必修4 平面向量知识点归纳总结
第二章 平面向量知识点归纳
一、向量的相关概念:
1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意:数量与向量的区别:
① 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; ② 2、向量的表示方法:
几何表示法:①用有向线段表示;②用字母a、b等表示;③用有向线段的起点与终点字母:AB;
坐标表示法:axiyj(x,y3、向量的模:向量AB的大小――长度称为向量的模,记作|AB|.
4、特殊的向量:①长度为0的向量叫零向量,记作0的方向是任意的
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.说明:零向量、单位向量的定义都是只限制大小,不确定方向.
5、相反向量:与a a
6、相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等,记作ab;
7、平行向量(共线向量):a//b
8、两个非零向量夹角的概念:已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则AOB0叫a与b
说明:(1)当0时,a与b同向;
(2)当时,a与b反向; (3)当
2
时,a与b垂直,记a⊥b;规定零向量和任意向量都垂直。
(40≤≤180
9、实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ)
aa
;
(Ⅱ)当0时,
a
的方向与a的方向相同;
当0时,a的方向与a的方向相反;
当0时,a0,方向是任意的
10、两个向量的数量积: 已知两个非零向量
a
与b,它们的夹角为,则ab|a||b|cos, 叫做a与b的数量
积(或内积)规定0a0
11、向量的投影:定义:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影,投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 |b|;当 = 180时投影为 |b
bcos
ab
R,称为向量b在a
|a|
二、重要定理、公式:
1、平面向量基本定理:e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数1,2,使a1e12e2 (1).平面向量的坐标表示
如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得
1 axiyj„„„„○
我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作
2 a(x,y)„„„„○
其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,○2
a与.相等的向量的坐标也为..........(x,y
特别地,i(1,0),j(0,1),0(0,0(2) 若A(x1,y1),B(x2,y2),则ABx2x1,y2y1
2、两个向量平行的充要条件
向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使
ba
设a(x1,y1),b(x2,y2),则a//babx1y2x2y10或3、两个向量垂直的充要条件
x1x2
y1y2
设a(x1,y1),b(x2,y2),则 abab0x1x2y1y20 4、平面内两点间的距离公式
(1)设a(x,y),则|a|xy或
|a|
222
(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),那么
|AB|
x1x22y1y2(平面内两点间的距离公式)
2
5、两向量夹角的余弦(0) cos
ab
x1x2y1y2
x1y1
2
2
2
|a||b|
x2y2
2
三、向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质
a(x1,y1),b(x2,y2)
特别注意:(1)结合律不成立:a(bc)(ab)c ; (2)消去律不成立abac
不能
bc
(3)ab0不能得到a=0或b=0乘法公式成立:
22
(ab)(ab)ab|a||b|
2
2
2
2
2
(ab)a2abb|a|2ab|b|
2
2
线段的定比分点公式: 设点P分有向线段P1P2所成的比为λ,即P1P=λPP2,则
x1x2x,1
(线段定比分点的坐标公式)
yy1y2.1
x1x2
x,12
当λ=1时,得中点公式:OP=(OP1+OP2)或
2yy1y2.
2
特别注意:(1)结合律不成立:a(bc)(ab)c ; (2)消去律不成立abac
不能
bc
(3)ab0不能得到a=0或b=0乘法公式成立:
22
(ab)(ab)ab|a||b|
2
2
2
2
2
(ab)a2abb|a|2ab|b|
2
2
线段的定比分点公式: 设点P分有向线段P1P2所成的比为λ,即P1P=λPP2,则
x1x2x,1
(线段定比分点的坐标公式)
yy1y2.1
x1x2
x,12
当λ=1时,得中点公式:OP=(OP1+OP2)或
2yy1y2.
2
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平移公式: 设点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P′(x′,y′),
则OP=OP+a或
xxh,yyk.
曲线y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y-k=f(x-h)
补充:一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
2.模的性质:|a||b||ab||a||b|.
|ab||a|
(2)左边等号成立条件:a、 b反向或a、 b中有0|ab||a|
(3)当a、 b不共线|a||b||ab||a||b|.
(1)右边等号成立条件:a、 b同向或a、 b中有0
|b|;
|b|;
3.三角形重心公式
在△ABC中,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心的坐标为
G(
x1x2x3
3
,
y1y2y3
3
).
举例 若ABC的三边的中点分别为A(2,1)、B(-3,4)、C(-1,-1),则ABC的重心的坐标为 .结果:(
24,) 33
4.三角形“三心”的向量表示 (1)PG
ABC
1
(PAPBPC)G3
为△ABC的重心,特别地PAPBPC0G为△
的重心.
(2)PAPBPBPCPCPAP为△ABC的垂心.
(3)|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P
为△
ABAC
ABC的内心;向量|AB||AC
(0)|
所在直线过△ABC的内心.
5. 向量PA,PB,PC中三终点1.
A,B,C
共线存在实数,,使得PAPBPC且
举例 平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(1,3)若点C满足OC1OA2OB,其中1,2R且121,则点C的轨迹是 .
结果:直线AB
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