立体几何中的外接内切球(沟通)

立体几何中的外接内切球

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。考查学生的空间想象能力及归纳能力。研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识。并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作业。本专题主要讨论补形法和轴截面法。

补形法：情况一：若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，

则有2R

情况二：若出现对边相等，一般也是构造长方体，再利用2R类题重点要找出a,b,c三边。

例1：已知点A、B、C、D在同一个球面上，

AB平面BCD,BCDC,若AB6,AC2,AD8,则外接球的体积是______ 。

例2.如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于___________。 D

解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出球心，从而

确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。

例3.在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，若侧棱SA2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是（ ）

A．12 B．32 C．36 D．48

解析：正三棱锥对棱互相垂直，即ACSB，又SB∥MN，且MNAM， ∴

SBAM，从而SB面SAC. ∴BSA90，以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，故球的直径2R3SA，即R3，∴S4R236。 例4.在四面体ABCD中,ABCD6,ACBD4,ADBC5,则四面体

ABCD的外接球的表面积为________________.

【答案】解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为4、5、6,设长

77方体的三条边分别为x,y,z,则x2y2z2,而长方体的外接球就是四面2

77体的外接球,所以S4R2. 2

练习题：

1.一个三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为16、

3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A、16π B、32π C、36π D、64π

答案：A

2.在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面23积分别为222，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为（ ）

3.三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，如果此三棱锥外接球的表面积为9

π，那么PA•PB+PA•PC+PB•PC的最大值为（ ）

99

A.4 B.2 C.9 D.18

轴截面法：

C、D都在同一个球面上，则该球的体积为_．

[审题导引] 如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OA＝OS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上．

[规范解答] 如图所示，在

Rt△SEA中，SA2，AE＝1，故SE＝1.设球的半径为r，则OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt

△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即点O即为球心，故这个球的体积是4π. 3

例2.已知四面体ABCD在同一球面上，且ABBC2,AC2,当四面体

2ABCD的体积最大时且为，求球的表面积（ ） 3

解析：∵ABBCAC2,∴ABC是直角三角形, ∴ ABC的外接圆的圆心是边AC的中点O1,如图所示,若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平

面ABC的距离最大,又OO1平面ABC,所以点D是直线OO1与球的交点 ，设球的

22半径为R,则由体积公式有:O1D2 ，在RtAOO1中,R1(2R),解

得:R525 S球O的表面积,故选C 44

1.已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于___________

等体积法

例1．设棱锥MABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解： ABAD,ABMA,AB平面MAD，

由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，

从而MEAD.ME平面AC，MEEF

设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图

2，得截面图MEF及内切圆O

不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.

设球O的半径为r，则r

ADEFa,SAMD1. 图2 2SMEF，设EFEMMF

22EM,MFa2,raa2222aa2aa2222221 当且仅当a2，即a2时，等号成立. a

∴当ADME2时，满足条件的球最大半径为21.

练习：1.一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面体的棱长。2）

作业：

1

．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3

，AC=4，AB

⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）

A B．C．13 2D．

2．将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的（ ）

A． 2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍

3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）

A．

B． C． D．

4．球的表面积与它的内接正方体的全面积之比为（ ）

A．

B．

C．

D．1

5．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）

A． 2π B． 4π C． 8π D．16π

6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB

⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）

A． B． C． D．

7．已知三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝2PC＝2a，且三棱锥外接球的表面积为S＝9π，则实数a的值为( )

A．1 B．2 2 1D.2

8．半径为2的球面上有三个点A，B，C，若AB＝6，BC＝8，AC＝10，经过这3个点作截面，那么球心到截面的距离为( )

A．4 B．42 C．5 D．9

9．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为(

)

A．16π B．8π C．4π D．2π

10．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）

A

B

C

D

二、填空题 ：

1．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=则球O的体积等于 ． ，

2．已知点A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc，a3，球心O到截面ABC的距离为2，则该球的表面积为________．

3．过正四面体外接球球心的平面截正四面体所得截面如图所示，图中三角形面积为22，则正四面体棱长为____________．

4．给出下列命题： 2的正方体的所有棱都相切，则此球的体积为

1＋a＋…＋a②若 (1－an－14π； 3)＝2，则实数a＝1＋2 2

③已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，则方程f(x)＝0在(1，2)内必有实根；

④圆(x－2)2＋y2＝2外的点M对该圆的视角为90°时，则点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4.

其中正确的命题序号是______．

5．过半径为2的球O表面上一点A，作球O的截面，若OA与该截面所成的角为30°，则该截面的面积为________．

6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长AB＝6，侧棱长AA1＝27，它的外接

球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O的球面上任意一点，有以下判断：

(1)PE长的最大值是9；

(2)三棱锥P－EBC体积的最大值是32； 3

(3)存在过点E的平面，截球O的截面面积是8π；

(4)三棱锥P－AEC1体积的最大值是20.

正确的是________．

7．已知球面上有S，A，B，C四点，且SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，SC＝2.则该球的表面积为________．

8．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC＋S△ABD＋S△ACD的最大值是________．