保险产品的设计方案论文

保险产品的设计方案

摘 要

随着时代的发展，人民生活水平不断提高，人们也越来越重视人身保险。某一保险公司拟设计一个新的产品，本文针对保险产品设计方案提出的八个问题，分别建立了相应的模型。

模型1 为保证保险公司不盈不亏，确定了投保人在交费期(n年)，每月所交固定费用(a元),投保人领取固定额度的工资(b元)和投保人死亡时的年龄(m岁)之间的关系：

a(1+c)

12m

−(a+b)(1+c)

12(m−n)

+b=0

模型2 将题中所给a,n,c,m的值代入模型1中，用Matlab求解，得保险公司应发给投保人的工资为983.7302元；

模型3 将题中所给a,b,c的值代入模型1中，得到m和n的关系为：

m=n+33.375[lg2−lg(3−e0.29963×10)]

运用Matlab画出m与n之间的关系图，对图进行分析，利用上述关系计算出保险公司不盈不亏时交纳年数与领取工资年数，并用表格的形式具体表达；

模型4 完成保险最终设计所需的条件有：每个年龄段死亡人口占总死亡人口的百分比；居民的平均收入；居民消费水平；

对所提出的获取方案进行讨论，可知在官网上查找相关资料为最可行的方法。然后，对数据进行有效加工即可；

模型5 在题目已知条件下，公司不亏不盈的概率即为保险公司把投保人交纳费用及所产生的利息全部返还给投保人的概率，据此求解保险公司不亏不盈的概率。

模型6 根据投保人整数岁死亡的概率，用计算期望的方法，通过建立方案1与方案2，可得投保人的平均死亡年龄，平均年龄死亡的概率即为保险公司不亏不盈的概率；

模型7 已知投保人整数岁死亡的概率，用水平法解得投保人每个月的死亡概率，依据模型6的求解方法，通过建立方案3与方案4，得到1~n岁和n+1~200岁的死亡概率，则公司不亏不盈的概率为两阶段同时发生的概率乘积；

模型8 根据题意分两种情况考虑。情况1：以投保人在未满交费年限死亡，来确定赔偿倍数和死亡时的年龄的关系。情况2：以投保人在满交费年限后死亡，来确定每月交纳保险、满交费年限后每月返还的固定工资与死亡时的年龄的关系。最后通过调查确定每月应交纳的保险费、应交纳的年数，以及合理假设未满交费年限就死亡的年龄和满交费年限后死亡的年龄，由此合适地确定出赔偿的倍数和每月返还的固定工资。

−n

关键词：保险设计方案 不亏不盈 水平法 Matlab

1 问题重述

1.1 背景资料

随着经济的不断发展，人们的生活水平也不断提高，人们越来越重视投资保险，尤其是人身保险。某保险公司拟设计一个新的方案，使保险公司不盈不亏，寻求满足要求的方案。 1.2 基本条件

1 投保人从一出生开始就开始按月交纳固定的费用a元，交满n年停止交费。 2 按月交满n年后，投保人从下个月开始按月领取固定额度的工资b元，直到投保人死亡。

3 投保人交费未满n年死亡，保险公司全额退还投保人所有交费（不付利息），并按交费月数进行赔付，不考虑其他情况。

4 银行的月利率为c，一直不变。

5 保险公司只将投保人的交费及时存入银行，不进行其他投资。 6 投保人都是恰好满m岁死亡。 1.3 提出问题

1 已知投保人恰好满交费期以后死亡，建立常数a,b,c,m,n的关系式使保险公司不盈不亏，并化简。

2 在问题1的基础上，当a=1000元时，a=20年，c=0.25%，m=80岁，求b的具体值，并写出所用计算工具及操作步骤。

3 在问题1的基础上，当a=1000元时，b=2000元，c=0.25%，，求m与n的关系式，并用图形或表格形象描述m与n的关系。

4 要完成产品的最终设计，需要哪些数据？并探讨获取和加工数据的有效方案。

5 已知投保人恰好k岁死亡的概率是 (pkk=n+1,n+2,……200)，且

k=n+1

∑

200

pk=1。投

保人都是恰好满m岁死亡（m>n,m为整数），求保险公司不盈不亏的概率。 6 已知投保人都是恰好满整数岁死亡，投保人恰好k岁死亡的概率为pk（k=1,2……200），且

k=n+1

∑

200

pk。投保人m死亡（m≤n,m为整数）时，保险公司全额退

200

还投保人所有交费（不付利息），并再按所有交费的d倍赔付 。

7 投保人大于k−1岁，小于等于k岁的死亡率为pk（k=1,2，……200）且∑pk=1，

k=1

因为交费和领取工资是按月进行的，投保人不一定恰好满整数岁死亡。根据已知按岁死亡的概率，估算按月死亡概率，求保险公司不盈不亏的概率。

8 从直觉上知道，a,n越小，b,d越大，投保者越多。但也可能使公司的风险越大。根据以上问题所建模型，探讨如何确定合适的a,b,d,n（可以引入以上未提及的影响因素）。

2 问题假设与符号说明

2.1 问题假设

1 投保人死亡时满整月；

2 投保人交纳费用满一个月为一个月； 3 k−1到k为k岁（k=1,2,……200）。

2.2 符号说明

x：死亡年龄； r：发展速度； c：银行月利率；

x1：1~n岁平均死亡年龄；

x2：n+1~200岁平均死亡年龄； y1：1~n岁的平均死亡月份；

y2：n+1~200岁的平均死亡月份；

di：保险公司对1~n岁死亡投保人的赔付倍数； r：表示平均发展速度；

n：投保人所需交费的年数； m：投保人恰好满m岁死亡； a：投保人每月交纳的固定费用；

b：投保人按月领取固定额度的工资数额。

3 问题分析

3.1 问题1的分析

投保人从一出生开始按月交纳固定费用，交满n年后，从下一个月按月领取固定额度的工资，直到投保人死亡。由题意知，投保人在交满n年后整数年死亡。为保证保险公司不盈不亏，保险公司从开始给投保人发放工资到投保人死亡总共发放给投保人的工资等于投保人每个月所交的本金与保险公司将钱存入银行的利息之和。

首先，投保人是按月交费，同时保险公司及时把钱存入银行。假设投保人交纳的费用满一个月时，为第一个月。由此，按月累计本金和利息，将上月本金和利息加上每月交纳的固定费用存入本月，再将本月本息合加下月交纳的固定费用存入下月，依此类推计算出投保人在n年总共交纳的费用以及这些费用所产生的利息和。

然后，交费满期之后满一个月时，保险公司开始给投保人发放工资。在按月发放投保人工资时，保险公司存在银行的钱还会按月继续产生利息，由题意知投保人每月领取的工资一定，因此发放到最后一个月时保险公司在银行的存款和利息为0。

最后，得到其关系式化简即可。

3.2 问题2 的分析

根据问题1，已知投保人每月所交纳的费用与满交费年限后可领取工资的年数之间的关系，保证保险公司不亏不盈。将题目给定的数据代入问题1中表达式，运用Matlab可求解按月领取固定额度的工资。

3.3 问题3的分析

在投保人每月交纳固定费用、开始按月领取固定工资和月利率已知的情况下，结合问题1中的关系式，计算出m与n之间的关系，再用Matlab绘图表现出其影响关系，对图形进行分析后，又以表格的形式描述二者之间数据变化情况。

3.4 问题4的分析

产品的设计思路是：投保人从一出生开始，每月交纳固定费用a元，交满n年停止交费，其中n为正整数。并从下个月开始按月领取固定额度的工资b元，直到投保人死亡。当投保人交费未满交费期死亡，保险公司全额退还投保人所有交费（不付利息），

并按交费月数进行赔付。

要完成产品的最终设计，需要知道以下数据 1 每个年龄段死亡人口占总死亡人口的百分比； 2 居民的平均收入； 3 居民消费水平。

为得到这些数据，可以通过在官方网站查找相关资料，可以抽取小样本进行问卷调查，也可以在相关部门直接获取二手资料。

这三种获取资料的方式各有优缺点：第一种方法简单方便，节省时间；同时，与其相关的参考资料广泛，筛选时要注意资料的完整性与可靠性。第二种方法获取的资料真实可靠，但时间有限，整理数据也有难度，有点不符合实际。第三种方法针对性强，但资料获取有一定的难度。综合资料的可靠性、实用性我们选取第一种方案。

上网查得我国第五次人口普查统计资料，得到每个年龄段人数以及每个年龄段死亡人数和死亡概率。在产品设计中，提取每个年龄段的死亡人数，求出死亡人数总和，计算出各个年龄段死亡人口占总的死亡人口的百分比。由计算出的数据可知每个年龄段的死亡率都不同。判断哪个年龄段的死亡百分比较大，说明该年龄段人口的死亡概率大；再用Matlab画图，用图描述并对数据进行如下加工：

首先，由保险公司确定交费年数，再根据居民生活水平和消费水平确定每月交费的数额。

然后，为满足保险公司不盈不亏，确定投保人在交满交费年限后每月可领取的固定工资。

最后，同样作为企业的保险公司，都是以营利为目的。为了企业的可持续发展，可适当调整交费年限或固定工资以保持营利。

3.5 问题5的分析

为了使保险公司不赢不亏，则投保人在缴费满期后到死亡之前，保险公司把所有钱包括在银行的利息全返还给投保人。则根据问题1中求解年数与钱数之间的关系找到盈亏平衡点，并求解达到该平衡点时可能性大小。投保人恰好k岁死亡的概率是pk,k为满缴费期限后的任何一年。可求出投保人恰好满m死亡的概率是pm。

3.6 问题6的分析

首先，由题意可知，投保人都是恰好满整数岁死亡。死亡时的岁数不同，保险公司所赔付或给予投保人的工资不同，据此可以分两种情况考虑。

情况1：当投保人m岁死亡时，未满交费期(n年)，保险公司全额退还投保人所有交费，并按所有交费的d倍赔付。要使保险公司不盈不亏，则赔付给投保人的钱等于保险公司存入银行的钱产生的利息。即本金的d倍等于所有利息。

情况2：当投保人交满n年时，投保人每月可以从保险公司领取b元的固定工资，直到投保人死亡，但投保人死亡后保险公司不给予赔付。

其次，要使保险公司不亏不盈，则根据以上的两种情况，可以分为1~n岁公司不亏不盈和1~200岁总体上公司不亏不盈，由此可以建立方案1和方案2。

方案1：假设保险公司只要求对1~n岁死亡的人所退还和赔付的资金不亏不盈，根据题目可以列出死亡年龄概率分布列，对此表中的概率进行修改，使表中所有的概率相加为1。由修改后的表可以求得在1~n岁死亡人数的期望即平均死亡年龄。则用平均死

就得要求保险公司把投保人交亡年龄来代替1~n岁所有的死亡年龄。公司要不亏不盈，

纳的所有费用及产生的利息（按1+d倍退还给投保人）都退还给投保人，可以推出平均

死亡年龄所对应的概率即为公司在1~n岁不亏不盈的概率。

方案2：假设保险公司要求对所有年龄的投保人都要求不亏不盈，则必须从两方面进行考虑：

一方面：1~n岁不亏不盈。

另一方面：n+1~200岁(不包括n岁)不亏不盈。

依据方案1的方法，可以求出n~200岁的平均死亡年龄，由此平均死亡年龄可以讨论n+1~200公司是否盈利，如果盈利可以把盈利的资金给予1~n岁死亡的人，具体方法可以通过增大d来实现；如果亏损可视为公司亏损，不能使不亏不盈的情况发生；如果不亏不盈，则不用进行改变d。据此方案2可以建立三种情况。

最后，确立方案2的概率，由方案1的分析，可知1~n岁不亏不盈的概率与n~200不亏不盈的概率的乘积即为总体不亏不盈的概率。

3.7 问题7的分析

由题目可知，投保人大于k−1岁，小于等于k岁的死亡概率为pk(k=1,2,……,200),且∑pk=1。但交费和领取工资按月进行，投保人也不一定在整年死亡，所以必须考虑

k=1200

如果问题6中按月进行退款和赔付时公司不亏不盈的概率。

已知每年的死亡概率，可以计算出每月的死亡概率，方法有以下两种。

1

方法1：每月的死亡概率为该月所在年死亡概率的倍，但对实际情况进行分析，

12

在一定范围内，死亡概率随岁数的增长而增大，到达一定的程度后，死亡概率随岁数的增长而减小，如果运用方法1进行求解时，必定会有一定的误差。

方法2：每月的死亡概率可以通过水平法进行计算，水平法要求必须明确最初死亡概率和最末死亡概率，计算结果相对于方法1较为精确。

对问题7进行最优方法选择，当求解第一年每月的死亡概率时，只明确第一年死亡概率，即只明确最末死亡概率不明确最初死亡概率，所以可以利用方法1来解决第一年每个月的死亡概率；当求解第二年及以后每年的死亡概率时，由于最初死亡概率已知则可以利用水平法进行月概率的计算。

1~200年每月的死亡概率求解后，按照问题6求解方法，求解出1~n岁年龄段内平均死亡月，在此对公司不亏不盈的阶段进行考虑，按1~n岁阶段不亏不盈进行计算，还是按n+1~200岁的阶段进行计算，据此建立方案3和方案4。

3.8 问题8的分析

为了使投保者更多，就要让投保者投入的越小，收获的越多，即使a、n尽可能的小，b、d尽可能的大，但这样会使保险公司承担的风险增大。

投保人死亡的年龄不同，领取的工资也不同。考虑要不要对投保人进行赔付，由此对投保人的死亡年龄分为两种情况

情况1：投保人恰好在m(m≤n)岁死亡； 情况2：投保人恰好在M(M>n)岁死亡。

针对情况1，由模型6可知投保人死亡时所交纳的费用及费用所产生的利息，假设保险公司在此时不亏不盈，则可以确定赔偿倍数与死亡年龄之间的关系，利用第五次人口普查的数据计算出0~n岁投保人死亡的平均年龄，由此确定适当的d。

针对情况2，由模型1可知投保人死亡时，投保人交纳的费用及产生的利息。若保险公司要求此时不亏不盈，则投保人交纳的费用全部发放给投保人，然后利用第五次人

口普查表来确定合适的a,b,n。

4 模型的建立与求解

4.1 模型1的建立与求解

针对问题1，投保人开始交费时保险公司存入银行的钱变化情况如下

a(1+c) 满1个月后

满2个月后 a(1+c)2+a(1+c) 满3个月后 a(1+c)3+a(1+c)2+a(1+c) 满4个月后 a(1+c)4+a(1+c)3+a(1+c)2+a(1+c) …… …… 满12n个月后 a(1+c)12n+a(1+c)12n−1+a(1+c)12n−2+……+a(1+c)

将满12n个月后的钱化简，得：

∑a(1+c)

i

i=1

12n

令A=∑a(1+c)i

i=1

12n

当12n个月满后该保险公司就要每个月给投保人发放一定的工资，因此，12n个月以后钱的变化如

满12n+1个月后 满12n+2个月后 满12n+3个月后

……

A(1+c)−b(1+c)

A(1+c)2−b(1+c)2−b(1+c)

A(1+c)3−b(1+c)3−b(1+c)2−b(1+c)

……

12m个月后

A(1+c)12(m−n)−b(1+c)12(m−n)−b(1+c)12(m−n)−1−b(1+c)12(m−n)−2

−……−b(1+c)

由于12m个月后，保险公司不盈不亏，所以12m个月后，保险公司盈利为0 ，即① 将A=∑a(1+c)i代入①式，化简得

i=112n

[∑a(1+c)](1+c)

i

i=1

12n

12(m−n)

12(m−n)

−

∑

j=1

b(1+c)j=0

进一步简化得a，b，c，m，n之间的关系为

a(1+c)

12m

−(a+b)(1+c)

12(m−n)

+b=0

4.2 模型2 的建立与求解 由模型1得 a(1+c)

12m

−(a+b)(1+c)

12(m−n)

+b=0

将a=1000，n=20，c=0.25%，m=80代入得

1000×1.0025960−(1000+b)×1.0025720+b=0

利用matlab方程求解知识对上式求解得到b的值，即

b=983.7302

4.3 模型3的建立与求解

根据题目所给数据并结合问题1，把已知数据代入②式简化得：

m=n+33.375[lg2−lg(3−e)]

运用Matlab画出n从1到100与相对应m之间关系的图像，如图1

0.29963×10−n

图1 交费年数n与死亡岁数m之间的关系

由图可知若保险公司不盈不亏则领取工资的年数随交费年数的增大而增大，但到达

此时死亡岁数为153拐点后公式则不适用。用Matlab解得拐点相对应交费年数为36年，

岁。即当投保人交费36年后，就可以开始领取工资2000元/月。对死亡岁数进行分析可知，年龄达到153岁为极少数，所以完全可以不考虑交纳费用超过36年的部分。

为能形象描述在保险公司不盈不亏的条件下，作投保人应该领取工资年数m与交纳年数n之间具体数值之间的关系，见表1

表1 如果保险公司不盈不亏时交纳年数与领取工资年数

交纳年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

可以领取工资

年数

1.5113 3.0466 4.6072 6.1949 7.8115 9.459 11.1396 12.8558 14.6101 16.4057 18.2458 20.1341

交纳年数13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

可以领取工资

年数 22.0749 24.0729 26.1334 28.2627 30.4677 32.7566 35.1389 37.6258 40.2306 42.9691 45.8605 48.9286

交纳年数 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

可以领取工资年数 52.2027 55.7203 59.5298 63.6957 68.3061 73.4863 79.4227 86.4114 94.9644 106.0902 122.26 153.2607

4.4 模型4的建立与求解

通过上网查找人口普查的数据(附录A)，利用Matlab画出0-99岁各个年龄的死亡人口占总死亡人口的百分比（如图2）。

图2 我国各个年龄的死亡人口占总死亡人口的百分比

由上图可知年龄在70到80岁之间死亡率较大。为完成产品的最终设计，要保证公司不亏损，即要保证在70到80岁之间不亏损。根据调查得到的居民平均收入来确定每个月应交纳合适的保险费。再结合图2中的数据以及模型1中每月应交纳的保险费、交

费年限、满交费年限后每个月返还的固定工资、银行的月利率、投保人死亡时岁数之间的关系（见模型1结果），确定合适的交费年限以及满交费年限后每个月返还钱的金额。

首先，确定交费年限n（n由保险公司自己确定），根据图2假设投保人死亡时的岁数为m，根据调查人们生活水平确定每月应交纳的费用a，银行存款的月利率为c。

然后，假设当投保人死亡时保险公司不盈不亏，即投保人交纳的费用及产生的利息全部返还给投保人，可以得到满交费年限后每个月返还的固定工资：

b=(1+c)

12M

(1+c)12(M−n)

a− 12(M−n)

(1+c)−1

最后，再调整以上数据，使得保险公司能够盈利。

4.5 模型5的建立与求解

针对问题5，为保证保险公司不盈不亏，保险公司总共放给投保人的固定工资是投保人所交的费用和产生的利息。由此建立关系表达式

a(1+c)

12m

−(a+b)(1+c)

12(m−n)

+b=0

化简得到投保人恰好满m岁死亡为

1−b

m=n+log(1+c)12lgn(1+c)

12ae−a−b

已知投保人恰好k岁死亡的概率为pk， 则投保人恰好m岁死亡的概率为pm

4.6 模型6的建立与求解

根据题目，要使保险公司不亏不盈，可以分为1~n岁公司进行赔付不亏不盈和1~200岁总体上公司不亏不盈，由此可以建立方案1和方案2。

方案1：假设保险公司只要求对1~n岁死亡的人所退还和赔付的资金不亏不盈，依据题目可以列出1~n死亡年龄概率分布列

表2 1~n死亡年龄概率分布列

死亡年龄 1 2 3 …… n

p1 p2 p3 pn 死亡概率 ……

由题意可知：p1+p2+p3+……+pn

要求出1~n岁死亡年龄的期望即平均死亡年龄，则需要改变1至n岁的死亡概率，使得1至n岁的死亡概率之和等于1。

pi''

令p1+p'2+p3+……+p'n=1，其中pi'=(i=1,2,3……n)

p1+p2+p3+……+pn

经过处理后的分布列为

1 2 3 …… n

''

p'2 p3 p'n p1 ……

通过以上分布列计算在1~n岁平均死亡年龄x1

'''

x1=1×p1'+2×p2+3×p3+……+n×pn

x1在题目中所对应的概率p即为不亏不盈的概率

1

px1=p1×p'+2×p'+3×p'+……+n×p'

1

2

3

n

此时，要使保险公司不亏不盈，则除退还给投保人所交纳的费用外，交纳费用所产

生的利息全部以d1倍的赔付，付给投保人。

则 d1=

∑a(1+c)

i=1

i

12ax

(1+c)1+1−(1+c)

−1 化简得 d1=

12cx1

综上所述，如果投保人在未交满n年就死亡，保险公司退还投保人所有的交费，并

1+c−(1+c)x+1

且以d1=−倍的交费总数赔付。

cx

方案2：假设保险公司要求对所有年龄死亡的人所进行的赔付或发放工资都是不亏不盈，依据题目可以列出1~200岁死亡年龄概率分布列

表3 1~200死亡年龄概率分布列

死亡年龄1 2 3 …… …… 200 n

p2 p3 …… pn …… p200 死亡概率 p1

1~n不亏不盈和n+1~200对分布列进行分析可知，总体不亏不盈可以分为两部分，

岁不亏不盈，方案1已计算出可以代表1~n所有年龄死亡的平均死亡年龄x1，依据同种方法计算n+1~200岁所有年龄死亡的平均死亡年龄x2

依据表2可知n+1~200岁死亡年龄概率分布列

表4 n+1~200死亡年龄概率分布列

死亡年龄 …… 199 200 n+1 n+2

pn+1 pn+2 p199 p200 死亡概率 ……

现要求出n+1~200岁死亡年龄的期望即平均死亡年龄，需改变n+1到200岁的死亡概率，令p'n+1+p'n+2+……+p'199+p'200=1，其中

pi

(j=n+1,n+2……199,200)

pn+1+pn+2+……+p199+p200

经过处理后的表格为

1 2 199 200 …… ''

p'n+2 p'200 p199 pn+1 ……

通过上述分布列计算在n+1~200岁平均死亡年龄x2

p'j=

''''

x2=(n+1)×pn（n+2）×pn+2+……+199×p199+200×p200 +1+

−1

x2即为在n+1~200岁年龄死亡的平均死亡年龄，完全可以代表n+1~200岁所有的死亡年龄，在此年龄公司是否盈利未知，所以分三种情况进行讨论。

情况1：当投保人在x2岁死亡时，保险公司给投保人所发放的工资数为12x2，若投保人在x2岁死亡后，保险公司还处于盈利状态。则盈利为

a(1+c)

12x2

−(a+b)(1+c)

12(x2−n)

+b，此时可以把盈利的资金通过赔付给1~n岁死亡的人

使保险公司不亏不盈，并且赔付的倍数d2为盈利的资金与x1岁投保人交纳费用所产生的利息和再与x1岁交纳费用的比，此时的d2为

d2=

a(1+c)

12x2

−(a+b)(1+c)

12(x2−n)

12an

12x2

a(1+c)−a(1+c)1+1

+b−

化简得 d2=

a(1+c)−(a+b)(1+c)12an

12(x2−n)

+b1+c−(1+c)x1+1

−

12cn

即如果公司在n+1~200岁支付的工资小于投保人交纳费用所产生的本息和满足保险公司除退还给1~n死亡人交纳费用外，还给1~n岁死亡人所有交费的d2倍进行赔付。 情况2：若投保人在x2岁死亡后，保险公司处于亏损状态，从实际情况进行考虑，

赔付的金额为交纳费用的d1倍，此时若只需要使1~n岁年龄死亡时公司处于不亏不盈，

的赔付金额即为交纳费用的利息。如果从总体进行考虑，n+1~200岁死亡时公司处于亏

损状态，其亏损的金额只能通过公司自身来填补，不可能用1~n岁死亡的投保人所交纳费用产生的利息来填补公司的亏损，不符合实际，所以不予考虑。说明公司设计的保险政策有缺陷，有待于进一步改进。

情况3：若投保人在x2岁死亡后，保险公司处于不亏不盈状态，则只需把1~n岁死亡的投保人交纳的费用退还给投保人，并且交纳费用所产生的利息以交纳费用的d1倍赔付给投保人。

对以上3种情况进行分析，可知第2种情况不能让公司出现不亏不盈，所以不考虑其发生的概率。对于第1种和第3种情况，经过调整都可以使公司出现不亏不盈，并且两种情况所发生的概率都为1~n岁不亏不盈的概率与n+1~200岁不亏不盈所发生概率的乘积，即x1和x2所发生概率的乘积。 综上所述，方案2所发生的概率p=px×px

1

2

4.7.1 预备知识

用水平法推算每个时期的平均发展速度。

平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，用于描述现象在整个观察期内平均发展变化的程度。

水平法：水平法又称集合平均法，它是根据各个时期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的。计算公式为

==

式中：Yr表示平均发展速度，n为环比发展速度的个数，∏为连乘符号。

应用水平法计算平均发展速度的基本思想或原理是：从最初发展水平Y0出发，每期按平均发展速度Yr发展，经过n期后将达到最末期水平Yn，即Y0×Yr=Yn因此，用水平法计算的平均发展速度推算出的最后一期的数值与最后一期的实际观察值是一致的。从计算公式不难看出，按水平法计算的平均发展速度，实际上只与数列的最初观察值Y0和最末观察值Yn有关，而与其他各观察值无关，这一特点表明，水平法旨在考虑现象在最后一期所达到的发展水平。因此，在实际应用中，如果我们所关心的是现象在最后一期应达到的水平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。 4.7.2 模型7的建立与求解

由问题7可知保险公司现要以月来对死亡的投保人进行赔付或发放工资，现已知每年死亡概率，依据问题7分析所确定的方法，通过年死亡概率求解月死亡概率。

p

第一年每个月的死亡概率都为1

12

第二年每个月的死亡概率的发展速度为

r==

每个月的死亡概率都是前一个月死亡概率与本年发展速度的乘。

第k

年第i月的死亡率为：

pk_i=pk_i−k=2,3,……,200.i=1,2,……，12)

由上式可以求解出每个月所对应的概率如下表

n

方案3：假设公司只考虑1~n岁年龄段公司不亏不盈的概率，对表5中1~n岁年龄段每个月死亡的概率进行如下处理

p

pk_i'=n12k_i

∑∑pk_i

k=1i=1

处理后的表格为

表6 1~n岁每个月的死亡概率

年份 月份 相对月份 概率

n …… 1 2 3

……12 1 ……1～12 1

12

…… 12

1～12 13 ……24 25 ……36 ……

12n

pj'(j=1,2，……，12) p13'

……

p24' p25'

……

p36'

……

p12n'

根据表6可以计算出1~n岁的期望即平均死亡月份y1

'

y1=∑cpc

12n

c=1

所以，投保人在第y1月死亡的概率py即为公司在1~n岁进行赔付不亏不盈的概率，

1

投保人在第y1月死亡后，公司把全部的交费退还给投保人，并且交纳费用所产生的利息以交纳费用的倍数d3赔付给投保人，此时d3为

d3=

∑a(1+c)

i=1

1

ay1

−1

1+c−(1+c)1+1

-1 化简得： d3=−

cy1

方案4：假设公司要求在1~200岁年龄段内公司不亏不盈，所以不仅要考虑1~n岁年龄段内公司不亏不盈，还得考虑n+1~200岁年龄段内公司不亏不盈。

对表5中n+1~200岁年龄段每个月死亡的概率进行如下处理

pk_i

pk_i'=20012

∑∑pk_i

k=n+1i=1

处理后的表格为

表7 n+1~200岁每个月的死亡概率

年份

n+1 n+2

1 ……

12

…… 200

月份 1 …… 12 相对月份

…… 12

12n+1

…… 12（n+1）12（n+1）+1

……

12（n+2）

…… 2400

概率

'p12n+1

……

'

p12+1（n+1）

……

'

p12（n+2）

……

p2400'

根据表7可以计算出n+1~200岁的期望即平均死亡月份y2

2400

y2=

c=12n+1

∑

' cpc

n+1~200投保人在y2月死亡的概率即为py

2

综上所述，假设公司要求在1~200岁年龄段内不亏不盈，则此时的概率p为

p=p×p

1

2

4.8模型8的建立与求解

针对情况1，由模型6可以知道投保人死亡时交纳的费用及产生的利息为

a(1+c)12m+a(1+c)12m−1+……+a(1+c)−12am(1+d)

假设保险公司在此时不盈不亏，可以确定赔偿倍数与死亡年龄的关系如下

(1+c)[(1+c)12m−1]d=−1

12cm

由于银行的月利率不变，可以通过调查得到，当确定一个具体的n后，可以利用第五次人口普查的数据计算出0至n岁死亡人的平均年龄。由此可以确定出具体的d。

针对情况2，由模型1可以知道投保人死亡时银行里的钱为

a(1+c)12M−(a+b)(1+c)

12(M−n)

+b ③

如果此时保险公司不盈不亏，则③式等于零。得到a与b的关系为

(1+c)12(M−n)12M

b=(1+c)a− 12(M−n)

(1+c)−1

当确定一个n时，利用第五次人口普查数据，计算出n至99岁的平均死亡年龄为M 将确定的n和计算出的M代入③式，得到a与b的实际线性关系。再根据当时人们的生活水平来考虑a的取值，由此就可以得到b的数值。

最后通过模型检验来确定一个合适的方案。

5 模型检验

模型8的检验

假设公司确定了投保人需要交30年的保险费，即n=30；投保人每个月交纳1000元保险费，即a=1000；银行的月利率为0.25%。

再由第五次人口普查的数据计算出0至30岁死亡人的平均年龄为15岁。即m=15，

(1+c)[(1+c)12m−1]

−1，解得 将m=15,c=0.25%代入d=

12cm

d=0.2641

由第五次人口普查的数据计算出21至99岁死亡人的平均年龄为68岁即M=68，

(1+c)12M−(1+c)12(M−n)

，解得 将M=68,n=30,a=1000,c=0.25%代入b=a12(M−n)

−1(1+c)

b=2143

综上所述，当投保人每个月交投保费1000元，连续交30年后每个月领取固定工资2143元，直至死亡，若在未交满30年投保人就死亡，则投保公司退还所有保险费，并按所有保险费的0.2641倍进行赔偿，这样才能保证保险公司不亏。

6 模型评价与推广

6.1 模型评价

1 优点：

(1) 本文针对每个问题分别建立了对应的模型进行求解，并且结合实际情况对模型进行处理，使模型贴近实际；

(2) 模型求解中计算部分运用专业软件Matlab进行求解，可信度高； (3) 模型中通过运用水平法，用已知的年平均死亡概率推算出每个月的死亡概率，结果相对于平均法较为精确。 2 缺点：

(1) 模型综合考虑了很多因素，但仍具有一定的局限性。 6.2 模型推广

1 本模型可以用于保险公司最初方案的设计，需要考虑什么因素、得到什么数据，以及得到数据的处理方法，都给出了说明，可以说是一套完整的保险方案； 2 建立的模型还可以进一步解决更多因素对保险公司的影响；

3 投保人可以根据此模型在多家保险公司中选择最适合自己的投保方案。

7 参考文献

[1] 孙祥 徐刘美 吴清主编 《Matlab 7.0基础教程》 清华大学出版社 2006.5 [2] 姜启源 谢金星 叶君主编 《数学模型》 高等教育出版社 2003.8 [3] 于义良总主编 《运筹学》 中国人民大学出版社 2004.3 [4] 钱小军主编 《数量方法》 高等教育出版社 2004.9

8 附录

附录A

年龄 0岁 1岁 2岁 3岁 4岁 5岁 6岁 7岁 8岁 9岁 10岁 11岁 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 17岁 18岁 19岁 20岁 21岁 22岁 23岁 24岁 25岁 26岁 27岁 28岁 29岁 30岁 31岁 32岁 33岁 34岁 35岁 36岁 37岁 38岁

人数 2515836 2508000 2645166 2714463 2850870 2938305 2979795 3050907 3116660 3569418 4017867 4059990 4178252 4106980 3890081 4285506 5199997 6437404 6672117 5943907 5798238 5666590 5233156 5248953 5567113 5814061 6163863 6454567 6620472 6939916 6827725 6668983 5956089 5404265 5946837 6228685 7008220 6533229 4325351

死亡人数 24107 2390 1672 1443 1152 1048 972 903 1022 1030 1221 1056 1120 1148 1038 1092 1203 1581 2011 1960 2380 2425 2664 2746 3148 3359 3414 3859 4120 4542 5277 4943 4847 4318 5345 6149 7130 7468 5210

死亡率 0.0096 0.001 0.0006 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0007 0.0008 0.0007 0.0008 0.0008 0.0009 0.001 0.001 0.0011 0.0012

年龄 50岁 51岁 52岁 53岁 54岁 55岁 56岁 57岁 58岁 59岁 60岁 61岁 62岁 63岁 64岁 65岁 66岁 67岁 68岁 69岁 70岁 71岁 72岁 73岁 74岁 75岁 76岁 77岁 78岁 79岁 80岁 81岁 82岁 83岁 84岁 85岁 86岁 87岁 88岁

人数 3325733 2964959 2692067 2554096 2323618 2156973 2030071 1988607 2040559 2079238 1974220 1946009 1994079 1956049 1915042 1790567 1744384 1627869 1414443 1387914 1293094 1154908 1079537 932555 850857 783224 674871 597695 541399 474663 398708 330127 287299 242482 200663 171999 143565 110398 86128

死亡人数 11953 10855 10993 11232 11489 11607 11440 12779 14159 16562 17982 18766 22012 23620 26055 27908 29341 31247 31031 34929 37127 34942 38421 36058 35305 35424 33886 32361 33881 33411 32191 28439 27320 25249 22745 20567 18717 15783 13525

死亡率 0.0036 0.0037 0.0041 0.0044 0.0049 0.0054 0.0056 0.0064 0.0069 0.008 0.0091 0.0096 0.011 0.0121 0.0136 0.0156 0.0168 0.0192 0.0219 0.0252 0.0287 0.0303 0.0356 0.0387 0.0415 0.0452 0.0502 0.0541 0.0626 0.0704 0.0807 0.0861 0.0951 0.1041 0.1133 0.1196 0.1304 0.143 0.157

39岁 40岁 41岁 42岁 43岁 44岁 45岁 46岁 47岁 48岁 49岁

3776944 4059633 4306377 4932751 4790229 4601694 4680541 4356886 4030863 3729600 3440679

5227 6458 6491 8675 8683 8898 10131 10032 10311 10537 10625

0.0014 0.0016 0.0015 0.0018 0.0018 0.0019 0.0022 0.0023 0.0026 0.0028 0.0031

89岁 90岁 91岁 92岁 93岁 94岁 95岁 96岁 97岁 98岁 99岁

69601 52611 37592 28120 20857 15919 11793 8743 6357 4434 2783

12074 10137 7793 6282 5099 4035 3003 2195 1650 1253 787

0.1735 0.1927 0.2073 0.2234 0.2445 0.2535 0.2546 0.2511 0.2596 0.2826 0.2828