关于椭圆离心率求法
关于椭圆离心率
x 2y 2
设椭圆+=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，如果椭
a 2b
2圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90︒，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围
设P （x ，y ），又知F 1（-c ，0），F 2（c ，0），则
F →→
1P =(x +c ，y ) ，F 2P =(x -c ，y ) 由∠F →
→
1PF 2=90︒，知F 1P ⊥F 2P ，
则F →
→
1P ⋅F 2P =0，
即(x +c )(x -c ) +y 2=0得x 2+y 2=c 2
将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得
a 2c 2-a 2b 2x 2
=
a 2-b 2
但由椭圆范围及∠F 1PF 2=90︒
知0≤x 2
2
即0≤a 2c 2-a 2b 22
a 2-b 2
可得c 2≥b 2，即c 2≥a 2-c 2，且c 2
从而得e =
c 2a ≥2，且e =c a
所以e ∈[2
，1）
解法2：利用二次方程有实根
由椭圆定义知
|PF 1|+|PF 2|=2a ⇒|PF 1|2+|PF 22|+2|PF 1||PF 2|=4a 2
又由∠F 1PF 2=90︒，知|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2则可得|PF 1||PF 2|=2(a 2-c 2)
这样，|PF 1|与|PF 2|是方程u 2-2au +2(a 2-c 2) =0的两个实根，因此
∆=4a 2-8(a 2-c 2) ≥0c 21
⇒e =2≥
2a 2
⇒e ≥
2
2
因此e ∈[
，1) 2
解法3：利用三角函数有界性
记∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，由正弦定理有
|PF 1||PF 2||F 1F 2|
==
sin βsin αsin 90︒|PF 1|+|PF 2|⇒=|F 1F 2|sin α+sin β
又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，则有e =
c 1==a sin α+sin β
1
2sin
1cos
+2
cos
-2
=
-2
而0≤|α-β|
|α-β|知0≤
2
2 α-β
2
从而可得≤e
2
解法4：利用焦半径 由焦半径公式得
|PF 1|=a +ex ，|PF 2|=a -ex 又由|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，所以有
a +2cx +e x +a -2cx +e x =4c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2c 2-a 2
即a +e x =2c ，x =
e 2
又点P （x ，y ）在椭圆上，且x ≠±a ，则知0≤x 2
e 2
2
得e ∈[，1）
2
解法5：利用基本不等式
由椭圆定义，有2a =|PF 1|+|PF 2| 平方后得
4a 2=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||⋅PF 2|≤2(|PF 1|2+|PF 2|2) =2|F 1F 2|2=8c 2
c 212
，1） 得2≥ 所以有e ∈[
22a
解法6：巧用图形的几何特性
由∠F 1PF 2=90︒，知点P 在以|F 1F 2|=2c 为直径的圆上。 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c ≥b ⇒c ≥b =a -c
由此可得e ∈[
，1） 2
2
2
2
2
基础演练
一、直接求出a ，c 或求出a 与b 的比值，以求解e 。
c c c 2a 2-b 2b 2在椭圆中，e =，e ====-2 22
a a a a a
1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2
倍，则椭圆的离心率等于
2
2. 已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为
2 2
1 2
3. 若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1, 0), F 2(3, 0) , 则椭圆的离心率为
4. 已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为
1。 2
x 2y 2
5. 若椭圆2+2=1, (a >b >0) 短轴端点为P 满足PF 则椭圆1⊥PF 2，
a b
的离心率为e =
2
。 2
12x 2y 2
6.. 已知+=1(m >0. n >0) 则当mn 取得最小值时，椭圆2+2=1
m n m n
的的离心率为
2
x 2y 2
7. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点
a b
分别为M ，N ，若MN ≤
2F 1F 2，则该椭圆离心率的取值范围是⎫
1⎪ ⎪⎣⎭
8. 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e =
2
。 2
x 2y 2
9. P 是椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）上一点，F 1、F 2是椭圆的左右焦点，已知
a b
∠PF 1F 2=α, ∠PF 2F 1=2α, ∠F 1PF 2=3α, 椭圆的离心率为e =3-1
10. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
∠PF 1F 2=15 , ∠PF 2F 1=75 ， 则椭圆的离心率为
6 3
11. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
2 2
x 2y 2
12. 设椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1
a b
1
且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是。
2
x 2y 2
13. 椭圆2+2=1（a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F
a b
16
到直线AB 的距离等于∣AF∣，则椭圆的离心率是。
23x 2y 2
14. 椭圆2+2=1（a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD
a b
的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是
5-1
2
x 2y 2
15. 已知直线L 过椭圆2+2=1（a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),
a b
如果坐标原点到直线L 的距离为
a 6
，则椭圆的离心率是 23
x 2y 2
16. 在平面直角坐标系中，椭圆2+2=1( a >b >0) 的焦距为2，以O
a b ⎛a 2⎫
为圆心，a 为半径作圆，过点 ,0⎪作圆的两切线互相垂直，则离心
⎝c ⎭
率e
x 2y 21
17. 设椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为e =，右焦点为F (c ，0) ，
2a b
方程ax 2+bx -c =0 的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)
（ A ）
Ａ．必在圆x 2+y 2=2内
Ｂ．必在圆x 2+y 2=2上 Ｄ．以上三种情形都有可能
Ｃ．必在圆x 2+y 2=2外 二、构造a ，c 的齐次式，解出e
1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
3
5
2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是
-1
3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是3-1 4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
P ，若△F1PF 2
1 5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
3
x 2y 2
6．设F 1、F 2分别是椭圆2+2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是其右
a b
（c 为半焦距）的点，且F 1F 2=F 2P ，则椭
圆的离心率是
2
三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
M 总在椭圆
1．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⋅MF 2=0的点
内部，则椭圆离心率的取值范围是(0,
2
2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=90，
⎡2⎫
, 1⎪椭圆离心率e 的取值范围为⎢⎪ 2⎣⎭
3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60，
椭圆离心率e 的取值范围为⎢, 1⎪
⎡1⎫⎣2⎭
x 2y 2
4．设椭圆2+2=1（a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，
a b
使∠F1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围为≤e
37
5．在△ABC 中，AB =BC ，cos B =-．若以A ，B 为焦点的椭圆
183
经过点C ，则该椭圆的离心率e =．
8x 2y 2
6．设F 1，F 2分别是椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点，若在其
a b
右准线上存在P , 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值
⎫
1⎪范围是⎪ ⎣⎭
7．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F
关于双曲线离心率
一、利用双曲线性质
x 2y 2
例1 设点P 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左支上，双曲线
a b
两焦点为F 1、F 2，已知|PF 1|是点P 到左准线l 的距离d 和|PF 2|的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
2
解析：由题设|PF 1|=d |PF 2|得：
|PF |PF 2|1|。由双曲线第二=
d |PF 1|
定义
|PF |PF 2|a -ex 1|=e ，则=e 得：=e ，由焦半径公式得：-
a +ex d |PF 1|(1+e ) a 2
≤-a e -2e -1≥0，解得1
e -e
x =-
归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再
x 2y 2
利用性质：若点P 在双曲线2-2=1的左支上则x ≤-a ；若点p 在双
a b x 2y 2
曲线2-2=1的右支上则x ≥a 。
a b
二、利用平面几何性质
x 2y 2
例2 设点P 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右支上，双曲线
a b
两焦点F 1、F 2，|PF 1|=4|PF 2|，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由双曲线第一定义得：|PF 1|-|PF 2|=2a ，与已知
|PF 1|=4|PF 2|联立解得：
82
|PF 1|=a , |PF 2|=a ，由三角形性质|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|得：
33
825a +a ≥2c 解得：1
归纳：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。
三、利用数形结合 例3 （同例2） 解析：由例2可知：
82
|PF 1|=a , |PF 2|=a ，点P 在双曲线右支上由图1可知：
33
82a ≥c +a , a ≥c -a ，两式相加得：，，即|PF |≥c +a |PF |≥c -a 12
33
55a ≥c ，解得：1
33
四、利用均值不等式
x 2y 2
例4 已知点P 在双曲线2-2-1(a >0, b >0) 的右支上，双曲线
a b
2
|PF 1|两焦点为F 1、F 2，最小值是8a ，求双曲线离心率的取值范围。 |PF 2|
2
|PF (|PF 2|+2a ) 24a 21|解析：==|PF 2|++4a ≥8a ，由均值|PF 2||PF 2||PF 2|
定理知：当且仅当|PF 2|=2a 时取得最小值8a ，又|PF 2|≥c -a 所以
2a ≥c -a ，则1
五、利用已知参数的范围
例5 （2000年全国高考题）已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 分有向线段所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B
为焦点，当
23
≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。 34
解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为
c x 2y 2
A (-c , 0) 、B (c , 0) 、C (, h ) 、E (x 0, y 0) -=1(a >0, b >0) ，设
2a 2b 2
其中h 是梯形的高，由定比分点公式得x 0=E 两点坐标分别代入双曲线方程得
(λ-2) c λh
，把C 、 , y 0=
2(λ+1) λ+1
c 2h 2(λ-2) 2c 2λ2h 2
-2=1，+=1， 22222
4a b 4(λ+1) a (λ+1) b
(λ-2) 2e 2λ2e 2两式整理得+(-1) =1，从而建立函数关系式
4(λ+1) 2(λ+1) 24
23e 2-12e 2-13
λ=2≤，，由已知≤λ≤≤2解得7≤e ≤。
343e +24e +2
六、利用直线与双曲线的位置关系
x 22
例6 已知双曲线2-y =1(a >0) 与直线l ：x +y =1交于P 、Q
a
两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x 得：
(1-a 2) y 2-2y +1-a 2=0, 1-a 2≠0时，直线与双曲线有两个不同的交
22222
点则∆>0，∆=4-4(1-a ) =4a (2-a ) >0，即a
c 2136所以e =2=1+2>，即e >且e ≠2。 22a a 2
七、利用点与双曲线的位置关系
x 2
2例7 已知双曲线2-y =1(a >0) 上存在P 、Q 两点关于直线a
x +2y =1对称，求双曲线离心率的取值范围。
解析：设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ，弦PQ 中点为M ，由点差法求得a 21M (2, 2) ， a +2a +2
2a 1当点M 在双曲线内部时->1，整理得：2222(a +2) (a +2)
a 4+3a 2+5
当点M 在双曲线外部时，点M 应在两渐近线相交所形成的上下区域
a 212a
e 2=1+1>2，所以e >2。 a 2
八、利用非负数性质
x 2y 2
例8 已知过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 左焦点F 1的直线l 交a b
双曲线于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。
经典的，不会那么容易过时------------- 11
解析：设P (x 1, y 1) 、Q (x 2, y 2) ，过左焦点F 1的直线l 方程：x =ty -c ，代入双曲线方程得：(b 2t 2-a 2) y 2-2b 2tcy +b 4=0，由韦2b 2tc 达定理得：y 1+y 2=22， 2b t -a
b 4
y 1y 2=22, x 1x 2=(ty 1-c )(ty 2-c ) =t 2y 1y 2-ct (y 1+y 2) +c 2
2b t -a
b 4(t 2+1) 2b 2t 2c 2
2-+c =0，，由OP ⊥OQ 得x 1x 2+y 1y 2=0，即：222222b t -a b t -a
b 4-a 2c 2
4222b -a c ≥0，则t ≥0解得：t =，因为，所以22a b 2
a 4-3a 2c 2+c 4≥0, e 4-3e 2+1≥0, e 2≥
3+55+1，所以e ≥。 22
经典的，不会那么容易过时------------- 12