初二平行四边形教案

19.2.1 矩形(一)

一、教学目标：

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．

二、重点、难点

1．重点：矩形的性质．

2．难点：矩形的性质的灵活应用．

三、例题的意图分析

例1是教材P104的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．

四、课堂引入

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课

题及矩形定义．

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．

【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．

矩形性质1 矩形的四个角都是直角．

矩形性质2 矩形的对角线相等．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点

O，由性质2有AO=BO=CO=DO=1AC=1BD．因

此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半．

五、例习题分析

例1 （教材P104例1）已知：如图，矩形

ABCD的两条对角线相交于点O，∠

AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．

解：∵ 四边形ABCD是矩形，

22

∴ AC与BD相等且互相平分．

∴ OA=OB．

又 ∠AOB=60°，

∴ △OAB是等边三角形．

∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．

例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，

AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD

的长及点A到BD的距离AE的长．

分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因

此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x282(x4)2，解得x=6． 则 AD=6cm．

（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．

例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．

证明：∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=

∠2．

∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．

∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，

∴ △ABE≌△DFA（AAS）．

∴ AF=BE．

∴ EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

六、随堂练习

1．（填空）

（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．

（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为，，，．

2．（选择）

（1）下列说法错误的是（ ）．

（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等

（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．

（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8

对

3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交

点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠

AEO的度数．

七、课后练习

1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（ ）．

(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm

2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，

AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC

的中点，求证：EA⊥ED．

4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．

19.2.1 矩形(二)

一、教学目标：

1．理解并掌握矩形的判定方法．

2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力

二、重点、难点

1．重点：矩形的判定．

2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．

三、例题的意图分析

本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．

四、课堂引入

1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？

2．矩形有哪些性质？

3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？

4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？

通过讨论得到矩形的判定方法．

矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．

矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．

（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）

五、例习题分析

例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）

（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）

（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）

（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）

（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）

（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）

（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√) 指出：

（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；

（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．

例2 （补充）已知

ABCD的对角线AC、

BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4

cm，求这个平行四边形的面积．

分析：首先根据△AOB是等边三角形及平

行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．

解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AO=1AC，BO=1BD．

∵ AO=BO，

∴ AC=BD．

∴

ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC中，

∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，

∴ BC=24243（cm）． 22

例3 （补充） 已知：如图（1）

，

ABCD

的四个内角的平分线分别相交于

点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．

分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥BC．

∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．

又 AE平分∠DAB，BG平分∠

∴ ∠EAB＋∠ABG=1×2ABC ， 180°=90°．

∴ ∠AFB=90°．

同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．

∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．

六、随堂练习

1．（选择）下列说法正确的是（ ）．

（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

（C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形

2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中

线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，

BE，则四边形ACBE为矩形．

七、课后练习

1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF

＝GH；

⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学

道理是： ；

⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直

角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合

格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

19.2.2 菱形（一）

一、教学目的：

1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．

3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

二、重点、难点

1．教学重点：菱形的性质1、2．

2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．

三、例题的意图分析

本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P108中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识．

四、课堂引入

1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和

矩形之间的关系是什么？

2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．

五、例习题分析

例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．

求证：∠AFD=∠CBE．

证明：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ CB=CD， CA平分∠BCD．

∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，

∴ △BCE≌△COB（SAS）．

∴ ∠CBE=∠CDE．

∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC

∴ ∠AFD=∠CBE．

例2 （教材P108例2）略

六、随堂练习

1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．

2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．

3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角

之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．

4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F

分别是

CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．

七、课后练习

1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．

2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．

19.2.2 菱形（二）

一、教学目的：

1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；

2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

二、重点、难点

1．教学重点：菱形的两个判定方法．

2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．

三、例题的意图分析

本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不

会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3．

四、课堂引入

1．复习

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；

（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）

2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？

3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

通过演示，容易得到：

菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：

菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．

五、例习题分析

例1 （教材P109的例3）略

例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边

形，

∴ AE∥FC．

∴ ∠1=∠2．

又 ∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴ △AOE≌△COF．

∴ EO=FO．

∴ 四边形AFCE是平行四边形．

又 EF⊥AC，

∴

AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四

边形是菱形)．

※例3（选讲） 已知：如图，△ABC中， ∠

ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．

求证：四边形CEHF为菱形．

略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．

所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．

六、随堂练习

1．填空：

（1）对角线互相平分的四边形是 ；

（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；

（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；

（4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形．

2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为

6cm、8cm．

3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，

DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求

证：四边形OCED是菱形。

七、课后练习

1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是

（ ）．

（A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直

（C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分

2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．

3．做一做：

设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．

19.2.3 正方形

一、教学目的

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论

证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

二、重点、难点

1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：

①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？

④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

四、课堂引入

1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折

出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感

知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边．．．．．．．．．．．．．．．．．形叫做正方形．

．

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包

括了两层意：

（1

（2

2．【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

五、例习题分析

例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD

相交于点O（如图）．

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等

的等腰直角三角形．

证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ AC=BD， AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相

垂直平分）．

∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，

对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥

AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△

DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可

以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，

故结论可得．

证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴ ∠EAO=∠FDO．

∴ △AEO ≌△DFO．

∴ OE=OF．

例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点

A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于

N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩

形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同

样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得

出结论．

证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，

∴ PN∥QM，∠PNM=90°．

∵ PQ∥NM，

∴ 四边形PQMN是矩形．

∵ 四边形ABCD是正方形

∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

∴ ∠1+∠2=90°．

又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．

∴ △ABM≌△DAN．

∴ AM=DN． 同理 AN=DP．

∴ AM+AN=DN+DP

即 MN=PN．

∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

六、随堂练习

1．正方形的四条边__，四个角，两条对角线____ ____．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（ ）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）

④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）

⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）

为CD、CB

延长线上的点，且

DE

＝

BF．

求证：∠AFE＝∠AEF．

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是

等边三角形，

求∠EAD与∠ECD的度数．

七、课后练习x kb1.com新 课 标 第一 网

1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一

点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：EA⊥AF．

2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分

∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：

四边形CFDE是正方形．

3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一

点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：F 1． 已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、FC B

AE=BE+DF．

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19．3 梯形（一）

一、教学目标：

1.探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质．

2.能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算能力．

3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．

二、重点、难点

1．重点：等腰梯形的性质及其应用．

2．难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．

三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题，例1是教材P118中的例1．它是等腰梯形性质的直接运用．题目比较简单，在教学中，最好让学生分析、讲解、解答．同时也要注意引导学生，在证明△EAD是等腰三角形时，要用到梯形的定义“上下底互相平行（AD∥BC）”这一点． 例2与例3都是补充的题目，例2是一道计算题，例3是一道证明题，其用意一是为了巩固其概念，二是辅助线添加方法的练习，这两个题目的辅助线均是“平移一腰”，老师们在教学或练习中也可以再补充一些其它辅助线添加方法的题目，让学生多了解多见识．（但由于本教材在梯形这一部分知识中，并没有添加辅助线的要求，因此所选的题目不要太难．）通过题目的练习与讲解应让学生知道：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在教学时应让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．

四、课堂引入

1．创设问题情境——引出梯形概念．

【观察】（教材P117中的观察）右图中，有

你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？

2．画一画：在下列所给图中的每个三角形中

画一条线段，

【思考】（1）怎样画才能得到一个梯形？

（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？

梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫

做梯形．

（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②

上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．）

（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．

（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

3．做—做——探索等腰梯形的性质（引入用轴对称

解决问题的思想）．

在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角

线．

【问题一】 图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通过观察猜想；

【问题二】 这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？ 结论： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴． ②等腰梯形同一底上的两个角相等．

③等腰梯形的两条对角线相等．

五、例习题分析

例1（教材P118的例1）略．

梯形辅助线添加方法

例2（补充）如图，梯形ABCD中，

∥BC，

∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．

求CD的长．

分析：设法把已知中所给的条件都移到一

个三角形中，便可以解决问题．其方法是：

平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，

因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm． 解（略）．

AD三）

例3 （补充） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．

分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．

证明（略）

另证：如图，根据题意可构造等腰梯形

ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．

六、随堂练习

1．填空

（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则

（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 ．

（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则

2．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥

CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，

∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长． （AD=DC=BC=4，AB=8）

3．求证：等腰梯形两腰上的高相等．

七、课后练习 xkb1.com新课标第一网

1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为 ，最小角为 ．

2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积．

3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，

A40，B70．

求证：AD=AB—DC．

4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB

的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE

交CB延长线于点F，由全等可得结论）

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19．3

一、教学目标：

梯形（二）

1．通过探究教学，使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法的证明．

2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力．

3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．

二、重点、难点

1．重点：掌握等腰梯形的判定方法并能运用．

2．难点：等腰梯形判定方法的运用．

三、例题的意图分析

本节课安排的例题与练习较多，可供老师们选用． ．．

例1是教材P119的例2，这是一道计算题，讲解时要让学生注意，已知中并没有给出等腰梯形的条件，它需要先判定梯形ABCD为等腰梯形，然后再用其性质得出结论．

例2、例3、例4都是补充的题目．其中例2是一道文字题，这道题在进行证明时，可采用“平移对角线”或“作高”两种不同的方法，通过讲解例2，可以再次给学生介绍解决梯形问题时辅助线的添加方法．

例3是一道证明等腰梯形的题，它需要先证明其四边形是梯形，即先证出EG∥AB，此时还要由AE，BG延长交于O，说明EG≠AB，才能得出四边形ABGE是梯形．然后再利用同底上的两角相等得出这个梯形是等腰梯形．选讲此题的目的是为了让学生了解和掌握证明一个四边形是等腰梯形的步骤与方法．

例4是一道作图题，新教材P119的练习4就是一道画梯形图的题，此例4与练习4相同．通过此题的讲解与练习，就是要加强学生对梯形概念的理解，并了解梯形作图的一般方法．让学生知道梯形的画图题，也常常是通过分析，找出需要添加的辅助线，先画出三角形或四边形，再根据它们之间的联系画出所要求的梯形．

四、课堂引入

1．复习提问：（1）什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直

角梯形、等腰梯形？

（2）等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？

（3）在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？

我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题．

2．【提出问题】：前面所学的特殊四边形的判定

基本上是性质的逆命题．等腰梯形同一底上两个

角相等的逆命题是什么？

命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

问：这个命题是否成立？能否加以证明，引导学生写出已知、求证．

启发：能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证．

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，

∠B=∠C．

求证：AB=CD．

分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证明了．

证明方法1：过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC． ∵AB∥DE， ∴∠B=∠1，

∵∠B=∠C， ∴∠1=∠C． ∴DE＝DC．

又∵AD∥BC， ∴DE＝AB=DC．

证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE．

证明方法二：用常见的梯

形辅助线方法：过点A作AE

⊥BC， 过D作DF⊥BC，垂

足分别为E、F（见图一）．

证明方法三： 延长BA、CD相交于点E（见图

二）． 图一 图二

通过证明：验证了命题的正确性，从而得到：等腰梯形判定方法

等腰梯形判定方法 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

几何表达式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．

【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．

五、例、习题分析

例1（教材P119的例2）

例2（补充） 证明：对角线相等的梯形是

等腰梯形．

已知：如图，梯形ABCD中，对角线

AC=BD．

求证：梯形ABCD是等腰梯形．

分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．

证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，

又 AD∥BC，∴ 四边形ACED为平行四边形， ∴ DE=AC ． ∵ AC=BD ， ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E

∵ ∠2=∠E ， ∴ ∠1=∠2

又 AC=DB，BC=CE， ∴ ΔABC≌ΔDCB． ∴ AB=CD． ∴ 梯形ABCD是等腰梯形．

说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交

点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接

引用，但可以为以后解题提供思路．

问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助

线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证

RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．

例3（补充） 已知：如图，点E在正方形ABCD的

对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足．求

证：四边形ABGE是等腰梯形．

分析：先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝

45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然

EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．

例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．

分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．

如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成

AECD的画图．

画法：①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．

.

②延长BE到C使EC=4cm.

③分别过A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于点D．

四边形ABCD就是所求的等腰梯形．

解：梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．

S梯形ABCD1 （412）324cm2．2 答：梯形周长为26cm，面积为24cm2．

六、随堂练习

1．下列说法中正确的是（ ）．

（A）等腰梯形两底角相等

（B）等腰梯形的一组对边相等且平行

（C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度

（D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角

2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm．

3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．

4．已知，如图，在四边形ABCD中，AB＞

DC，∠1=∠2，AC=BD，求证：四边形ABCD

是等腰梯形．

（略证 ADCBDCADCBCD，AD=BC，

ADBACBDABCBA，∴ AB∥DC）

5．已知，如图，E、F分别是梯形ABCD的两底

AD、BC的中点，且EF⊥BC，求证：梯形

ABCD是等腰梯形．

七、课后练习

1．等腰梯形一底角60，上、下底分别为8，18，则它的腰长为______，高为______，面积是_________．

2．梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯

形面积为_________．

3．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，AB与CD不平行，且AB=CD．求证：四边形ABCD是等腰梯形．

4．如图4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，

AD=BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G．求

证：CE=1（AB+CD）．

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