"五羊杯"初中数学竞赛试题

丰富多彩的有理数竞赛题

现以2000年、2001年第十二届，第十三届“五羊杯”（广东省数学会举办）初中数学竞赛试题的有理数竞赛题为例，介绍有关解题方法。

例1 8 642 097 531、6 420 875 319、4 208 653 197、2 086 431 975、864 219 753的平均数是（ ）。

（A ）4 444 455 555; （B ）5 555 544 444

（C ）4 999 999 995; （D ）5 999 999 994

解 注意已知五个数的特点：右起1至5位每位数字之和为1+3+5+7+9=25，6至10位每位数字之和为0+2+4+6+8=20，于是五个数的平均数为4 444 455 555。选A 。

例2 已知 68 9□□□20 312≈690亿（四舍五入），那么其中三位数□□□有（ ）种填写的方法。

（A ）1 000; （B ）999; （C ）500; （D ）499

解 可填500，501，502，„，999，共500种填法。选C 。

例3 不超过700π（π是圆周率）的最大整数是（ ）。

（A ）2 100; （B ）2 198; （C ）2 199; （D ）2 200

解 ∵3.141 5

÷（0.01+0.03+0.05+0.07+0.09+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19）的得数的整数部分是_________。

解 原式=(0. 1+8. 9) ⨯9

2÷(0. 01+0. 9) ⨯10

2=40. 5÷1=40. 5，所以整数部分是40。

例5（1）计算：908×501-[731×1389-（547×236+842×731-495×361）]。

（2）计算2÷3÷7+4÷6÷14+14÷21÷49

4÷7÷9+8÷14÷18+28÷49÷63。

解:

（1）先去掉括号，然后逐步逆用乘法分配律。

原式=908×501-731×1389+547×236+842×731-495×361

=908×501-731×547+547×236-495×361

=908×501-547×495-495×361

=908×501-495×908

=908×6=5448。

(2÷3÷7) ⨯(1+1

2

1+171) =2÷3÷7

4÷7÷932（2）原式=

(4÷7÷9) ⨯(1+=。 +) 27

例6 今有带余除法算式A ÷B=C„„8，如果A+B+C=2178，那么A=（ ）。

（A ）2000; （B ）2001; （C ）2071; （D ）2100

解 由已知A=BC+8，代入得BC+B+C+8=2178，故BC+B+C+1=2171，

即（B+1）（C+1）=13×167。因为13与167均为质数，所以只有

⎧B +1=13⎧B +1=167或⎨。 ⎨C +1=167C +1=13⎩⎩

故⎨⎧B =12

⎩C =166，或⎨⎧B =166

⎩C =12。

都可得A=BC+8=166×12+8=2000。选A 。

例7 若1059，1417，2312分别被自然数x 除时，所得余数都是y ，则x-y=（ ），

（A ）15; （B ）1; （C ）164; （D ）179

解：设已知三数除以x 的商分别为自然数a 、b 、c ，则可得

ax+y=1059，①

bx+y=1417，②

cx+y=2312。③

②-①得（b-a ）x=358=2×179，④

③-②得（c-b ）x=895=5×179，⑤

⑤-①得（c-a ）x=1253=7×179。⑥

从④、⑤、⑥三式可知x=179，进而易得y=164，故x-y=179-164=15。选A 。

例8 已知A =-1998⨯1999

2000⨯2001，B =-1998⨯2000

1999⨯2001，C =-1998⨯2001

1999⨯2000，则有（）。

（A ）A>B>C; （B ）AA>C; （D ）B>C>A

解： ∵A -B =-1998⨯1999

2000⨯2001

[**************]9=⨯-⨯ [**************]0

1998

2001(2000

1999-1999

2000) >0， -(-1998⨯20001999⨯2001) =

∴A>B。同理B>C。

∴A>B>C。选（A ）。

例9 用min （a ，b ）表示a 、b 两数中较小者，max （a ，b ）表示a 、b 两数中较大者，例如min （3，5）=3，min （3，3）=3，max （3，5）=5，max （5，5）=5。设a 、b 、c 、d 是不相等的自然数，min （a ，b ）=P，min （c ，d ）=Q，max （P ，Q ）=X；max （a ，b ）=M，max （c ，d ）=N，min （M ，N ）=Y，则（ ）。

（A ）X>Y; （B ）Y>X; （C ）X=Y; （D ）X>Y，Y>X都有可能

解：取一组特殊值：a=4，b=3，c=2，d=1，可求X=3，Y=2，∴X>Y；

再取a=4，b=2，c=3，d=1，可求X=2，Y=3，∴Y>X。

这说明X>Y，Y>X都有可能。选D 。