与四边形有关的证明
与四边形有关的证明
([***********]9)第41题. (2006 泉州课改)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD上的点,且BEDF. 求证:△ABE≌△CDF.
答案:证明:∵四边形ABCD是矩形
∴ABC,DBD90
ABCD
在△ABE和△CDF中BD
BEDFE ∴△AB≌△
C D
知识点:与四边形有关的证明 试题类型:证明题 试题难度:0.0 考查目标:基础知识 录入时间:2006-8-11
([***********]22)第42题. (2006 山西非课改)如图1,2所示,将一张长方形的纸片对折两次后,沿图3中的虚线AB剪下,将△AOB完全展开. (1)画出展开图形,判断其形状,并证明你的结论;
(2)若按上述步骤操作,展开图形是正方形时,请写出△AOB应满足的条件.
图1
图2
A
O
B
图3
答案:(1)展开图如图所示,它是菱形.(展开图只要求画出示意图即可.) 证明:由操作过程可知OAOC,OBOD, 四边形ABCD是平行四边形.又OA⊥OB, 即AC⊥BD,四边形ABCD是菱形.
(2)△AOB中,∠ABO45(或∠BAO45或OAOB).
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([***********]86)第44题. (2006 安徽非课改)如图,已知长方形ABCD,过点C引A的平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连结MB,MD. (1)求证:BEDC;
(2)求证:MBEMDC. 解:
B
C
O A
D
,∠BAD90, 答案:证明:(1)AM平分∠BAD
∠BAE45.
△BAE为等腰直角三角形,
又ABDC, BEDC.
(2)由CMAM易得,△MEC为等腰直角三角形,
MECM且∠MEC∠MCE45. ∠BEM∠DCM135.
又BEDC,
△BEM≌△DCM. ∠MBE∠MDC.
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([***********]04)第45题. (2006 贵港非课改)如图,AB∥CD,ABCD,
点B,E,F,D在同一直线上,∠BAE∠DCF.
(1)求证:AECF;
(2)连结AF,EC,试猜想四边形AECF是什么四边形,并证明你的结论.
答案:证明:(1)AB∥CD ∠B∠D
又ABCD,∠BAE∠DCF
D
AEC D △AB≌△
AEC F
(2)四边形AECF是平行四边形
证明:由(1)△ABE≌△CDF得AECF,∠AEB∠CFD 180∠AEB18∠0
即∠AEF∠CFE
C FD
AE∥CF
AECF
四边形AECF是平行四边形
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([***********]61)第46题. (2006 南宁课改)如图,在上的一点,AP与BP分别平分DAB和CBA. (1)判断△APB是什么三角形,证明你的结论;
(2)比较DP与PC的大小;
m,(3)画出以AB为直径的O,交AD于点E,连结BE与AP交于点F,若AD5c
ABCD中,P是CD边
AP8cm,求证△AEF∽△APB,并求tanAFE的值.
答案:解:(1)∵AD∥BC ∴DABCBA180
又∵AP,BP分别平分DAB,CBA ∴PABPBA90 ∴APB90. ∴△APB为直角三角形
(只判断△APB为直角三角形给1分)
(2)∵DC∥AB ∴BAPDPA
∵DAPP A∴DAPDPA ∴DAD P 同理证得CPCB
O
P C ∴DP
(3)解法一:∵AD5cm,AP8cm ∴ABDCDPPC2AD10
∵AB是O直径,APB90
∴PB
2
6
∴AEBAPB90
∵EAFP A∴△AEF∽△APB
∴AFEA B
nAFEtanA BP ∴ta
AP84
PB63
解法二:∵AD5cm,AP8cm ∴ABDCDPPC2AD10
∵AB是O直径,APB90
∴PB
2
6
∴AEBAPB90
∵EAFP A△AEF∽△APB
过点D作DG⊥AP于G
∵DA
∴AGDP5cm,AP8cm
GP4
∴DG
2
3
∵AB为O直径 ∴AEBAGD90 ∵
EAFG A
A G
∴AFEA D
AG4
∴tanAFEtaADGn
DG3
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([***********]37)第47题. (2006 钦州非课改)已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD中,点E,F分别在AD,BC上,且DECF.求证:AFBE.
答案:证明:四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD, ADBC,∠DAB∠CBA.
C F B
F ∴△AE∽△
DECF,AEBF.
又ABBA,
△ABE≌△BAF. AFBE.
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([***********]90)第48题. (2006 深圳课改)如图,在梯形ABCD中,AD∥B,CAB
DC
AADC120. ,
(1)求证:BDDC
(2)若AB4,求梯形ABCD的面积.
答案:(1)证明:AD∥BC,ADC120, C60
又ABDCAD
D
B
C
ABCC60, ABDADBDBC30 BDC90,BDDC
D
(2)解:过D作DEBC于E,在Rt△DEC中, C60,
ABDC4
DE
sin60,DEDC
DC
sin30 BC
B
E
C
在Rt△BDC中,
BC2DC
8
1
S梯形(ADBC·)DE2
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([***********]65)第49题. (2006 郴州课改)如图,菱形ABCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且CECF.求证:AEAF.
A
F D
答案:因为四边形ABCD是菱形,所以ABBCCDB C E 因为CECF,所以BEDF
在△ABE与△ADF中,
ABAD
因为BD,所以△ABE≌△ADF所以AEAF.
BEDF
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([***********]08)第50题. (2006 龙岩三县非课改)如图,在
ABCD中,点E,F
分别在BC,AD上,在不添加辅助线的情况下,请你添加一个适当的条件,使△ABE和..
△CDF全等,你添加的条件是 ,并给出你的证明.
证明:
B
答案:解:(1)DEDFCG
证明:连结AD,则S△ABCS△ABDS△ACD,即因为ABAC,所以CGDEDF
(2)当点D在BC延长线上时,
(1)中的结论不成立,有DEDFCG.
G B
D
111ABCGABDEACDF 222
F
C
C F
D
111
ABDEABCGACDF 222
因为ABAC,所以DECGDF,即DEDFCG.
当D点在CB的延长线上时,则有DFDECG,说明方法同上.
理由:连结AD,则S△ABDS△ABCS△ACD,即有,
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([***********]36)第51题. (2006 娄底)如图,在平行四边形中,点E,F是对角线BD上两点,且BFDE.
(1)写出图中每一对你认为全等的三角形;
(2)选择(1)中的任意一对全等三角形进行证明.
答案:解:(1)△ABD≌△CDB;△ABF≌△CDE;△ADF≌△CBE
(2)略.
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([***********]28)第52题. (2006 湘西自治区)如图:在梯形ABCD中,AD∥BC,ABCD,E,F,G,H分别为
A,B,B,C的中点.小王根据以上条件猜测出四边形EFGH是菱形,你同意他的意见吗?
请回答并说明理由.
答案:答:同意.
理由如下:连结AC,BD
因为在梯形ABCD中,AD∥BC,ABCD
所以ACBD
,G,H分别为AB,BC,CD,DA又因为E,F的中点,
所以在△ABC,△ACD,△DAB,△BCD中分别有:
11
AC,EHFGBD 22
所以EFGHEHFG 所以四边形EFGH是菱形. EFGH
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([***********]81)第53题. (2006 益阳课改)如图,平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架,其中ABAD,CBCD.
(1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后,他认为四边形ABCD的两条对角线ACBD,垂足为E,并且BEED,你同意王云同学的判断吗?请充分说明理由; (2)设对角线ACa,BDb,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.
答案:解:(1)王云同学的判断是正确的.理由是,根据题设,
C
ABAD,点A在BD的垂直平分线上. CBCD,点C在BD的垂直平分线上.
AC为BD的垂直平分线,BEDE,ACBD. 理由也可以这样说明: 在△ABC和△ADC中,
ABAD,BCDC,ACAC, △ABC≌△ADC. BAEDAE.
AE是等腰三角形ABD底边上的高和中线,即BEED,ACBD. (2)由(1)得,ACBD. SABCDS△CBDS△ABD
11BD·CEBD·AE 2211BD·ACab. 22
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