2017年江苏省无锡市中考数学试卷及解析

2017年江苏省无锡市中考数学试卷及解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2017•无锡）﹣5的倒数是（ ）

A ． B ．±5 C ．5 D ．﹣

【分析】根据倒数的定义，即可求出﹣5的倒数．

【解答】解：∵﹣5×（﹣）=1，

∴﹣5的倒数是﹣．

故选D ．

【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．

2．（3分）（2017•无锡）函数

y=

A ．x ≠2 B ．x ≥2 C ．x ≤2 D ．x ＞2

【分析】根据分式的意义的条件，分母不等于0，可以求出x 的范围．

【解答】解：根据题意得：2﹣x ≠0，

解得：x ≠2．

故函数y=

故选A ．

【点评】本题考查了求函数自变量取值范围，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

3．（3分）（2017•无锡）下列运算正确的是（ ）

A ．（a 2）3=a5 B．（ab ）2=ab2 C ．a 6÷a 3=a2 D ．a 2•a3=a5 中自变量x 的取值范围是x ≠2． 中自变量x 的取值范围是（ ）

【分析】利用幂的运算性质直接计算后即可确定正确的选项．

【解答】解：A 、（a 2）3=a6，故错误，不符合题意；

B 、（ab ）2=a2b 2，故错误，不符合题意；

C 、a 6÷a 3=a3，故错误，不符合题意；

D 、a 2•a3=a5，正确，符合题意，

故选D ．

【点评】本题考查了幂的运算性质，解题的关键是了解这些性质并能正确的计算，难度不大．

4．（3分）（2017•无锡）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A ． B ． C ． D．

【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可．

【解答】解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C 、是中心对称图形，故本选项符合题意；

D 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选C ．

【点评】本题考查了对中心对称图形的定义，能熟知中心对称图形的定义是解此题的关键．

5．（3分）（2017•无锡）若a ﹣b=2，b ﹣c=﹣3，则a ﹣c 等于（ ）

A ．1 B ．﹣1 C ．5 D ．﹣5

【分析】根据题中等式确定出所求即可．

【解答】解：∵a ﹣b=2，b ﹣c=﹣3，

∴a ﹣c=（a ﹣b ）+（b ﹣c ）=2﹣3=﹣1，

故选B

【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．（3分）（2017•无锡）“表1”为初三（1）班全部43名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列说法正确的是（ ）

A ．男生的平均成绩大于女生的平均成绩

B ．男生的平均成绩小于女生的平均成绩

C ．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数

D ．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数

【分析】根据平均数的定义分别求出男生与女生的平均成绩，再根据中位数的定义分别求出男生与女生成绩的中位数即可求解．

【解答】解：∵男生的平均成绩是：（70×5+80×10+90×7）÷22=1780÷22=80

女生的平均成绩是：（70×4+80×13+90×4）÷21=1680÷21=80，

∴男生的平均成绩大于女生的平均成绩．

∵男生一共22人，位于中间的两个数都是80，所以中位数是（80+80）÷2=80，

女生一共21人，位于最中间的一个数是80，所以中位数是80，

∴男生成绩的中位数等于女生成绩的中位数．

故选A ．

【点评】本题为统计题，考查平均数与中位数的意义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．

7．（3分）（2017•无锡）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）

A ．20% B ．25% C ．50% D ．62.5%

【分析】设每月增长率为x ，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．

【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率为x ，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，

由题意可得：2（1+x）2=4.5，

解得：x 1=0.5=50%，x 2=﹣2.5（不合题意舍去），

答即该店销售额平均每月的增长率为50%；

故选：C ．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．本题需注意根据题意分别列出二、三月份销售额的代数式．

8．（3分）（2017•无锡）对于命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”，下面四组关于a ，b 的值中，能

，

说明这个命题是假命题的是（ ）

A ．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C ．a=3，b=﹣1 D ．a=﹣1，b=3

【分析】说明命题为假命题，即a 、b 的值满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立，把四个选项中的a 、b 的值分别难度验证即可．

【解答】解：

在A 中，a 2=9，b 2=4，且3＞2，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故A 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；

在B 中，a 2=9，b 2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立，故B 选项中a 、b 的值可以说明命题为假命题；

在C 中，a 2=9，b 2=1，且3＞﹣1，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故C 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；

在D 中，a 2=1，b 2=9，且﹣1＜3，此时满足a 2＜b 2，得出a ＜b ，即意味着命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”成立，故D 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；

故选B ．

【点评】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．

9．（3分）（2017•无锡）如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（ ）

A ．5 B ．6 C ．2 D ．3

【分析】如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得决问题．

【解答】解：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ． =，延长即可解

∵菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，

∴AB•DH=32O，

∴DH=16，

在Rt △ADH 中，AH=

∴HB=AB﹣AH=8，

在Rt △BDH 中，BD==8， =12，

设⊙O 与AB 相切于F ，连接AF ．

∵AD=AB，OA 平分∠DAB ，

∴AE ⊥BD ，

∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，

∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，

∴△AOF ∽△DBH ， ∴∴∴OF=2

故选C ．

【点评】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

10．（3分）（2017•无锡）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）

==， ， ．

A ．2 B ． C ． D ．

【分析】如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．首先证明AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，求出BC 、BE 在Rt △BCE 中，利用勾股定理即可解决问题．

【解答】解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．

在Rt △ABC 中，∵AC=4，AB=3，

∴BC=

∵CD=DB，

∴AD=DC=DB=， ∵•BC•AH=•AB•AC，

∴AH=， =5，

∵AE=AB，DE=DB=DC，

∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形， ∵•AD•BO=•BD•AH，

∴OB=，

，

==， ∴BE=2OB=在Rt △BCE 中，EC=故选D ．

【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

11．（2分）（2017•无锡）计算【分析】根据【解答】解：•×==×的值是． （a ≥0，b ≥0）进行计算即可得出答案． ==6；

故答案为：6．

【点评】此题考查了二次根式的乘除，掌握二次根式乘除的法则是解题的关键，是一道基础题．

12．（2分）（2017•无锡）分解因式：3a 2﹣6a+3= 3（a ﹣1）2 ．

【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．

【解答】解：原式=3（a 2﹣2a+1）=3（a ﹣1）2．

故答案为：3（a ﹣1）2．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．

13．（2分）（2017•无锡）贵州FAST 望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积约250000m 2，这个数据用科学记数法可表示为 2.5×105 ．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．

【解答】解：将250000用科学记数法表示为：2.5×105．

故答案为：2.5×105．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．

14．（2分）（2017•无锡）如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 11 ℃．

【分析】求出每天的最高气温与最低气温的差，再比较大小即可．

【解答】解：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃﹣5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣5℃=11℃，

∴这7天中最大的日温差是11℃．

故答案为：11．

【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的法则是解答此题的关键．

15．（2分）（2017•无锡）若反比例函数

y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k 的值为．

【分析】由一个已知点来求反比例函数解析式，只要把已知点的坐标代入解析式就可求出比例系数．

【解答】解：把点（﹣1，﹣2）代入解析式可得k=2．

【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．

16．（2分）（2017•无锡）若圆锥的底面半径为3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积为 15π cm 2．

【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．

【解答】解：底面半径为3cm ，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2．

【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．

17．（2分）（2017•无锡）如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，分别以边AD ，BC 为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O 1和半圆O 2，一平行于AB 的直线EF 与这两个半圆分别交于点E 、点F ，且EF=2（EF 与AB 在圆心O 1和O 2的同侧），则由

AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于

．

，EF ，，

【分析】连接O 1O 2，O 1E ，O 2F ，过E 作EG ⊥O 1O 2，过F ⊥O 1O 2，得到四边形EGHF 是矩形，根据矩形的性质得到GH=EF=2，求得O 1G=，得到∠O 1EG=30°，根据三角形、梯形、扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：连接O 1O 2，O 1E ，O 2F ，

则四边形O 1O 2FE 是等腰梯形，

过E 作EG ⊥O 1O 2，过F ⊥O 1O 2，

∴四边形EGHF 是矩形，

∴GH=EF=2，

∴O 1G=，

∵O 1E=1，

∴GE=， ∴=；

∴∠O 1EG=30°，

∴∠AO 1E=30°，

同理∠BO 2F=30°，

∴阴影部分的面积

=S

2×﹣（2+3）×

故答案为：3﹣﹣=3﹣．

﹣﹣

2S ． ﹣

S =3×1﹣

【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

18．（2分）（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于 3 ．

【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan ∠BOD 的值．，本题得以解决

【解答】解：平移CD 到C′D′交AB 于O′，如右图所示，

则∠BO′D′=∠BOD ，

∴tan ∠BOD=tan∠BO′D′，

设每个小正方形的边长为a ，

则O′B=

作BE ⊥O′D′于点E ，

则BE=

∴O′E=， =， ，

O′D′=，BD′=3a，

∴tanBO′E=，

∴tan ∠BOD=3，

故答案为：3．

【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．

三、解答题（本大题共10小题，共84分）

19．（8分）（2017•无锡）计算：

（1）|﹣6|+（﹣2）3+（）0；

（2）（a+b）（a ﹣b ）﹣a （a ﹣b ）

【分析】（1）根据零指数幂的意义以及绝对值的意义即可求出答案；

（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式法则即可求出答案．

【解答】解：（1）原式=6﹣8+1=﹣1

（2）原式=a2﹣b 2﹣a 2+ab=ab﹣b 2

【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题

型．

20．（8分）（2017•无锡）（1）解不等式组：（2）解方程：

=

．

【分析】（1）分别解不等式，进而得出不等式组的解集； （2）直接利用分式的性质求出x 的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）解①得：x ＞﹣1， 解②得：x ≤6，

故不等式组的解集为：﹣1＜x ≤6； （2）由题意可得：5（x+2）=3（2x ﹣1）， 解得：x=13，

检验：当x=13时，（x+2）≠0，2x ﹣1≠0， 故x=13是原方程的解．

【点评】此题主要考查了解分式方程以及解不等式组，正确掌握基本解题方法是解题关键．

21．（8分）（2017•无锡）已知，如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连DE 并延长交AB 的延长线于点F ，求证：AB=BF．

【分析】根据线段中点的定义可得CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得AB ∥CD ，AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠FBE ，然后利用“角边角”证明△CED 和△BEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF，从而得证．

【解答】证明：∵E 是BC 的中点， ∴CE=BE，

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE ，

在△CED 和△BEF 中，∴△CED ≌△BEF （ASA ）， ∴CD=BF， ∴AB=BF．

，

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．

22．（8分）（2017•无锡）甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档，现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

【分析】利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【解答】解：根据题意画图如下：

共有12中情况，从4张牌中任意摸出2张牌花色相同颜色4种可能，所以两人恰好成为游戏搭档的概率=

=．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（8分）（2017•无锡）某数学学习网站为吸引更多人注册加入，举行了一个为期5天的推广活动，在活动期间，加入该网站的人数变化情况如下表所示：

（1）表格中a= 4556 ，b= 600 ； （2）请把下面的条形统计图补充完整；

（3）根据以上信息，下列说法正确的是 ① （只要填写正确说法前的序号）． ①在活动之前，该网站已有3200人加入；

②在活动期间，每天新加入人数逐天递增； ③在活动期间，该网站新加入的总人数为2528人．

【分析】（1）观察表格中的数据即可解决问题； （2）根据第4天的人数600，画出条形图即可； （3）根据题意一一判断即可；

【解答】解：（1）由题意a=3903+653=4556，b=5156﹣4556=600． 故答案为4556，600． （2）统计图如图所示，

（3）①正确．3353﹣153=3200．故正确．

②错误．第4天增加的人数600＜第3天653，故错误． ③错误．增加的人数=153+550+653+600+725=2681，故错误． 故答案为①

【点评】本题考查条形统计图，解题的关键是能读懂表格以及条形图的信息，属于中考常考题型．

24．（6分）（2017•无锡）如图，已知等边△ABC ，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

（1）作△ABC 的外心O ；

（2）设D 是AB 边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI ，使点F ，点H 分别在边BC 和AC 上．

【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB ，AC 的垂直平分线交于点O 即为所求； （2）过D 点作DI ∥BC 交AC 于I ，分别以D ，I 为圆心，DI 长为半径作圆弧交AB 于E ，交AC 于H ，过E 点作EF ∥AC 交BC 于F ，过H 点作HG ∥AB 交BC 于G ，六边形DEFGHI 即为所求正六边形．

【解答】解：（1）如图所示：点O 即为所求．

（2）如图所示：六边形DEFGHI 即为所求正六边形．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质． 25．（10分）（2017•无锡）操作：“如图1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，点C 绕点P 逆时针旋转60°得到点Q ．”我们将此由点P 得到点Q 的操作称为点的T 变换．

（1）点P （a ，b ）经过T 变换后得到的点Q 的坐标为 （a+经过T 变换后得到点N （6，﹣

（2）A 是函数y=

），则点M

b ，b ） ；若点M

x 图象上异于原点O 的任意一点，经过T 变换后得到点B ．

①求经过点O ，点B 的直线的函数表达式；

②如图2，直线AB 交y 轴于点D ，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比． 【分析】（1）连接CQ 可知△PCQ 为等边三角形，过Q 作QD ⊥PC ，利用等边三角形的性质可求得CD 和QD 的长，则可求得Q 点坐标；设出M 点的坐标，利用P 、Q 坐标之间的关系可得到点M 的方程，可求得M 点的坐标；

（2）①可取A （2，

），利用T 变换可求得B 点坐标，利用待定系数示可求得直线

OB 的函数表达式；②由待定系数示可求得直线AB 的解析式，可求得D 点坐标，则可求得AB 、AD 的长，可求得△OAB 的面积与△OAD 的面积之比．

【解答】解：

（1）如图1

，连接CQ ，过Q 作QD ⊥PC 于点D ，

由旋转的性质可得PC=PQ，且∠CPQ=60°， ∴△PCQ 为等边三角形， ∵P （a ，b ）， ∴OC=a，PC=b，

∴CD=PC=b ，DQ=∴Q （a+

b ，b ）；

PQ=b ，

设M （x ，y ），则N 点坐标为（x+∵N （6，﹣

），

y

，y ），

∴，解得，

∴M （9，﹣2故答案为：（a+

）；

b ，b ）；（9，﹣2

）；

（2）①∵A 是函数y=∴可取A （2，∴2+

×

），

x 图象上异于原点O 的任意一点，

=，×

），

=，

∴B （，

设直线OB 的函数表达式为y=kx，则k=∴直线OB 的函数表达式为y=②设直线AB 解析式为y=k′x+b，

x ；

，解得k=，

把A 、B 坐标代入可得，解得，

∴直线AB 解析式为y=﹣∴D （0，∴AB=∴

=

=

=． ），且A （2，

x+， ），B （，=

，AD=

），

=

，

【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及等边三角形的判定和性质、待定系数法、三角形的面积及方程思想等知识，理解题目中的T 变换是解题的关键．本题考查知识点较多，

综合性较强，难度适中．

26．（10分）（2017•无锡）某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号种选择：

已知商家售出的2台A 型、3台B 型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A 型、4台B 型污水处理器的总价为42万元．

（1）求每台A 型、B 型污水处理器的价格；

（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？

【分析】（1）可设每台A 型污水处理器的价格是x 万元，每台B 型污水处理器的价格是y 万元，根据等量关系：①2台A 型、

3台B 型污水处理器的总价为44万元，②1台A 型、4台B 型污水处理器的总价为42万元，列出方程组求解即可；

（2）由于求至少要支付的钱数，可知购买6台A 型污水处理器、3台B 型污水处理器，费用最少，进而求解即可．

【解答】解：（1）可设每台A 型污水处理器的价格是x 万元，每台B 型污水处理器的价格是y 万元，依题意有

，

解得

．

答：设每台A 型污水处理器的价格是10万元，每台B 型污水处理器的价格是8万元； （2）购买6台A 型污水处理器、3台B 型污水处理器，费用最少， 10×6+8×3 =60+24 =84（万元）．

答：他们至少要支付84万元钱．

【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．

27．（10分）（2017•无锡）如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A ，B 两点（点B 在点A 的右边），P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别

交于C ，D 两点（点C 在点D 的上方），直线AC ，DB 交于点E ．若AC ：CE=1：2．

（1）求点P 的坐标；

（2）求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式．

【分析】（1）如图，作EF ⊥y 轴于F ，DC 的延长线交EF 于H ．设H （m ，n ），则P （m ，0），PA=m+3，PB=3﹣m ．首先证明△ACP ∽△ECH ，推出EH=2m=6，再证明△DPB ∽△DHE ，推出决问题；

（2）由题意设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x ﹣5），求出E 点坐标代入即可解决问题； 【解答】解：（1）如图，作EF ⊥y 轴于F ，DC 的延长线交EF 于H ．设H （m ，n ），则P （m ，0），PA=m+3，PB=3﹣m ．

=

=

=

=

=，推出CH=2n，=，求出m 即可解

=，可得

∵EH ∥AP ， ∴△ACP ∽△ECH ， ∴

=

=

=，

∴CH=2n，EH=2m=6， ∵CD ⊥AB ， ∴PC=PD=n，

∵PB ∥HE ， ∴△DPB ∽△DHE ， ∴∴

=

=

=，

=，

∴m=1， ∴P （1，0）．

（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9， 连接OP ，在Rt △OCP 中，PC=∴CH=2PC=4∴E （9，6

，PH=6），

，

=2

，

∵抛物线的对称轴为CD ，

∴（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x ﹣5），把E （9，6

）代入得到a=

，

（x+3）（x ﹣5），即y=

x 2﹣

x ﹣

．

∴抛物线的解析式为

y=

【点评】本题考查圆综合题、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

28．（8分）（2017•无锡）如图，已知矩形ABCD 中，AB=4，AD=m，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连接CP ，作点D 关于直线PC 的对称点E ，设点P 的运动时间为t （s ）．

（1）若m=6，求当P ，E ，B 三点在同一直线上时对应的t 的值．

（2）已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3，求所有这样的m 的取值范围．

【分析】（1）如图1中，设PD=x．则PA=6﹣x ．首先证明BP=BC=6，在Rt △ABP 中利用勾股定理即可解决问题；

（2）分两种情形求出AD 的值即可解决问题：①如图2中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为3．②如图3中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为3；

【解答】解：（1）如图1中，设PD=x．则PA=6﹣x ．

∵P 、B 、E 共线， ∴∠BPC=∠DPC ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DPC=∠PCB ， ∴∠BPC=∠PCB ， ∴BP=BC=6，

在Rt △ABP 中，∵AB 2+AP2=PB2， ∴42+（6﹣x ）2=62， ∴x=6﹣2∴PD=6﹣2∴t=（6﹣2

或6+2，

）s 时，B 、E 、P 共线．

（舍弃），

（2）如图2中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为3． 作EQ ⊥BC 于Q ，EM ⊥DC 于M ．则EQ=3，CE=DC=4

易证四边形EMCQ 是矩形，

∴CM=EQ=3，∠M=90°，

∴EM==

=，

∵∠DAC=∠EDM ，∠ADC=∠M ，

∴△ADC ∽△DME ，

=

∴=， ，

， ∴AD=4

如图3中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为3．

作EQ ⊥BC 于Q ，延长QE 交AD 于M ．则EQ=3，

CE=DC=4

在Rt △ECQ 中，QC=DM=由△DME ∽△CDA ， ∴∴==， ，

，

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=， ∴AD=

综上所述，在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3，这样的m 的取值范围≤m ＜4．

【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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