高等数学大一上学期期中考试题
山东大学2014-2015学年第一学期期中考试
《高等数学(Ⅰ)》试卷
姓名:________
一、选择题(每题2分,共16分)
1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( )
(A )
2l i 21x x →∞x (B ) lim 3x 1-1 (C ) l i m e (D ) lim 3 1x →0x →∞x →∞
当x →0时,若e x -(ax 2+bx+1)是比x 2高阶的无穷小,则a ,b 的值是()…( a )
(A )1/2, 1 (B ) 1,1
(C )-1/2, 1 (D ) -1,1
3、lim f (x ) =A >0, lim g (x ) =B
(A ) f (x )>0, (B ) g(x )g (x ) (D )存在a 的一个空心邻域,使f (x ) g (x )
4、已知, lim x →0f (x ) x =2, 则lim x →0f (2x ) =………………………………………………( )
(A ) 2/3, (B ) 3/2 (C ) 3/4 (D ) 不能确定。
5、函数f(x)在[a,b]上有定义,在(a ,b )内可导,则( )
(A ) 当f (a )f (b )<0时,存在ξ∈(a ,b ),使f (ξ)=0
lim ⎡f x -f ξ⎤⎦=0(B )对任何ζ∈(a ,b ),有 x → ξ⎣
(C )当f (a )=f(b )时,存在ξ∈(a ,b ),使f ¹(ξ)=0
(D )存在ξ∈(a ,b ),使f (a )-f (b )=f¹(ξ)(b-a )
6、下列对于函数y =x cos x 的叙述,正确的一个是………………………………………()
(A )有界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(B )有界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大,
(C ) 无界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(D )无界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大。
7、下列叙述正确的一个是……………………………………………………………( )
(A )函数在某点有极限,则函数必有界;(B )若数列有界,则数列必有极限; ()()
(C ) 若lim h →0f (2h ) -f (-2h ) =2, 则函数在0处必有导数,(D )函数在x 0可导,则在x 0必连续。
28、 当x →0时,下列不与x 等价的无穷小量为…………………………………( )
(A )(cosx -1) (B )arcsin x (C )ln(1+x ) (D) e
9.
22x 2-1 ⎫3x f (x )=g (x )=tan x ,h x =x(e -1()⎪⎪⎭6
都是无穷小量,它们关于x 的阶数由大到小排列顺序为()
A. f (x ),h (x ),g (x )B .h (x ),f (x ),g (x )C .g (x ),f (x ),h (x )D .f (x ),g (x ),h (x )10. sin π
x 设函数f x
=lim , 则函数的间断点()2n n →∞1+2x A. 不存在B . 有一个C . 有两个
D . 有三个
()()
二、填空题(每题2分,共20分)
1、f (x ) =-2x 的连续区间是_____[0,1/2]______________
2、 已知lim =5,则a =______b =__________ x →12
3、 y =的间断点为x 不等于____它们是______无穷间断点(填类型)
x x
4、
6、 lim sin(x -π) 33x →πx -π= 5、lim (x →0) = x x 2lim (1+k ) =e , 则k =_________ x x →∞
1-arcsin 17、若函数f (x ) =⎧⎨⎩a -x x
f (x 0+∆x )
8、设f (x 0) =0,f ' (x 0) =3,则lim
9、f ' (x 0) =2,则lim h →0f (x 0-2h ) ∆x →0=_________ =________
10、已知函数f (x ) =x cos x ,则d y =_____ 2
11. 已知cos x cos x 是f (x ) 的一个原函数, 则⎰f (x ) ⋅d x =x x n →∞
1
2lim πn (cos2πn +cos 22π+n +cos 2n -1π) =n ⎰
-x 2arcsin x +1-x 2dx =
⎧x =arctan t 12. 已知参数方程⎨,求y ' ' 2⎩y =ln(t +1)
13.
14.
124sin ⎰x dx
x 2x dx
15.
2x+3⎰x-2
x+5dx
(1), 三、求导数(每题5分,共20分) y=arcsin x
(2)
(3)y =ln x y=2x , (4)y =(x 2+1) sin x (x 2+1)(x 2+2)
(x 4+1)(x 4+2)
四、证明题(每题6分,共12分)
k →∞k →∞n →∞1、对数列{x n },若lim x 2k -1=a lim x 2k +1=a ,证明lim x n =a
1.
五、解答题(每题8分,共32分) x →+∞lim x+12. 求函数f (x )= 2 的单调区间,极值,其图形的凹凸区间,拐点及渐近线,并画图。
x