高一数学 第三讲 函数的增减性

函数的增减性

一、 概念

一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A

如果对于区间I 内的任意两个值x 1,x 2，当x 1

如果对于区间I 内的任意两个值x 1,x 2，当x 1f(x2 )，那么就说在这个区间I 上是减函数。I 称为y=f(x)的单调减区间。 1. 证明函数

2．归纳解题步骤

归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 练习：证明函数

2

f (x ) =x +在(, +∞) 上是增函数．

x

f (x ) =在[0, +∞) 上是增函数．

问题：要证明函数且x 1

f (x ) 在区间(a , b ) 上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x 1, x 2∈(a , b ) ，

≠x 2有

f (x 2) -f (x 1)

>0可以吗?

x 2-x 1

f (x ) =x 在[0, +∞) 上是增函数．

分析这种叙述与定义的等价性．尝试用这种等价形式证明函数①如果函数当x 1

f (x ) 对区间D 内的任意x 1, x ，当x 1

f (x 2)，则f (x )在D 内是减函数。

②设x 1, x 2∈

[a , b ]，那么f (x 1)-f (x 2)>0⇔f (x )是增函数；

x 1-x 2

f (x 1)-f (x 2)

二、主要方法：

1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定

义域的子集；

2. 判断函数的单调性的方法有： (1)用定义；

(2)用已知函数的单调性； (3)利用函数的导数；

(4)如果f (x ) 在区间D 上是增（减）函数，那么f (x ) 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数 (5)图象法；

“同增异减” (6)复合函数的单调性结论：

(7)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.

(8) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性．

增函数f (x ) +增函数g (x ) 是增函数；减函数f (x ) +减函数g (x ) 是减函数；增函数f (x ) -(9)在公共定义域内，减函数g (x ) 是增函数；减函数

f (x ) -增函数g (x ) 是减函数。

⎛⎫⎡⎫⎛b y

=ax +(a >0, b >0) 或 0上是单调-∞, 或+∞函数在上单调递增；

在10() ⎪⎢⎪⎪ ⎪x ⎣⎭⎝⎝⎭

递减。

3. 证明函数单调性的方法：

(1)利用单调性定义①：如果函数f (x ) 对区间D 内的任意x 1, x 2，当x 1f (x 2)，则f (x )在D 内时减函数。

f (x 1)-f (x 2)[]x , x ∈a , b >0⇔f (x )在是增函数； 利用单调性定义②：设，那么2()12

x 1-x 2

f (x 1)-f (x 2)

三、函数单调性课堂练习

如果函数y=f(x)在区间I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性. 已知函数y=f(x)的图象，根据图象写出函数的单调区间：

1. 下列函数在区间(0,+∞) 上不是增函数的是（ ）

A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y=

3

D.y=x2+2x+1 x

2. 下列函数中，属于增函数的是 [ ]

3. 若一次函数y=kx+b(k≠0) 在(-∞，+∞) 上是单调递减函数，则点(k，b) 在直角坐标平面的 [ ]

A ．上半平面 B．下半平面 C ．左半平面 D．右半平面 4．函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞，4) 上是减函数，则实数a 的取值范围是 [ ]

A ．a ≥3 B．a ≤-3 C．a ≤5 D．a=-3 5. 已知f(x)=8+2x-x，如果g(x)=f(2-x) ，那么g(x)[ ]

A ．在区间(-1，0) 内是减函数 B ．在区间(0，1) 内是减函数 C ．在区间(-2，0) 内是增函数 D ．在区间(0，2) 内是增函数 6. 在区间

上为增函数的是( ).

2

2

2

A ．

B．

C．

D．

7. 的增区间是（ ）。

A ． B． C

． D．

8.(1)若函数y=kx+2在R 上为增函数，则k 的范围是；

(2)若函数y=x—mx+5在（—∞，2）为减函数，在（2,+∞）上为增函数，则m= 。

2

9.y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同

函数；y=[f(x)]是单调______函数． 10． 在

11．函数

12．已知

13．函数

在

都是减函数, 则

, 当

在

上是____函数(填增或减) ．

时是减函数, 则的值为_______．

．

2

时, 是增函数, 当

是常数), 且

, 则

上是减函数, 则 的取值范围是_______．

14．若函数

15．已知 ①

②

在区间

在定义域内是减函数，且

上是减函数，则实数 的取值范围是__________．

，在其定义域内判断下列函数的单调性：

（ 为常数）是___________； （ 为常数）是___________；

③ ④

是____________； 是__________．

16．设

，

是增函数，

和

，

是减函数，则

是_______函数；

是

________函数；

2

是_______函数．

17. （1）函数f(x)=x-1在(-∞，0) 上是减函数；、

18. 已知f(x)=-x-x+1(x∈R) ，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x 至多只有一个．

3

19．判断一次函数

20．证明函数

在

单调性.

上是增函数，并判断函数

在

上的单调性.

21．判断函数

的单调性.

22. 定义域为R 的函数y=f(x)，对任意x ∈R ，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a 为常数．又知x ∈(a，+∞) 时，该函数为减函数，判断当x ∈(-∞，a) 时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．

23. 设f(x)是定义在R 上的递增函数，且

f(xy)=f(x)+f(y)

+

(2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a 的取值范围．

24．函数

对于

有意义，且满足条件

，

，

是非减函数，（1）

证明

25．已知函数

；（2）若

成立，求 的取值范围．

（1） ，

，证明：

（2）证明

26．函数

在

上是增函数

，

，求函数

的单调区间．

27．求证：

在

上不是单调函数．

28．根据函数单调性的定义，证明函数

29．设

是定义在

上的增函数，

在

上是减函数．

，且

，求满足不等式

的x 的取值范围.

关于复合函数

1、复合函数的概念

如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即y=f（a ），a=g（x ），那么y 关于x 的函数y=f[g（x ）]

叫做函数y=f（x ）和a=g（x ）的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值y 。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立。

a 是中间变量。

2、复合函数单调性

定理：一般地，设函数u=g（x ）在区间M 上有意义，函数y=f（u ）在区间N 上有意义，且当X ∈M时，u∈N。

有以下四种情况：

（1）若u=g（x ）在M 上是增函数，y=f（u ）在N 上是增函数，则y=f[g（x ）]在M 上也是增函数；

（2）若u=g（x ）在M 上是增函数，y=f（u ）在N 上是减函数，则y=f[g（x ）]在M 上也是减函数；

（3）若u=g（x ）在M 上是减函数，y=f（u ）在N 上是增函数，则y=f[g（x ）]在M 上也是减函数；

（4）若u=g（x ）在M 上是减函数，y=f（u ）在N 上是减函数，则y=f[g（x ）]在M 上也是增函数。

注意：内层函数u=g（x ）的值域是外层函数y=f（u ）的定义域的子集。

例、讨论函数的单调性

（1） （2）

一．复合函数y=f[g(x)]的单调性规律

若函数y=f(x)是由外函数y=f(u)和内函数u=g(x)复合而成，则复合函数y=f[g(x)]的单调性与各分函数y=f(u),u=g(x)的单调性之间的关系如下表：

二．判断原则是“同增异减”------两分函数的单调性相同时复合函数为增函数，两分函数的单调性不

同时复合函数为减函数。

具体步骤是：1. 求定义域；2. 把复合函数分解成若干基本初等函数；3. （外函数不单调时）依中间变量u

的范围求自变量x 的范围；4. 依“同增异减”原则判断复合函数的增减性。 具体题目根据内外函数的难易情况分以下几类： （1）内外均简：在其定义域上内外函数均单调。 （2）内繁外简：在其定义域上内函数不单调外函数单调。 （3）内简外繁：在其定义域上外函数不单调内函数单调。 （4）内外均繁：内外函数均不单调。 （5）含参型：函数中含有参数。

（6）分函数有两个以上：分函数中减函数有奇数个时复合函数减、偶数个时增。

例1 函数y=

（x 0）的单调性是 。(内外均简)

2

例2 求y=log0.5(-x+4x+3)的单调区间。（内繁外简）

例3 求y=4＋6•2+2的增区间。（外繁内简）

例4 函数f(x+1)= x-2x+1的定义域[-2,0]。求f(x)的单调区间。

练习：f(x)与g(x)= 关于y=x对称，求f(3x-x) 的减区间。

例5 求函数y=x

4

2

2

x

x

-2x +6的单调区间（内外均繁）。

2

练习 . 已知f(x)=8+2x-x. g(x)=f(2-x ) 。求g(x)的单调区间。

例6 判断函数f(x)=loga (1-a) 的单调性（含参型）。

练习：1．函数y=loga (2-ax)在[0,1]上是减函数，求a 的取值范围。

2．函数y=log0.5(3x

3. 求y =lg(2+1)+lg（2-2）的单调区间（三个分函数）。 x x x 222-ax+5)在(-1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围。

二．两函数的运算：两个单调函数的运算，只有（同性的和、异性的差、相反三类）

1. 增＋增＝增 减＋减＝减；2. 增－减＝增 减－增＝减；3. －增（减）＝减（增）其它均不确定。

同性和不变，异性差被减，负的增减反，其余不能判断。

函数单调性课后练习题

1. （1）已知函数f(x)＝x +2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围2

是 .

（2）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a 的取值范围是 .

（3）已知x ∈[0，1]，则函数 y = _______最小值为_________ - 2. 讨论函数f(x)＝ax (a≠0)在区间(-1，1) 内的单调性. 21-x

3. 判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0) 上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x ) 是增函数还是减函数？

4. 已知：f (x ) 是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)

5. 设y=f(x ) 的单增区间是(2，6) ，求函数y=f(2－x ) 的单调区间．

6．函数ax +1在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） x +2

11A. 0 C.a1 D.a>-2 22f (x ) =

2⎧⎪x ＋4x ，x ≥0，7. 已知函数f (x ) ＝⎨若f (2－a 2)>f (a ) ，则实数a 的取值范围是( ) 2⎪4x －x ，x

A ．(－∞，－1) ∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2) ∪(1，＋∞)

8. 已知f (x ) 在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy ) =f(x )+f (y ) ，解不等式f (x )+f (x －2) ≤3

9. 已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(x 1) =f(x1)-f(x2) ，且当x ＞1时，f(x)＜0. x 2

（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

10. 函数f(x)对任意的a 、b ∈R, 都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.

（1）求证：f(x)是R 上的增函数；

2（2）若f(4)=5,解不等式f(3m-m-2) ＜3.

11. 设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，

（1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f（x ）+f（y ）；

（2）设f （2）=1，解不等式

x f () =f (x ) -f (y ) y f (x ) -f (1) ≤2。 x -3

3－ax (a ≠1) ． a －1

(1)若a >0，则f (x ) 的定义域是________；

(2)若f (x ) 在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．

12. 已知函数f (x ) 13. 定义在b ∈R ，有R 上的函数y =f (x ) ，f (0)≠0，当x >0时，f (x ) >1，且对任意的a 、

(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x ) >0；(3)若f (x ) ⋅f (2x -x 2) >1，f (a +b ) =f (a ) ⋅f (. (1)b ) 求f (0)的值；

求x 的取值范围.

214. 已知函数f (x ) 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x ) ＋f (y ) ＝f (x ＋y ) ，且当x >0时，f (x )

(1)求证：f (x ) 在R 上是减函数；

(2)求f (x ) 在[－3,3]上的最大值和最小值．

小测试

1. （1）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围

是 .

（2）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a 的取值范围是 .

（3）已知x ∈[0，1]，则函数 y = 的最大值为_______最小值为_________ - 2. 讨论函数f(x)＝ax (a≠0)在区间(-1，1) 内的单调性. 1-x 2

3. 判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0) 上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x ) 是增函数还是减函数？

4. 已知：f (x ) 是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)

5. 设y=f(x ) 的单增区间是(2，6) ，求函数y=f(2－x ) 的单调区间．

6．函数ax +1在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） x +2

11A. 0 C.a1 D.a>-2 22f (x ) =

2⎧⎪x ＋4x ，x ≥0，7. 已知函数f (x ) ＝⎨若f (2－a 2)>f (a ) ，则实数a 的取值范围是( ) 2⎪4x －x ，x

A ．(－∞，－1) ∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2) ∪(1，＋∞)

8. 已知f (x ) 在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy ) =f(x )+f (y ) ，解不等式f (x )+f (x －2) ≤3

9. 已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(x 1) =f(x1)-f(x2) ，且当x ＞1时，f(x)＜0. x 2

（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

10. 函数f(x)对任意的a 、b ∈R, 都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.

（1）求证：f(x)是R 上的增函数；

2（2）若f(4)=5,解不等式f(3m-m-2) ＜3.

11. 设f （x ）的定域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，

（1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f（x ）+f（y ）；

（2）设f （2）=1，解不等式

x f () =f (x ) -f (y ) y f (x ) -f (1) ≤2。 x -3

3－ax (a ≠1) ． a －1

(1)若a >0，则f (x ) 的定义域是________；

(2)若f (x ) 在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 12. 已知函数f (x ) 13. 定义在b ∈R ，有R 上的函数y =f (x ) ，f (0)≠0，当x >0时，f (x ) >1，且对任意的a 、

(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x ) >0；(3)若f (x ) ⋅f (2x -x 2) >1，f (a +b ) =f (a ) ⋅f (. (1)b ) 求f (0)的值；

求x 的取值范围.

214. 已知函数f (x ) 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x ) ＋f (y ) ＝f (x ＋y ) ，且当x >0时，f (x )

(1)求证：f (x ) 在R 上是减函数；

(2)求f (x ) 在[－3,3]上的最大值和最小值．