二元函数的极值
§10–7 二元函数的极值
基础知识导学
1. 二元函数的极值与驻点
⑴ 极值与驻点
①极值 设函数z =f (x , y ) 在点P 如果对在此邻域内除0(x 0, y 0) 的某个邻域内有定义，
点P ，则0(x 0, y 0) 外的任意点P (x , y ) ，均有f (x , y ) f (x 0, y 0) ）称点P 0(x 0, y 0) 为函数z =f (x , y ) 的极大值点（或极小值点）. f (x 0, y 0) 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使f x (x , y ) =0, f y (x , y ) =0同时成立的点(x , y ) 称为函数z =f (x , y ) 的驻点.
⑵ 极值存在的必要条件
设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果P 0(x 0, y 0) 是极值点，则必有 f x (x 0, y 0) =0, f y (x 0, y 0) =0.
注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数z =f (x , y ) 的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件
设函数z =f (x , y ) 在点P 且P 0(x 0, y 0) 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，0(x 0, y 0) 是驻点. 设A =f xx (x 0, y 0) ，B =f xy (x 0, y 0) , C =f yy (x 0, y 0) ，则
①当B -AC
点；当A >0时，点P 0(x 0, y 0) 是极小值点； 2
②当B -AC >0时，点P 0(x 0, y 0) 不是极值点； 2
③当B -AC =0时，点P 0(x 0, y 0) 有可能是极值点也可能不是极值点.
2．条件极值与拉格朗日乘数法
⑴ 条件极值
求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.
⑵ 拉格朗日乘数法
求函数u =f (x , y , z ) 在满足约束条件ϕ(x , y , z ) =0下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法的具体步骤如下：
①构造拉格朗日函数 F (x , y , z , λ) =f (x , y , z ) +λϕ(x , y , z ) ,
其中λ为待定常数，称其为拉格朗日乘数.
②求四元函数F (x , y , z , λ) 的驻点，即列方程组 2
⎧F x =f x (x , y , z ) +λϕx (x , y , z ) =0, ⎪F =f (x , y , z ) +λϕ(x , y , z ) =0, ⎪y y y ⎨ F =f (x , y , z ) +λϕ(x , y , z ) =0, z z ⎪z
⎪ ⎩F λ=ϕ(x , y , z ) =0,
求出上述方程组的解x , y , z , λ，那么驻点(x , y , z ) 有可能是极值点；
③判别求出的点(x , y , z ) 是否是极值点，通常由实际问题的实际意义来确定.
对于多于三个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果.
解题方法指导
1．求函数的极值与最值的方法
例1 求函数f (x , y ) =e
解 （1）求驻点
x -y 22x -y ⎧⎪f x (x , y ) =e (x -2y ) +2x e =0, 由 ⎨ x -y 22x -y ⎪⎩f y (x , y ) =-e (x -2y ) -4y e =0, x -y (x 2-2y 2) 的极值.
得两个驻点 (0, 0) ，(-4, -2) ，
（2）求f (x , y ) 的二阶偏导数
f xx (x , y ) =e x -y (x -2y +4x +2) ，f xy (x , y ) =e x -y (2y 2-x 2-2x -4y ) ， 22
f yy (x , y ) =e x -y (x 2-2y 2+8y -4) ，
（3）讨论驻点是否为极值点
在(0, 0) 处，有A =2，B =0，C =-4，B 2-AC =8>0，由极值的充分条件知 (0, 0) 不是极值点，f (0, 0) =0不是函数的极值；
在(-4, -2) 处，有A =-6e ，B =8e -2-2，C =-12e ，B -AC =-8e -22-4
-2A
例2 某公司要用不锈钢板做成一个体积为8m 的有盖长方体水箱。问水箱的长、宽、高如何设计，才能使用料最省？
解一 用条件极值求问题的解.
设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z . 依题意，有
xyz =8 ， 3S =2(xy +yz +zx )
令 f (x , y , z , λ) =2(xy +yz +zx ) +λ(xyz -8) ，
⎧f x ⎪f ⎪y 由 ⎨⎪f z
⎪⎩f λ=2(y +z ) +λyz =0, =2(x +z ) +λxz =0, 解得驻点（2, 2, 2）. =2(y +x ) +λxy =0, =xyz -8=0,
根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一. 因此，当水箱的长、宽、高分别为2cm 时，才能使用料最省.
解二 将条件极值转化为无条件极值.
设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z . 依题意，有
xyz =8 ， s =2(xy +yz +zx )
消去z ，得面积函数 S =2(xy +88+) ， x >0，y >0，xy ≤8. x y
⎧S =2(y -⎪⎪x
由 ⎨⎪S y =2(x -⎪⎩8) =02x 得驻点 （2, 2）， 8) =0y 2
根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一. 因此，（2, 2）为S (x , y ) 的最小值点，即当水箱的长、宽、高分别为2cm 时，才能使用料最省.
小结 求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法. 条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题. 在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断.
学习方法建议
1． 本章重点为二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数
的求导公式与计算，隐函数的求导公式，曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.
2．多元函数的微分学与一元函数的有关内容是相对应的. 在学习这一章时，应与一元函数进行对比，弄清它们之间的区别与联系，对理解和掌握本章的相应内容是会有帮助的.
3. 多元函数的微分法一个是难点，要求读者一定要分清自变量与中间变量，以及它们之间的关系. 搞清楚函数的各变量间的复合关系，由于多元函数的复合关系可以说是无穷无尽的，不可能列出所有的公式. 因此，要记住最基本的公式，这就是链式规则——通过一切有关的中间变量到自变量. 自变量有几个，链式规则中就会含有几个公式；中间变量有几个，链式规则中的每个公式里就有几项. 同时，读者还应做较多的练习，才能熟练、灵活地掌握链式规则，确保求导的正确性.
4． 求解最大、最小值问题是多元函数微分学的重要应用，求解这类问题的关键在于建 立函数关系和约束条件，读者应通过一些习题锻炼自己建立函数关系的能力.