m =_______. 2
7113 解:由题意,m =-3, n =, p =,所以p +2n +3m =m =+7-9=-. 2222
5.1.2 零点分段法去绝对值
对于绝对值,我们经常用到的一种方法是去绝对值,一般采用零点分段法,零点分段法的一般步骤:①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号.
【例5】阅读下列材料并解决相关问题: ⎧x (x >0)⎪我们知道x =⎨0(x =0),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式x +1+x -2
⎪⎩-x (x
x =2(称-1,2分别为x +1与x -2的零点值)时,可令x +1=0和x -2=0,分别求得x =-1,,在有理数范围内,
零点值x =-1和x =2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况:
⑴当x ≤-1时,原式=-(x +1)-(x -2)=-2x +1
⑵当-1
⑶当x ≥2时,原式=x +1+x -2=2x -1
⎧-2x +1(x ≤-1)⎪综上讨论,原式=⎨3(-1
⎪⎩2x -1(x ≥2)
通过阅读上面的文字,请你解决下列的问题:
(1)别求出x +2和x -4的零点值
解:令x +2=0,解得x =-2,所以x =-2是x +2的零点;令x -4=0,解得x =4,所以x =4是x -4的零点.
(2)化简代数式x +2+x -4
解:⑴当x ≤-2时,原式=-(x +2)-(x -4)=-2x +2;
⑵当-2
⑶当x ≥4时,原式=x +2+x -4=2x -2.
⎧-2x +2(x ≤-2)⎪综上讨论,原式=⎨6(-2
⎪⎩2x -2(x ≥4)
(3)化简代数式y =x -1+2x -2
解:当x ≤1时,y =5-3x ;
当1
当x ≥2时,y =3x -5.
⎧5-3x (x ≤1)⎪综上讨论,原式=⎨3-x (1
⎪⎩3x -5(x ≥2)
5.1.3 绝对值函数 ⎧x , x ≥0常见的绝对值函数是:y =x =⎨,其图象是
-x , x
绝对值函数学习时,要抓关键点,这里的关键点是x =0.思考如何画y =x -a 的图象? 我们知道,x 表示x 轴上的点x 到原点的距离;x -a 的几何意义是表示x 轴上的点x 到点a 的距离.
【例6】 画出y =x -1的图像
解:(1)关键点是x =1,此点又称为界点;
(2)接着是要去绝对值
当x ≤1时,y =1-x ;当x >1时,y =x -1.
(3)图像如右图
说明:此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到
练习1. (1)画出y =x -2的图像; (2)画出y =2x 的图像
【例7】画出y =x -1+2x -2的图象
解:(1)关键点是x =1和x =2
(2)去绝对值
当x ≤1时,y =5-3x ;
当1
当x ≥2时,y =3x -5.
(3)图象如右图所示.
【例8】 画出函数y =-x 2+2x +3的图像
解:(1)关键点是x =0
(2)去绝对值:
当x ≥0时,y =-x 2+2x +3;
当x
(3)可作出图像如右图
【例9】 画出函数y =x 2-3x +2的图像
解:(1)关键点是x =1和x =2
(2)去绝对值:
当x ≤1或x ≥2时,y =x 2-3x +2;
当1
(3)可作出图像如右图
1.-3=________;3-π=________;3.1415-π=_____; 5
2.x -2+2y -=5,x =4,则y =__________.
3.若a +a =0,那么a 一定是( )
A .正数 B .负数 C .非正数 D .非负数
4.若x >x ,那么x 是________数.
5.如图,化简a +b -b -2-c -a -2-c =
_____________
6.已知(x -2) +2y -1=0,则x +2y =_______.
7.化简x +1+x +2,并画出y =x +1+x +2的图象
8.化简x +5+2x -3.
2
9. 画出y =2x +3的图像
10. 画出y =-x 2+2x +3的图像
答案:
1.3;π-3;π-3.1415 2.2或-1 3.C 4.负 5.-4 6.3 5
⎧⎪-3x -2, x ≤-5⎧-2x -3, x ≤-2⎪3⎪⎪7.y =⎨1, -2
2⎪2x +3, x ≥-1⎪⎩3⎪3x +2, x ≥⎪⎩2
5.2 绝对值不等式
到了高中,绝对值不等式需要强调的有两点:一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用;二是代数意义上的分类讨论,其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法,而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式.
【例1】 解方程:x -2=1.
解:原方程变为x -2=±1,∴x =3或x =1.
【例2】解不等式 x
解:x 对应数轴上的一个点,由题意,x 到原点的距离小于1,很容易知道到原点距离等于1的点有两个:-1和1,自然只有在-1和1之间的点,到原点的距离才小于1,所以x 的解集是{x |-1
练习1.解不等式:(1)x 3 (3)x ≤2
解:(1){x |-33} (3){x |-2≤x ≤2}
结论:(1)x 0) 的解集是{x |-a (2)x >a (a >0) 的解集是{x |x a },如图2.
【例3】解不等式 x -2
解:由题意,-1
结论:(1)ax +b 0) ⇔-c
(2)ax +b >c (c >0) ⇔ax +b >c 或ax +b
练习1:解不等式:(1)x -102;(3)3-2x ≤5;
解:(1)由题意,-3
(3)由题意,2x -5>2或2x -57373或x 或x
(3)由题意,-5
⎧⎪2-x -4≤0练习2:解不等式组⎨. ⎪⎩5-+3x >2
解:由2-x -4≤0,得-4≤2-x ≤4,解得-2≤x ≤6,① 42
4242由①②得,-2,得+3x
练习3:解不等式1≤2x -
联立得-2
解:方法一:(零点分段法)
113时,原不等式变为:-(4x -3) >2x +1,解得x
3(2)当x >时,原不等式变为:4x -3>2x +1,解得x >2,所以x >2; 4
1综上所述,原不等式的解集为{x |x 2}. 3
1方法二:4x -3>2x +1⇔4x -3>2x +1或4x -32,所以原不等式的解3
1集为{x |x 2}. 3
结论:(1)ax +b (2)ax +b >f (x ) ⇔ax +b >f (x ) 或ax +b
练习4:解不等式:4x -3≤x +1. 解:由4x -3≤x +1得-(x +1) ≤4x -3≤x +1,解得
【例5】解方程:(1)x +2+x -=3 (2)x +2+x -=5
(3)x +3-x -1=4 (4)x +3-x -2=4
【初中知识链接】在三角形中,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,这个结论反映在数轴上是这样的:
若a 和b 是数轴上的两个数,那么当a
以上所有问题都可以用此方法解决.
解:(1)等式左边式子x +2+x -的几何意义是,实数x 到-2和1的距离之和,而-2和1的距离之和也刚好是3,容易知道,当x 位于-2和1之间时,x 到-2和1的距离之和就刚好为3,所以x 的取值范围是-2≤x ≤1.
(2)等式左边式子的几何意义是,实数x 到-2和1的距离之和,由于-2和1的距离是3,所以x 一定在-2和1的两边,经过计算,可知当x 位于-3和2时,满足条件.
(3)等式左边式子的几何意义是,实数x 到-3和1的距离之差,由于-3和1的距离刚好是4,所以当x 位于-3到1的两边时,x 到-3和1的距离之差刚好为4,x 的取值范围是x ≤-3或x ≥1.
(4)等式左边式子的几何意义是,实数x 到-3和2的距离之差,由于-3和1的距离刚好是5,所以x 一定位于-3到2之间,可知当x 位于-53和时,满足条件. 22
方法1:利用零点分区间法(推荐)
分析:由x -=0,x +2=0,得x =1和x =2.-2和1把实数集合分成三个区间,即x 1,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论.
解:当x
⎩-(x -1) -(x +2)
⎧-2≤x ≤1, 解得:-2≤x ≤1; -(x -1) +(x +2)
当x >1时,得⎨⎧x >1,解得:1
综上,原不等式的解集为{x -3
说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;
(2)这种解法又叫“零点分区间法”,即通过令每一个绝对值为零求得零点,求解应注意边界值.
方法2:利用绝对值的几何意义 解:x +2+x -
说明:选择题和填空题中,利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势明显.
练习1.x +2+x -
解:{x |-4
练习2.解不等式:x +3-x -2≤4 解:{x |x ≤}
练习3.2x +3+2x -2≤8 解:{x |-3297≤x ≤ 44
【例7】解不等式:x -+x -2>x +3
解:当x x +3,解得:x