9.重叠问题
九重叠问题
我们先来看下面一个问题:
如右图,有边长是 4 厘米与边长是 5 厘米的两个正方 形成在桌面上(阴 影部分是两个正方形的重叠部分),试求这两个正方形覆盖桌面的面积。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0120_1.bmp} 要解答这个问题,如果只简单地把两个正方形面积相加,得 4×4+5×
5=41(平方厘米)就作为其覆盖桌面的面积,显然是错误的,这是因为我们 多计算了一块阴影部分的面积。这块面积是 3×3÷2=4.5(平方厘米),所 以要将这块面积排除掉。所以两个正方形覆盖桌面的面积是
4×5+5×5-3×3÷2=36.5(平方厘米)。 一般来讲,这类问题就叫做重叠问题,它与一个应用很广的数学原理—
—容斥原理(“容”,就是包含、相交的含义,“斥”就是排除、去掉的含 义)有密切的关系,它是解决重叠问题的主要理论依据,运用容斥原理可以 解答很多有趣的数学问题。
下面我们通俗、直观地介绍两条容斥原理。 容斥原理(一)放在桌面上两张相交的圆纸片 A、B 所覆盖的总面积等于
它们的面积之和减去它们相交部分的面积。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0121_1.bmp} 说
明:容斥原理的确切内容,要用集合的知识阐述。
例 1 一个班 42 名学生都订了报纸,订阅《中国少年报》的有 32 人, 订阅《小学生报》的有 27 人。有多少人订阅两种报纸?
(1934 年《小学生报》全国数学竞赛题)
解法 1:假定全班每人只订一份报纸,则全班共有 32+27=59 人,这比全 班实际人数多 59-42=17 人,说明有 17 人不是只订了一份报纸,而是既订了
《中国少年报》又订了《小学生报》,所以在统计订阅报纸的人数时,有 17 人重复计算了一次,形成比全班实际人数多了的情况。
由此,订阅两种报纸的人数是
32+27-42=17(人)。
解法 2:因为班内订《中国少年报》的有 32 人,所以没有订《中国少年 报》的有 42-32=10 人,也就是在班内只订《小学生报》的有 10 人,为什么 题意中“订阅《小学生报》的有 27 人”呢?这,说明有 27-10=17 人既订了
《中国少年报》、又订了《小学生报》。由此,订阅两种报纸的人数是
27-(42-32)=17(人)。
解法 3: 如右图,设订阅两种报纸的
有 x 人。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0122_1.bmp} 如果我们在桌面上,把订《中国少年报》的学生用圆 A 围起来,圆 A 的
面积表示订《中国少年报》的人数(32 人);把订《小学生报》的学生用圆 B 围起来,圆 B 的面积表示订《小学生报》的人数(27 人)。
所以圆 A 与圆 B 的相交部分就是既订《中国少年报》又订《小学生报》 的学生,这部分的面积表示他们的人数(x 人)。
则 全班学生的人数(42 人)就是圆 A、圆 B 覆盖在桌面上的总面积, 按“容斥原理(一)”为等量关系列方程,得
42=32+27-x。
解方程,得 x=17。
答:订阅两种报纸的有 17 人。 说明:第一、二两种解法是算术解法,解题思路比较抽象。第三种解法
是借助图形(一般叫“韦恩图”)直观、形象地表示了题意,然后利用容斥 原理列出方程进行解答。
显然,如果第一、二两种解法用韦恩图来分析,就更能说明解题的思路。 例 2 一个班有 36 个学生,在一次测验中,答对第一题的 25 人,答对 第二题的 23 人,两题都答对的 15 人。那么,两题都不对的有多少人?
(1990)年徐州市鼓楼区小学数学竞赛预赛题)
解法 1:因为答对第一题的 25 人当中有 15 人同时答对第二题,所以第 一题答对,第二题答错(也就是只答对第一题)的学生有 25-15=10 人。同理, 第二题答对,第一题答错(也就是只答对第二题)的学生有 23-15=8 人。从 全班学生总人数(36 人)中,减去这两部分学生人数,再减去两题都答对的 人数(15 人),就能得到两题都不对的学生人数。
36-(25-15)-(23-15)-15=3(人)。
解法 2: 如右图,设两题都不对的
有 x 人。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0123_1.bmp} 如果我们在桌面上,把全班学生用长方形围起来,这个长方形的面积表
示全班的人数(36 人);把答对第一题的学生用圆 A 围起来,圆 A 的面积表 示答对第一题的人数(25 人);把答对第二题的学生用圆 B 围起来,圆 B 的 面积表示答对第二题的人数(23 人),所以圆 A 与圆 B 的相交部分就是两题 都答对的学生,这部分的面积表示他们的人数(15 人)。在长方形内,两圆 之外的部分就是两题都答错的学生,这部分的面积表示他们的人数(x 人)。 按“两圆覆盖在
桌面上的总面积(可用容斥原理(一)求出)与两圆之
外的部分的面积之和等于长方形的面积”为等量关系列方程,得
(25+23-15)+x=36。
解方程,得 x=3。 答:两题都
答不对的有 3 人。
说明:(1)要弄清为什么例 1 不要像例 2 那样作一个长方形,要全班学 生围起来呢?这是因为例 1 中“全班 42 名学生都订了报纸”,也就是说没有
“不订报纸”的学生,所以,全班学生就是由圆 A、圆 B 围起来的部分,全 班学生的人数(42 人)就是用圆 A、圆 B 覆盖在桌面上的总面积来表示的。
(2)用韦恩图法解答例 1、例 2 时,似乎解题冗长,不过理解它的思路 后,书写格式可以简化。这种解法在解答较复杂的重叠问题时将可以显示出 它的许多优越性。
例 3 有 77 名学生参加数学竞赛,分甲、乙两张考卷测试,答对甲卷者 得 60 分,答对乙卷者得 40 分。已知答完考卷后有 50 人答对甲卷, 65 人 答对乙卷,只有 2 人甲、乙两卷都答错了,这次考试只得 40 分的有多少人? 只得 60 分的有多少人?得 100 分的有多少人?
解:
如右图,把全班学生(77 人)用长方形围起来,在这个长方形内:答对 甲卷的学生(50 人)用圆 A 围起来;答对乙卷的学生(65 人)用圆 B 围起为;
圆 A、圆 B 之外的部分就表示甲、乙两卷都答错的学生(2 人)。由韦恩图可 得
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0125_1.bmp}
(1)至少答对一张考卷的人数(也就是答对 A 卷或答对 B 卷的人数) 77-2=75(人)。
(2)答对两张考卷的人数 50+65-75=40(人)。
(3)只答对甲卷的人数 50-40=10(人)。
(4)只答对乙卷的人数 65-40=25(人)。 验
算 10+40+25+2=77(人)。
答:只得 40 分的有 25 人;只得 60 分的有 10 人;得 100 分的有 40 人。 说明:注意!“答对甲卷者”与“只答对甲卷者”是一字之差,答对甲 卷者(50 人)应该包括两种情况: (1)只答对甲卷者(10 人), (2) 答对甲、乙两张考卷者(40 人)。
例 4 在 1~1000 的整数中,有多少个数既是 5 的倍数又是 7 的倍数? 有多少个数是5的倍数但不是7的倍数?有多少个数是5的倍数或7的倍数? 有多少个数既不是 5 的倍数又不是 7 的倍数?
解:
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0126_1.bmp}
在 1~1000 的 1000 个整数中:
是 5 的倍数的数有 1000÷5=200(个); 是
7 的倍数的数有 1000÷7≈142(个)。
如上图,把这 1000 个整数用长方形围起来,在这个长方形内:是 5 的倍 数的数(200 个)用圆 A 围起来;是 7 的倍数的数(142 个)用圆 B 围起来。
(1)因为 5 与 7 是互质数,所以既是 5 的倍数又是 7 的倍数的数一定是
(5×7)的倍数,一共有
1000÷35≈28(个)。
显然,圆 A、圆 B 的相交部分的面积就是表示既是 5 的倍数又是 7 的倍 数的数的个数(28 个)。
(2)是 5 的倍数但不是 7 的倍数的数有
200-28=172(个)。
(3)是 7 的倍数但不是 5 的倍数的数有
142-28=114(个)。
(4)是 5 的倍数或 7 的倍数的数有
172+28+114=314(个)。
(5)既不是 5 的倍数又不是 7 的倍数的数有
1000-314=686(个)。
答:有 28 个数既是 5 的倍数又是 7 的倍数;有 172 个数是 5 的倍数但不 是 7 的倍数;有 314 个数是 5 的倍数或 7 的倍数;有 686 个数既不是 5 的倍 数又不是 7 的倍数。
说明:“有多少个数是 5 的倍数或 7 的倍数”就是求圆 A、圆 B 覆盖在 桌面上的总面积,因此也可以用容斥原理(一)得:200+142-28=314(个)。 例 5 某班
有学生 46 人,在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现,
有电子琴的 22 人,两种琴都没有的 14 人,只有小提琴的与两种琴都有的人 数比是 5:3。问:只有电子琴的有多少人?
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0127_1.bmp} 如上图,把全班学生
(46 人)用长方形围起来,在这个长方形内,有小
提琴的学生(未知)用圆 A 围起来,有电子琴的学生(22 人)用圆 B 围起来。 解法
1:
(1)有小提琴或电子琴的人数: 46-14=32(人)。
(2)只有小提琴的人数:32-22=10(人)。
(3)两种琴都有的人数:10×5= 6 (人)。
(4)只有电子琴的人数:22-6=16(人)。 解
法 2:
设只有电子琴的学生有 x 人,则两种琴都有的学生有(22-x)人,只有 小提琴的学生有(22 - x3 人。
按“有小提琴或电子琴的人数与两种琴都那没有的人数之和等于全班人 数”为等量关系列方程,得
[(22 - x)× + 22] 14+ =46。
解方程,得 x=16。 答:只有电子3
琴的学生有 16 人。
例6 一次数学测验,甲答错了题目总数的
4 ,乙答错了3道题,两人
都答错的题目是题目总数的 16。求甲、乙都答对的题目数。 解:如下页图,
把总的题目(设为 n 道)用长方形围起来,在这个长方
形内,甲答错的题目(
4n 道)用圆 围起来,乙A
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0129_1.bmp}
答错的题目(3 道)用圆 B 围起来。
设题目总数有 道,甲、乙都答对的有n x道,则甲答错的有4n 道,两
人都答错的有16n道,只有乙答错的有(3 - 6n )道。
按“甲答错或乙答错的题目数与甲、乙都答对的题目数之和等于题目总 数“为等量关系列方程得
[1
4 n + (3 -1
6 n)] + x = n。(把n看作常量)
解方程,得x = 12 n - 。3
因为 x、n 都是自然数,所以 n 是 12 的倍数,又因为只有乙答错的有 3 -1 11
6 n ≥0
答:两人都答对的有n18 ≤ ,由此可得。x这时, 8 道题。 n = 12= 12 12
× -即 3 = 8, x= 8。
例 7 某外语学校一个班的同学,在选学英语、法语、日语三个语种时, 每人至少选学一个语种。其中,选学英语的 29 人,选学法语的 25 人,选学 日语的 20 人。同时选学英、法语的有 4 人;同时选学法、日语的有 7 人;同
时选学日、英语的有 5 人。三个语种都学的有 2 人。问这个外语班共有学生 多少人?
解法 1:
(1)把选学英语、法语、日语的人数加起来,有
29+25+20=74(人)。
(2)有的同学同时选学了两门外语,在上面的计算中重复算了,重复算 的部分应该排除掉,于是得
(29+25+20)-(4+7+5)=58(人)。
(3)显然,如果一个同学同时选学三门语种的话,在上面这个式子的前 一个括号中加了三次,在后一个括号中又减了三次。这说明同时选学三门语 种的同学(有 2 人)都被排除了,所以必须“补”回来。因此,这个外语班 共有
(29+25+20)-(4+7+5)+2=60(人)。 解
法 2:用韦恩图法。
把选学英语、法语、日语的学生分别用圆 A、B、C 围起来。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0130_1.bmp}
要计算 A、B、C 三圆盖住的总人数,可以先把它们分成七块彼此没有重 复部分的人数来计算(如上页图)。其中①是三个语种都选学的人数;②是 只选学英、法语的人数;③是只选学法、日语的人数;④是只选学日、英语 的人数;⑤是只选学英语的人数;⑥是只选学法语的人数;⑦是只选学日语 的人数。我们用分块填图法计算:
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0131_1.bmp} 先填入三个语种都选学的 2 人(见图(1)),再填只选学两个语种的人
数,由于同时选学英、法语的 4 人,已经包括三门都选学的 2 人,因此只选 学英、法语的有 4-2=2 人,同理只选学法、日语的有 7-2=5 人,只选学英、 日语的有 5-2=3 人。将这些数填入图(2)。最后可计算:
只选学英语的有 29-2-2-3=22(人)。 只
选学法语的有 25-2-2-5=16(人)。
只选学日语的有 20-2-3-5=10 (人)。将这些数填入图(3),再将七 个部分的人数相加,得全班有
22+16+10+2+5+3+2=60(人)
答:这个外语班有 60 人。 通过
本题的解答可得:
容斥原理(二) 放在桌面上三张两两相交的圆纸片 A、B、C 所覆盖的 总面积等于 A、B、C 三个图形的面积之和减去 A、B 相交的面积,再减去 A、 C 相交的面积,再减去 B、C 相交的面积,加上 A、B、C 相交的面积。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0132_1.bmp}
例 8 26 名男同学中喜欢打篮球的 13 人,喜欢打排球的 12 人,喜欢踢 足球的 9 人,既喜欢篮球又喜欢足球的 2 人,既喜欢足球又喜欢排球的 3 人, 但没有一个男同学同时喜欢三种球类,也没有不喜欢任一种球的,求有多少 男生既喜欢篮球又喜欢排球?
(1984 年北京市景山学校数学竞赛题) 解:把喜欢篮球、排球、足球的学生分别用圆 A、B、C 围起来,围的时
候要注意:
(1)因为“没有一个男同学同时喜欢三种球类”,所以 A、B、C 三个圆 没有相交的部分。
(2)因为“也没有不喜欢任何一种球的”,所以在桌面上 A、B、C 三个 圆所覆盖的总面积就表示男同学的总人数(26 人),不应该再作长方形把 A、 B、C 三个圆围起来。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0153_1.bmp} 如上图,设既喜欢篮球、又喜欢排球的有 x 人,则按“容斥原理(二)”
为等量关系列方程,得
26=13+12+9-2-3-x+0。
解方程,得 x=3。
答:喜欢篮、排球的有 3 人。
说明:如果列不出方程;(13+12-x)+(9-2-3)=26,对吗?它的算理 是什么?
例 9 某校有 27 名数学教师担任几何、代数、三角三门学科的教学工作, 其中只教几何的有 8 人,只教代数的有 6 人,教几何和代数的有 5 人,教代 数和三角的有 3 人,教几何和三角的有 4 人。几何、代数和三角都教的有 2 人,只教三角的教师有多少人?
解:注意!“教几何和代数的有 5 人”应该包括两种情况:(1)只教几 何代数两门学科的。(2)能同时教几何、代数和三角三门学科的。 把教几何、代
数和三角的教师分别用圆 A、B、C 围起来。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0134_1.bmp}
(1)只教几何、代数的人数是 5-2=3(人);
(2)只教几何、三角的人数是 4-2=2(人);
(3)只教代数、三角的人数是 3-2=1(人)。 设
只教三角的有 x 人。
按“教几何、代数和三角的有 27 人”为等量关系列方程,得
8+3+6+2+2+1+x=27。
解方程,得 x= 5。 答:只
教三角的有 5 人。
例 10 在前 200 个自然数中,能被 2 或 3 或 5 整除的数有多少个?不能 被 2、3、5 任何一个整除的数有多少个?
解:在 1 ~200 这 200 个自然数中:
能被 2 整除的数有 200÷2≈100 (个);
能被 3 整除的数有 200÷3≈66 (个); 能
被 5 整除的数有 200÷5=40 (个)。
因为 2 与 3 互质,所以既能被 2 整除、又能被 3 整除的数,一定能被(2
×3)整除,一共有 200÷(2×3)≈33(个)。同理 既
能被 2 整除、又能被 5 整除的数,一共有
200÷(2×5)=20 (个);
既能被 3 整除又能被 5 整除的数,一共有
200÷(3×5)≈13(个); 能
同时被 2、3、5 整除的数,一共有
200÷(2×3×5)≈6(个)。
将以上 情况作在下页韦恩图上,其中,把 1~200 这 200 个自然数用长
方形围起来,把能被 2、3、5 整除的数分别用圆 A、B、C 围起来。 根
据容斥原理(二),可得:
(1)能被 2 或 3 或 5 整除的数(也就是 A、B、C 三个圆覆盖在桌面上的 总面积所表示的数)有
100+66+40-33-20-13+6=146(个)。
(2)不能被 2、3、5 任何一个整除的数有答:能被 2 或 3 或 5 整除的数 有 146 个,不能被 2、3、5 任何一个整除的数有 54 个。
练习九
1.学校文艺组的每个人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有 24 人,会弹电子琴的有 17 人,其中两种乐器都会演奏的有 8 人,这个文艺组一 共有多少人?
(《少年报》1990 年小学四年级数学能力水平测试题)
2.一个班有 52 人,班主任问:谁做完了语文作业?请举手!有 32 人举 手。又问:谁做完了数学作业?请举手!有 35 人举手。最后说:谁语文、数 学作业都没有做完?有 8 人举手。这个班语文、数学都做完的有多少人?
(1990 年青岛市四方区小学数学三年级竞赛题)
3.在六年级 96 个学生中,调查会中国象棋和国际象棋的人数,发现每个 学生至少会一样,调查结果是,有
12 的学生会中国象棋,有4 的学生两
样都会。求会国际象棋的有多少学生?
(1990 年乌鲁木齐市小学六年级数学竞赛题)
4.30 名学生中,8 人学法语,12 人学西班牙语,3 人既学法语又学西班 牙语。问有多少名学生两种语言都不学。
(美国 1980 年小学数学奥林匹克试题)
5.某班 50 名学生,在第一测验中有 26 人满分,在第二次测验中有 21 人满分。如果两次测验都没有得过满分的学生有 17 人,那么两次测验都获满 分的有多少人?
(上海市 1989 年小学五年级数学比赛题)
6.课堂上同学们都在复习语文或数学,只复习语文的占总人数的 48%, 只复习数学的是只复习语文的人数的 50%。问:两门功课都复习了的人数占 总人数的百分之几?
7.李老师出了两道题,检查全班 40 名同学,结果是:第 1 题有 30 人做 对了,第 2 题没做对的有 12 人,第 1 题和第 2 题都做对的有 20 人。问:第 2 题做对的但第 1 题没做对的有多少人?两题都不对的有多少人?
(《小学生报》1990 年六年制三年级比赛题)
8.在 1~l0000 的自然数中,能被 5 或 7 整除的数共有多少个?
9. 一次数学速算练习,甲答错题目总数的1
9 ,乙答对7 道题,两人都答
对的题目是题目总数的 1 6。问:甲答对了多少道题?
10.某班参加体育活动的学生有 25 人,参加音乐活动的有 26 人,参加美 术活动的有 24 人。同时参加体、音活动的有 16 人,同时参加音、美活动的
有 15 人,同时参加美、体活动的有 14 人,三个组都参加的有 5 人,这个班 共有多少名学生参加以上活动?
(辽宁省首届小学生数学竞赛题)
11.六年级 100 名问学,每人至少爱好体育、文艺和科学三项活动中的一 项。其中,爱好体育的 55 人,爱好文艺的 56 人,爱好科学的 51 人,三项都 爱好的 15 人,只爱好体育和科学的 4 人。只爱好体育和文艺的 17 人。问: 多少人只爱好科学和文艺两项?只爱好体育的有多少人?
12.以 105 为分母的最简真分数共多少个?
13.某人的书架上共 72 本书,其中有科技书 12 本,小说书 9 本,特色封 面的书有 10 本,监色封面的科技书有 4 本,蓝色封面的小说有 3 本,问 书 架上不是蓝色封面的的,并且既不是科技书,又不是小说的其它书有多少本?
14.在一次大扫除中,某班共 30 人,除 2 人去开会外,其余的学生都参 加了。其中扫地的有 18 人,擦玻璃的 20 人,抹桌椅的 13 人。没有一个学生 这三种劳动全都参加了,但擦玻璃和抹桌椅的有 6 人,另外 5 人既抹桌椅又 扫地。问有多少人既擦玻璃又扫地?
15.学校数学竞赛出了 A、B、C 三题,至少做对一道的有 25 人,其中做 对
A 题的有 1O 人,做对 B 题的有 13 人,做对 C 题的有 15 人。如果三道题都 做对的只有 1 人,那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人?