一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系复习 复习矩形.菱形.正方形
代数：一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系复习 几何：复习矩形、菱形、正方形
二. 重点、难点：
1. 重点：
代数：根的判别式的正用与逆用；韦达定理的应用。
几何：矩形、菱形、正方形的性质及判定。
2. 难点：
代数：根的判别式的逆用；韦达定理的应用。
几何：矩形、菱形、正方形性质的区别及判定。
［知识要点］
代数：
1. 一元二次方程
的判别式
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
2. 一元二次方程根与系数的关系
（1）韦达定理：
如果
的两个根是
，那么
。
注意：①一元二次方程，
；②有两个根
。
（2）如果方程
的两个根是
，那么
，
。
（3）以两个数
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
。
几何：
1.
名称
边
角
对角线
面积
矩形
对边
4个角都是直角
对角线相等且互相平分
邻边乘积
菱形
4条边相等
对角相等，邻角互补
对角线垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角
对角线乘积的一半
正方形
4条边相等
4个角都是直角
对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
边长的平方
2. 判定：
判定矩形的方法：
（1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）有3个角是直角的四边形。
（3）对角线相等的平行四边形。
判定菱形的方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形。
（2）四条边都相等的四边形。
（3）对角线互相垂直的平行四边形。
判定正方形的方法：
（1）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。
（2）有一组邻边相等的矩形。
（3）有一个角是直角的菱形。
（4）既是矩形又是菱形的四边形。
3. 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系
【典型例题】
例1. 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）
；（2）
解：（1）
即△＞0
∴方程有两个不相等的实数根
（2）
即△＝0
∴方程有两个相等的实数根
例2. （2004，上海）关于x的一元二次方程
，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
解：根的判别式
又△＝1
，即
或
由题意知：
为一元二次方程
即为
即原方程的根为
例3. （2004，广东）已知实数a，b分别满足
，求
的值。
解：由
知a、b是方程
的两个根
由
得：
由韦达定理，得：
即
又
例4. （2004，重庆）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ）
A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°
解：连结FB
∵EF垂直平分AB
∴FA＝FB
又△CDF≌△CBF（SAS）
在等腰△FAD中，
又
∴选D
例5. （2004，河北）如图，将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于________。
解：过点A作AE⊥BC于E
∵矩形A’BCD’变形为平行四边形ABCD
又
即
在
中，∠B＝30°
∴平行四边形ABCD的一个最小内角为30°
例6. （2004年，四川）已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F且BF＝CE。
求证：（1）△ABC是等腰三角形。
（2）当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论。
证明：（1）在
和
中
即△ABC是等腰三角形
（2）若∠A＝90°，则四边形AFDE为矩形（三个角是直角的四边形为矩形）
又由
，设DF＝DE
∴四边形AFDE为正方形（有一组邻边相等的矩形为正方形）
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）
（2）
2. 不解方程判断
根的情况。
3. 若方程
有两个实根，求正整数k的值。
4. 若关于x的方程
的两根之和与两根之积相等，求m的值。
5. 在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为__________
。
6. 如图，在正方形ABCD中，截去∠A和∠C后，∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于________。
【试题答案】
1. （1）有两个不等的实根；
（2）无实根
2. 提示：
，∴无实根
3. 提示：（1）由△≥0得：k≤2
（2）由k为正整数，得：k＝1或2
（3）由
得：
4. 由韦达定理，得：
5. 128
6. 540°