2015年高考预测金卷(安徽卷)数学(理)试题

2015年高考预测金卷（安徽卷）

理科数学

第I 卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

11

，则化简复数2的结果是 1

．设复数ω=-+2ω

1111 A

．-B

．-+C

．+D

．22222．已知p ：α是第二象限角，q ：sin α > cosα，则p 是q 的

A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．如图，若程序框图输出的S 是126，则判断框①中应为

A ．n ≤5? B ．n ≤6? C ．n ≤7? D ．n ≤8?

4．若直线2ax -by +2=0(a >0, b >0) 被圆x 2+y 2+2x -4y +1=0截得的弦长为4，则

A ．

11

+的最小值为 a b 1 2

C ．2

D ．4

1 4

B ．

⎧x -3y +4≥0⎪

5．已知约束条件⎨x +2y -1≥0，若目标函数z =x +ay (a ≥0) 恰

⎪3x +y -8≤0⎩

好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围是

111 B ．a ≥ C ．a > 333

6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零部件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

A ．0

D ．0

1 2

A ．C ．

17 2710 27

5B ．

91D ．

3

, ]7．函数y =x 2-3x -4的定义域为[0m ，值域为

[-

25

, -4]，则m 的取值范围是

4

333B ．[,4] C ．[,3] D ．[, +∞)

222

8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加。当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻。那么不同的发言顺序的种数为

A ．360 B ．520 C ．600 D ．720

A ．(0,4]

9．已知P 1(2,3)，P 2(-1,4) ，且|PP 1|=2|PP 2|，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐标为

45A ．(, -)

3345B ．(-, )

33

C ．(4,-5) D ．(-4,5)

10．设函数f (x ) 的定义域是[-4, 4]，其图象如图，那么不等式

A ．[-2, 1] B ． [-4, -2]⋃[1, 4]

C ．[-4, -π)⋃[-2, 0)⋃[1, π) D ． [-4, -π)⋃(1，π)

f (x )

≤0的解集为 sin x

y

x

第II 卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案写在题中横线上。 11．二项式(x -) 的展开式中，含x 4的项的系数为__________。 12．给出下列命题：

①角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则sin α=|MP |； ②存在x ∈(0,

2

1

x

5

π

1

) ，使sin x +cos x =； 23

③将函数y =sin(2x +向左平移

π

4

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再

ππ

个单位长度，得到的函数关于(,0) 成中心对称；

24

④y =sin x 与y =x cos x 在区间上有且只有一个公共点。

其中错误的命题为__________。（把所有符合要求的命题序号都填上）

13．由曲线y =2x ，直线y =-4x -2，直线x =1围成的封闭图形的面积为__________。 14．S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1 =小值的n 值为__________。

2

1

，9S 3 = S 6，设T n = a 1 a 2 a 3 … a n ，则使T n 取最20

x 2y 2

15．存在两条直线x =±m 与双曲线2-2=1(a >0, b >0) 相交于四点A ，B ，C ，D ，且

a a

四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为__________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =

1，c =（1）求sin A 的值； （2）求ΔABC 的面积。 17．（本小题满分12分）

已知数列{a n }的首项为a 1 = 1，前n 项和为S n ，并且对于任意的n ≥ 2，3S n - 4、a n 、

cos C =

3

。 4

2-

3S n -1

总成等差数列。 2

（1）求{a n }的通项公式；

（2）记数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n 。

18．（本小题满分12分）

某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N （168，16）。现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。 （1）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； （2）求这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数；

（3）在这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望。

参考数据：若ξ~N (μ, σ) ，则

2

P (μ-σ

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA = AB = BC = 2，AD = 1。M 是棱SB 的中点． （1）求证：AM ∥面SCD ；

（2）求面SCD 与面SAB 所成二面角的余弦值；

（3）设点N 是直线CD 上的动点，MN 与面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值。 20．（本小题满分12分）

y 2x 2已知椭圆C 1:2+2=1(a >b >

0) 的离心率e =

，且经过点(1,，抛物线

a b 32

C 2:x 2=2py (p >0) 的焦点F 与椭圆C 1的一个焦点重合。

（1）过F 的直线与抛物线C 2交于M 、N 两点，过M 、N 分别作抛物线C 2的切线l 1、l 2，

求直线l 1、l 2的交点Q 的轨迹方程；

（2）从圆O ：x 2 + y 2 = 5上任意一点P 作椭圆C 2的两条切线，切点分别为A 、B ，试问∠APB 的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。 21．（本小题满分12分）

已知函数f (x ) =ax 2+ln x (a ∈R ) 。 （1）当a =

1

时，求f (x ) 在区间[1,e ]上的最大值和最小值； 2

（2）如果函数g (x ) ，f 1(x ) ，f 2(x ) ，在公共定义域D 上，满足f 1(x )

121

已知函数f 1(x ) =(a -) x 2+2ax +(1-a 2)ln x ，f 2(x ) =x +2ax 。若在区间(1,+∞) 上，

22

函数f (x ) 是f 1(x ) ，f 2(x ) 的“活动函数”，求a 的取值范围。

理科数学参考答案

二、填空题

11．10 12．①②④

16

13．

3

14．5

16．

322

三、解答题

16．解：（1

）cos C =

3, ∴sin C = 42'

a c 1

=, ∴=sin A sin C sin A

sin A =6'

（2）

3

c 2=a 2+b 2-2ab cos C , ∴2=1+b 2-b , ∴

2b 2-3b -2=0, ∴b =

2

2

12'

3S n -4+2-

3S n -1

=2a n 2

9'

11S ∆ABC =ab sin C =⨯1⨯2=

2244

17．法一

解：依题意有

(n ≥2)

，即

6S n -4-3S n -1=4a n =4(S n -S n -1)

4⎫4⎛

即2S n +S n -1=4，即2 S n -⎪+S n -1-=0，

3⎭3⎝S

S n -

n -1

4

3=-1(n ≥2) 42-3

4⎫411⎧

所以⎨S n -⎬是以S 1-=-为首项，以-为公比的等比数列，

3⎭332⎩

41⎛1⎫

所以S n -=- -⎪

33⎝2⎭

所以a n =S n -S n -1

n -1

41⎛1⎫

，所以S n =- -⎪

33⎝2⎭

n -2

n -1

n -1

1⎛1⎫= -⎪3⎝2⎭1⎛1⎫- -⎪3⎝2⎭

n -1

⎛1⎫=- -⎪⎝2⎭

(n ≥2)，a n =1(n =1)

所以

⎧1(n =1)⎪

a n =⎨⎛1⎫n -1

()--n ≥2 ⎪⎪

⎩⎝2⎭

1⎡1n ⎤1-(-) ⎥⎢432⎦

所以T n =s 1+s 2+ +s n ＝n -⎣

131+2

法二：可退位作差求得

n -1

（2）由（1）可知S n =

41⎛1⎫- -⎪33⎝2⎭

42⎛1⎫2＝n + -⎪-. 39⎝2⎭9

n

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为

(162⨯

578221

+166⨯+170⨯+174⨯+178⨯+182⨯) ⨯4=168. [***********]00

，

高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）. …………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm) 的人数为10人. ……………（6分）

4， （Ⅲ） P (168-3⨯4

1-0. 9974

=0. 0013，0.0013×100 000=130. 2

所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人. 随机变量ξ可取0,1, 2，于是

112

C 8228C 8C 216C 21

, P (ξ=1) =, P (ξ=0) =2==P (ξ=2) ==22454545C 10C 10C 10

∴E ξ=0⨯

281612+1⨯+2⨯=. ………………………………（12分） 4545455

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

A (0, 0, 0) ， B (0, 2, 0) ，C (2, 2, 0) ，D (1, 0, 0) ，S (0, 0, 2) ，M (0, 1, 1) .

则AM =(0,1,1), SD =(1,0, -2), CD =(-1, -2,0). 设平面SCD 的法向量是n =(x , y , z ), 则

C

⎧⎪⋅=0, ⎧x -2z =0, ∴⎨即⎨

-x -2y =0. ⎪⎩CD ⋅n =0, ⎩

令z =1，则x =2, y =-1，于是=(2, -1, 1) .

AM ⋅n =0，∴AM ⊥n .

∴ AM ∥平面SCD . ……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB 的法向量为n 1=(1,0,0). 设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为

ϕ，

则

cos ϕ=

n 1⋅n n 1⋅n

=

=

=

，即cos ϕ=. 3

∴平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为

6

.………………………………（8分） 3

（Ⅲ）设N =(x ,2x -2,0), ，则MN =(x ,2x -3, -1). 又，面SAB 的法向量为n 1=(1,0,0)，

所以，

sin θ=

=

1137(-) 2+x 55

=

.

=

1

11

() 2-12() +5x x

.

当

135=，即x =时，sin θmax =.………………………………………（13分） x 537

20．解：（1）当a =

1

时，2

f (x ) =

12

x +ln x ， 2

1x 2+1

∴f '(x ) =x +=；…………2分

x x

对于x ∈[1, e ]，有f '(x ) >0，

∴f (x ) 在区间[1, e]上为增函数，…………3分

1e 2

∴f max (x ) =f (e ) =1+，f min (x ) =f (1)=. …………5分

22

（2）①在区间（1，+∞）上，函数f (x ) 是f 1(x ), f 2(x ) 的“活动函数”，则f 1(x )

1

2

2

12

x +2ax -a 2ln x

1(2a -1) x 2-2ax +1(x -1)[(2a -1) x -1]

∵p `(x ) =(2a -1) x -2a += …………7分 =

x x x

11

1）若a >，令p `(x ) =0，得极值点x 1=1，x 2=，

22a -1

1

当x 2>x 1=1，即0，

2

此时p (x ) 在区间(x 2，+∞)上是增函数，并且在该区间上有p (x ) ∈(p (x 2) ，+∞)，不合

题意；…………9分

当x 2

p (x ) ∈(p (1) ，+∞)，也不合题意；…………9分

2） 若a ≤

1

，则有2a -1≤0，此时在区间(1，+∞)上恒有p `(x )

从而p (x ) 在区间(1，+∞)上是减函数；要使p (x )

p (1)=-a -

1111

≤0⇒a ≥-，所以-≤a ≤. …………11分

2222

a 2-x 2+2ax -a 2-(x -a ) 2

==又因为h (x ) =-x +2a -

函数，∴h (x )

11

+2a ≤0， ∴a ≤…………12分

42

⎡11⎤

, ⎥. …………13分 24⎦⎣

c , 则=，即a =c ，则b =2c ，椭圆C 1的方3a 3

21. （1）由于椭圆C 1的离心率e=

⎛6⎫y 2x 2

⎪代入椭圆C 1的方程得到c=1,故所求椭圆C 1的方程为程为2+2=1, 将点 1, ⎪3c 2c ⎝2⎭

y 2x 2

+=1, 其焦点坐标为(0, ±1) ，则F(0，1), 故抛物线C 2的方程为32

x 2=4y ……3分

易知直线MN 的斜率一定存在，设为k ，则直线MN 的方程为y=kx+1,代入抛物线的方程得到x -4kx -4=0。设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4 ……4分 由于y =

2

112111

x , y '=x ，故直线l 1的斜率为x 1，l 1的方程为y -x 12=x 1(x -x 1), 即

24242

11112y =x 1x -x 12，同理可得直线l 2的方程为y =x 2x -x 2，令

2424112111x 2x -x 2=x 1x -x 12，即(x 1-x 2) x =(x 1-x 2)(x 1+x 2), 显然(x 1≠x 2) ，故24242

11

x =(x 1+x 2) =2k ，即点Q 的横坐标是(x 1+x 2) =2k ，点Q 的纵坐标是

2211111

y =x 1x -x 12=x 1(x 1+x 2) -x 12=x 1x 2=-1

24444

，即点Q （2k,-1）, 故点Q 的轨迹方程是y=-1 ……6分

（2）当这两条切线中有一条切线的斜率不存在时，根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则此时点P 的横坐标为2，代入圆O 的方程得点P 的纵坐标是，因此这两条切线所在的方程分别为x =只能是

2, y =3, 因此∠APB =

π

2

, 所以若角APB 的大小为定值，则这个定值

π

（8分） 2

当这两条切线的斜率都存在时，设点P (x 0, y 0) ，过点P 的切线的斜率为，则切线方程为

y -y 0=k 0(x -x 0), 与椭圆C 1的方程联立消去y ,

2(3+2k 0) x 2+4k 0(y 0-k 0x 0) +2(y 0-k 0x 0) 2-6=0，由于直线y -y 0=k 0(x -x 0), 是

2椭圆C 1的切线，故∆=[4k 0(y 0-k 0x 0) ]-4(3+2k 0) 2(y 0-k 0x 0) 2-6=0, 整理得：

2

[]

(2-x )k

2

202

+2x 0y 0k 0-(y 0-3) =0, ……10分

2

y 0-3

设切线PA ，PB 的斜率分别为k 1, k 2，则k 1, k 2是上述方程的两个实根，故k 1k 2=-, 2

2-x 0

又点P (x 0, y 0) 在圆x +y =5上，故x 0+y 0=5所以k 1k 2=-1，所以

2222

∠APB =

π

2

，……12分

综上可知，角APB 的大小为定值，且这个定值为

π

。……13分 2