最新最全高中数学三角函数公式2016
定义式
函数关系
倒数关系:商数关系:平方关系:
; ;
;
; .
;
.
诱导公式
公式一:设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
公式二:设 为任意角,
与 的三角函数值之间的关系:
公式三:任意角
与 的三角函数值之间的关系:
公式四:
与 的三角函数值之间的关系:
公式五:
与 的三角函数值之间的关系:
公式六:
及
与 的三角函数值之间的关系:
记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:
k×π/2±a(k∈z) 的三角函数值.(1)当k 为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;
(2)当k 为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:
记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角.
以诱导公式二为例:
若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二. 以诱导公式四为例:
若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角
函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四.
诱导公式的应用:
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:
特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的
灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。
基本公式
和差角公式
二角和差公式
证明如图,负号的情况只需要用-β代替β即可.cot(α+β) 推导只需把角α对边设为1,过程与tan(α+β) 相同.
三角和公式
和差化积
口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦.
积化和差
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明:
sin 3a =sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos 3a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin 3a
=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos 3a
=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得:
tan 3a =tana·tan(60°-a)·tan(60°+a) 四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)] cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4) 五倍角公式
n 倍角公式 应用欧拉公式:
.
上式用于求n 倍角的三角函数时,可变形为:
所以,
其中,Re 表示取实数部分,Im 表示取虚数部分.而
所以,
半角公式
(正负由 所在的象限决定)
万能公式
辅助角公式
.
证明: 由于
,显然
,且
故有:
三角形定理
正弦定理
在任意△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,三角形外接圆的半径为R .则有:
正弦定理变形可得:
余弦定理
在如图所示的在△ABC 中,有
或