对课程标准的认识

对课程标准的认识

一、数学学习内容六个核心概念 《课程标准》安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。

新课程实施已经10年了，我们在座的教师在数学教学中，对加强学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力方面积累了丰富的经验，取得了较为显著的成效。但是也有一些教师对上述内容理解不深，在教学中重视不够，数学课堂教学在上述内容的效益上有所缺失，因此有必要对六个核心概念进行温故知新，以便在教学中很好地落实《课程标准》的要求，提高学生的数学素养。

数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能再具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。

符号感主要表现在：能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。

空间观念、统计观念、应用意识、推理能力

二、对符号感的理解

符号是数学的语言，是人们进行表达、计算、推理、交流、解决问题的工具。学习数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义，会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。随着学生的不断学习，数学符号（如运算符号、表示关系的符号等等）在学生的知识体系中不断的扩充、发展。

1．无论在那个学段，那个年级，都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生符号感的决定性因素。

2．引进字母表示，是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步。

引进字母表示，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。学生在第二学段开始学习用字母表示数，从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃。因而要尽可能从实际问题中引入，使学生感受到字母表示数的意义。

第一，用字母表示运算法则、运算律以及计算公式。这种一般化是基于算法的，常常开始于算数中关于数的运算，算法一般化，深化和发展了数的知识。

如加法交换律a+b=b+a，乘法分配律（ab+c）=ab+ac,二次根式乘除法法则ab平方差和完全平方公式a2abb(ab)等等。

第二，用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系

如匀速运动中的速度v、时间t、路程s的关系是s=vt,各种图形的面积公式等等。

第三，用字母表示数，便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切表示出来，从而有利于进一步用数学知识去解决问题。

如用字母表示实际问题中的未知量，利用相等关系和关联关系列出方程、函数表达式（也是方程）不等式等等。

对于《课程标准》所说的“能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”应从以下几方面去理解：

2

2

2

ab，

A.

表示出来。

例如，搭1个正方形需要4跟火柴棒。

⑴按照图中的方式，搭2个正方形、3个正方形个需要几根火材棒？ ⑵搭10个这样的正方形需要多少根火材棒？

⑶搭100个这样的正方形需要多少根火材棒？你是怎样得到的？

⑷如果用X表示所搭正方形的个数，那么搭X个这样的正方形需要多少根火材棒？与同伴交流你的想法。

在搭2个、3个、10个正方形时，学生可能会具体数一数火材棒的根数，但搭100个时，还是动手操作是不现实的，学生们就需要探索正方形的个数与火材棒的根数之间的关系，发现火材棒根数的变化规律。规律是一般性的，需要用字母表示。根据不同的算法，学生可能得到下列四种不同形式的表达式：

43(x1), xx(x1), 1+3x., 4x(x1).

B．用字母表示的关系或规律通常被用于计算（或预测）某个未给出的或不易直观得到的值。 如上面问题中，当x100时，13x301

C．用字母表示的关系或规律通常也可用于判断或证明某一个结论。 例如，对于下面的月历，你知道阴影方框中9个数的和与方框中间的数有什么关系吗？这个关系对任意一个这样的方框都成立吗？

阴影方框中9个数的和是135，如果我们用a表示方框中间的数，那么方框中的数可以表示为：

容易计算出这9个数的和等于，因此可以判定任意一个这样方框中的9个数的和都是中间数的9倍。

用代数式表示是有特殊到一般的过程，而由代数式求值和利用数学公式求值是从一般到特殊的过程，可以进一步帮助学生体会字母表示数的意义。 为使学生理解用字母表示，重要的是使学生知道字母可以表示某些东西，不同的字母或表达式可以表示相同的东西。对字母可以直接赋值，可以把字母看成具体事物，也可以把字母看成未知数，把字母看成看成可以取不同值的广义数，这些都体现了字母表示的意义。 另外，字母和表达式在不同的场合有不同的意义

如：5=2x+l表示x所满足的一个条件，事实上，x在这里只是占据一个特殊数的位置，可以利用解方程找到它的值；

y=2x表示变量之间的关系，x是自变量，可以取定义域内的任何数，y是因变量，y随x的变化而变化；

(ab)(ab)a2b2表示一个一般化的算法，表示一个恒等式；

如果a和b分别表示矩形的长和宽，s表示矩形的面积，那么s=ab表示计算矩形面积的公式，同时也表示矩形面积随长和宽的变化而变化的关系。

从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，是将问题进行一般化的过程。一般化超越了具体实际问题的情景，深刻地揭示和指明存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。一般化和符号化对数学活动和数学思考是本质的，一般化是每一个人都要经历的过程。

3．理解符号所代表的数量关系和变化规律

第一，使学生在现实情境中理解符号表示的意义和能解释代数式的意义。

如代数式5b可以表示什么？学生可以解释为：当b表示正五边形的边长时，5b可以表示正五边形的周长；当b表示一支笔的价格时，5b可以表示5支笔的价格；5b也可以表示一本书的价格是一支笔的价格的5倍；如果一个长凳可以做5个小朋友，那么5b表示b个长凳可以坐5b个小朋友等。

第二，用关系式、表格、图像表示变量之间的关系

如，有一张正方形的纸，在它的四个角分别剪去一个相同的小正方形，制成一个无盖的长方体，怎样才能使制成的无盖长方体的体积尽可能大？

假设正方形纸的边长是20cm，剪去的小正方形边长依次为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm，折成的无盖长方体的体积将如何变化？ ⑴用表格表示

由此发现，小长方形边长在3cm到4cm之间，无盖长方体的体积最大。因而可以把小长方形边长在3cm到4cm之间再进行细化。根据所要求的精确度继续上述过程，直到得出满足要求的结果为止。

⑵用图像表示：根据表格中的数据画图，把用表格表示的关系用图像进行表示（略） ⑶用关系式表示：设剪去的小正方形边长为x，无盖长方体的体积为y， 则y与x的关系为yx(202x)。

会用符号进行表示，也就是会把实际问题中的数量关系用符号表示出来，这个过程叫符号

2

化。符号化的问题已经转化为数学问题，随后就是进行符号运算和推理，最后得到结果，这就是数学建模思想。事实上，我们所熟悉的方程和函数都是某种问题的数学模型。 第三，能从关系式、表格、图像所表示的变量之间的关系中获取所需信息。 如下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到0.01亿）：

⑴表格中的数据表示哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ ⑵根据统计表的数据，预测一下我国2009年人口总数，并说明为什么。 学生不仅从表格中能获取1949年到999年的人口统计数据，而且要能分析出每隔10年人口变化的趋势，从而初步地做出一些预测。 又如教材很多根据函数图象给出的关系，解答问题。学生能够用语言描述图像所表示的关系，从图像中获取所需信息，解决问题。

4．会进行符号间的转换

这里所说的符号间的转换，主要指表示变量之间关系的表格法、关系式法、图像法和语言表示之间的转换。（在函数的学习中显得尤为重要）

用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效地获得对概念本身或问题背景深入理解的方法，因此多种表示方法不仅可以加强对概念的理解，也是解决问题的重要策略。不同的思维形式，他们之间的转换及其表达方式是数学学习的核心。能把变量之间关系的一种形式转换为另一种表示形式，构成数学学习过程中的重要方面。

质量）的鸡，那么就需要把表格表示的关系转化为关系式表示。 关系式表示：设烤制时间为t分，鸡的质量为w千克

从表中可以看出质量每增加0.5千克，时间增加20分钟，由此可知t可能是w的一次函数，实际上，t与w的关系式为：t40w20

利用关系是可以方便求出表格中没有给出的数值。如当w=3.2时，t=148 不论是从表格表示还是关系式表示，都很容易转化为图像表示。图像对于理解两个变量之间的关系具有十分重要的意义，图像表示以其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用，图像将关系式和数据转化为几何图形，因此，图像是“看见”相应的关系和变化情况的途径之一。

这几种表示是相互联系的，一种表示的改变会影响到另一种表示的改变。

5．能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题

解决问题的第一步时将问题用符号进行表示，也就是进行符号化。第二部是选择算法，进行符号运算。第一步是把实际问题转化数学问题，即数学化。第二步是在数学内部的推理、运算等。如将一个实际问题表示为一元二次方程，然后根据方程选择因式分解法去求解。会进行符号运算也是很重要的。 从以上分析可以看出，数学教学的一个重要任务就是使学生感受和拥有使用符号的能力，在解决问题的过程中发展“符号感”是非常重要的数学学习内容。 在“数与代数”领域中，尤其是整式（分式）、方程、不等式、函数的教学中，应该采取“问题情境（实际问题）—建立模型（符号化）—解释（估计、求解、验证等）、应用与拓展”的模式展开，在让学生经历知识的形成与应用过程中，帮组学生理解符号以及表达式、

关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号感。对符号演算的处理应尽量避免让学生机械的联系和记忆，而应增加实际背景、探索过程、几何解释等，以帮组学生理解。

如果说代数是一种语言的话，那么数学符号就是这种语言的“字母”，表达式就是这种语言的“词”，关系式(如等式、不等式)就是这种语言的“句子”。既然是语言，就会有相应的语法，代数的语法就是各种符号演算的法则和规定等。只有学习、熟悉、掌握代数这种语言的语法，才能利用它进行推理、计算、交流和解决问题。