专题六_解析几何(教案)

2012届高考数学二轮复习资料 专题六 解析几何（教师版）

【考纲解读】

1. 掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、距离等.

2. 掌握确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系; 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质; 理解数形结合的思想; 了解圆锥曲线的简单应用.

4. 了解双曲线的定义、几何性质, 掌握双曲线的标准方程, 会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.

5. 了解抛物线的定义、几何性质, 掌握抛物线的标准方程, 会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.

6. 了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.

【考点预测】

本章知识的高考命题热点有以下两个方面：

1. 直线与圆是历年高考的重点考查内容，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查求圆的方程以及直线与圆的位置关系，难度较低；在解答题中出现，经常与圆锥曲线相结合。2. 圆锥曲线是高考的一个热点内容，多数考查圆锥曲线的定义、方程和性质。在客观题中主要考查离心率、渐近线、定义和方程等，所以要熟练它们基本量之间的关系，掌握它们之间转化的技巧与方法。解答题多对圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系（包括弦长、中点弦、曲线方程求法等）综合考查，多在与其它知识的交汇点处（如平面向量等）命题，组成探索性及综合性大题，考查学生分析问题、解决问题的能力，难度较大。

【要点梳理】 1. 直线的倾斜角与斜率：k =tan α(α≠90) ， k =

y 2-y 1

(x 1≠x 2) .

x 2-x 1

2. 直线方程的几种形式:经常用的有点斜式、斜截式、一般式、截距式，注意其各自的适应条件.

3. 平行与垂直:掌握两直线平行与垂直的条件, 同时要注意其各自的适应范围. 4. 距离: 熟练点到直线的距离与两条件平行直线的距离公式. 5. 熟记圆的标准方程与一般方程.

6. 位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系. 7. 熟记椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质. 8. 熟练弦长公式、中点弦的求法(联立方程组与点差法). 【考点在线】

考点一 两条直线的位置关系(平行与垂直)

例1.(2010年高考安徽卷文科4) 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 【答案】.A

【解析】设直线方程为x -2y +c =0，又经过(1,0)，故c =-1，所求方程为x -2y -1=0.

【名师点睛】本小题考查两直线平行关系及直线方程的求解. 因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为x -2y +c =0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程. 也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.

【备考提示】：两条直线的位置关系是高考考查的重点之一, 熟练其基础知识是解答好本类题的关键.

练习1: （2011年高考浙江卷文科12) 若直线与直线x -2y +5=0与直线2x +my -6=0互相垂直，则实数m =_______ 【答案】1 【解析】k 1=

1212

, k 2=-, 直线互相垂直, ∴k 1⋅k 2=-1，即⋅(-) =-1, ∴m =1. 2m 2m

考点二 圆的方程

例2. （2010年高考山东卷文科16） 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直 线l ：y =x -

1被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 . 【答案】(x -3) 2+y 2=4

【解析】由题意，设圆心坐标为(a,0)，则由直线l ：y =x -1被该圆所截得

的弦长为

2

+2=(a-1)2，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C 过点（1,0），所以所求圆的半径为2，故圆C 的标准方程为(x -3) 2+y 2=4。

A

．(x -+y =5 B

．(x ++y =5

2222

C ．(x -5) +y =5 D ．(x +5) +y =5

2222

【答案】D

【解析】由题意知，圆心在y 轴左侧，排除A 、C 在Rt ∆0AO ，

0A 51OA 1

==⇒0O =5，选D. =k =，故

0O 0O 0A 25

考点三 圆锥曲线的定义、方程、几何性质

例3. （2011年高考福建卷文科11) 设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I’上存在点P 满足PF 1：F 1F 2：PF 2= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于

132

或 B. 或2 223123C. 或2 D. 或

232

A. 【答案】A

【解析】由PF 1：F 1F 2：PF 2= 4:3:2，可设PF 1=4k , F 1F 2=3k , PF 2=2k , 若圆锥曲线为椭圆, 则2a =6k , 2c =3k , e =选A.

【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的定义、几何性质。

【备考提示】：圆锥曲线的定义、方程、几何性质是圆锥曲线的主要内容，是高考的热点，

必须熟练掌握.

13; 若圆锥曲线为双曲线, 则2a =2k , 2c =3k , e =, 故22

x 2y 2

+=1的离心率为( ) 练习3: （2011年高考海南卷文科4) 椭圆

168

A.

11

B. D.

232

【答案】D

【解析】因为a =4, c =

考点四 直线与圆锥曲线的综合应用

, 选D. x 2y 2

+=1交于P (x 1, y 1)、例4. (2011年高考山东卷理科22) 已知动直线l 与椭圆C: 32

Q (x 2, y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S ∆

OPQ 2

2

2

2

其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明x 1+x 2和y 1+y 2均为定值;

又因为S ∆OPQ =

所以|x 1|⋅|y 1|=

②

由①、②得|x 1|=

y 1|=1. 此时x 2

+x 2

2

y 2

12=3, y 1+2=2,

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +m ,

0，将其代入x 2y 2

由题意知m ≠3+2=1，得

(2+3k 2) x 2+6kmx +3(m 2-2) =0，

其中∆=36k 2

m 2

-12(2+3k 2

)(m 2

-2) >0, 即3k 2

+2>m 2

…………（*）

又x =-6km 3(m 2-1+x 22+3k 2, x 2) 1x 2=2+3k

2

,

所以|PQ |==2+3k

2

因为点O 到直线l

的距离为d =

所以S 1

∆OPQ =

2

|PQ |⋅

d =2+3k 2

=

又S ∆OPQ =

2

整理得3k 2

+2=2m 2

, 且符合（*）式，

此时x 2

+x 2=(x 2

6km 1

2

1+x 2) -2x 1x 2=(-2+3k 2) 2-2⨯3(m 2-2)

2+3k

2

=3, y 2+y 2222222

12=3(3-x 1) +3(3-x 2) =4-3

(x 21+x 2) =2.

综上所述，x 2

2

2

2

1+x 2=3; y 1+y 2=2, 结论成立。 II ）解法一：

1）当直线l 的斜率存在时，

由（I

）知|OM |=|x 1|=

2

PQ |=2|y 1|=2,

因此|OM |⋅|PQ |=

2= 2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知

x 1+x 22=3k

2m

, y 1+y 22=k (x 1+x 22) +m =-3k 2-3k 2+2m 21

2m +m =2m =m

, |OM |2

=(x 1+x 22) 2+(y 1+y 22) 2=9k 24m 2+1m 2=6m 2-24m 2=12(3-1m

2

), 22

|PQ |2=(1+k 2) 24(3k +2-m ) 2(2m 2+1) 1(2+3k 2) 2=m 2=2(2+m

2

), （ （ （

111所以|OM |2⋅|PQ |2=

2⨯(3-m 2) ⨯2⨯(2+

m

2) 即|OM |⋅|PQ |≤

5

2

, 当且仅当2|OM |=|PQ |= 因此 |OM|·|PQ|的最大值为5

2

.

（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G

，使得S ∆ODE =S ∆ODG =S ∆OEG =

证明：假设存在D (u , v ), E (x 1, y 1), G (x 2, y 2) 满足S ∆ODE =S ∆ODG =S ∆OEG =2

，由（I ）得

u 2+x 2=3, u 2+x 223; v 2+y 222

12=3, x 21+x 2=1=2, v 2+y 2=2, y 21+y 2=2,

解得u 2=x 2=x 2

3; v 2=y 22

12=

21=y 2=1.

因此u , x 只能从±1, x 2, v , y 1, y 2只能从±1中选取,

因此D ，E ，G

只能在(±

±1) 这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，

与S ∆ODE =S ∆ODG =S ∆OEG =

矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.

【名师点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用, 考查学生分类讨论等数学思想, 考查学生分析问题、解决问题的能力。

【备考提示】：这类综合性问题，是高考中区分度比较大的题目，所以我们在二轮复习中，在务实基础知识的基础上，掌握弦长、中点弦等类型题的解法，适当做些题目以提高运算能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力是根本所在。

x 2y 2

练习3：（2010年高考天津卷文科21）已知椭圆2+2=1（a>b>0）的离心率

，连

a b

接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0）.

|= （i

）若|AB

，求直线l 的倾斜角； 5

（0，y 0）QB=4. 求y 0的值. （ii ）若点Q 在线段AB 的垂直平分线上，且QA

【解析】（Ⅰ）解：由

e=

c 22222

=，得3a =4c . 再由c =a -b ，解得a=2b. a 2

由题意可知

1

⨯2a ⨯2b =4，即ab=2. 2

⎧a =2b , x 2

+y 2=1. 解方程组⎨得a=2，b=1，所以椭圆的方程为4⎩ab =2,

(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A 的坐标是（-2,0）. 设点B 的坐标为(x 1, y 1) ，直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k（x+2）.

⎧y =k (x +2),

⎪

于是A 、B 两点的坐标满足方程组⎨x 2消去y 并整理，得 2

⎪+y =1. ⎩4(1+4k 2) x 2+16k 2x +(16k 2-4) =0.

16k 2-42-8k 24k

x =由-2x 1=，得. 从而. y =11

1+4k 21+4k 21+4k 2

所以|AB |=. =2

1+4k

2k 1⎛8k 2⎫

=- x +（2）当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y -⎪。 2

1+4k k ⎝1+4k 2⎭

6k

。 2

1+4k

由QA =(-2, -y 0)，QB =(x 1, y 1-y 0)，

令x =0，解得y 0=-

-2(2-8k 2)6k ⎛4k 6k ⎫QA ∙QB =-2x 1-y 0(y 1-y 0)=++ 22 22⎪1+4k 1+4k ⎝1+4k 1+4k ⎭

=

4(16k 4+15k 2-1)

(1+4k )

2

22

=4，

。所以y 0=。

。 5

整理得7k =

2。故k =

综上，y 0=±

y 0=±【易错专区】 问题：圆锥曲线的性质

x 2y 2

+=1的中心和左焦点，例. （2010年高考福建卷文科11）若点O 和点F 分别为椭圆43

点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（ ）

A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】C

x 02y 02x 022

【解析】由题意，F （-1，0），设点P (x 0, y 0) ，则有+=1, 解得y 0=3(1-) ，

434 2

因为FP =(x 0+1, y 0) ，OP =(x 0, y 0) ，所以OP ⋅FP =x 0(x 0+1) +y 0

x 02x 02=OP ⋅FP =x 0(x 0+1) +3(1-) =+x 0+3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为

44

22

x 0=-2，因为-2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，OP ⋅FP 取得最大值+2+3=6，选C 。

4

【名师点睛】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力，本题容易忽视椭圆的范围而错选。

【备考提示】：要在高考中立于不败之地，必须熟练掌握圆锥曲线的基础知识。 【考题回放】

1. (2011年高考安徽卷文科4) 若直线3x +y +a =0过圆x +y +2x -4y =0的圆心, 则a 的值为（ ）

（A ）-1 (B) 1 (C) 3 (D) -3 【答案】B

2

2

【解析】圆的方程x +y +2x -4y =0可变形为(x +1) +(y -2) =5，所以圆心为

2222

（－1,2），代入直线3x +y +a =0得a =1. 2．(2011年高考广东卷文科8) 设圆C 与圆

C 的圆心轨迹为（ ）

A ． 抛物线 B ． 双曲线 C ． 椭圆 D ． 圆 【答案】A

【解析】设圆C 圆心C (x , y ) ，半径为R,A(0,3),点C 到直线y=0的距离为|CB|，由题得

外切，与直线y =0相切．则

|CA |=R +1=y +1∴x 2+(y -3) 2=y +1∴y =

抛物线，所以选

A.

12

x +1, 所以圆C 的圆心C 轨迹是8

【解析】设和两坐标轴相切圆的方程为：(x -m ) +(y -m ) =m ，将(4,1) 带入方程整理

2

得：m -10m +17=0，C

1C 2=

222

=8.

2

2

5．(2011年高考江西卷理科9) 若曲线C 1：x +y -2x =0与曲线C 2：y (y -mx -m ) =0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A．

(

) B．

(0) ∪(0

) ] D．(-∞

，∪

，+∞) c．

[

【答案】B

【解析】因为直线y=0与曲线C 1有两个不同的交点, 要使曲线C 1和曲线C 2有四个不同的交点, 只须直线y -mx -m =0与曲线C 1：x +y -2x =0有两个不同的交点即可, 而曲线

2

2

C 1是一个圆, 所以圆心(1,0)到直线y -m x -m =0的距离

为

得

6. (2011年高考重庆卷理科8) 在圆x +y -2x -6y =0内，过点E (0,1)的最长弦和最短

2

2

弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）

（A

） （B

） （C

） （D

）【答案】B

【解析】由题意，AC 为直径，设圆心为F ，则F E ⊥B D , 圆的标准方程为

(x -1)

2

+(y -3)=10，故F

(1,3)，由此，易得：AC =，又k EF =

2

3-1

=2，所1-0

1以直线BD 的方程为y =-x +1，F 到BD

由此得，BD ==

22

所以四边形ABCD

的面积为

11

AC BD =⨯= 22

7. （2011年高考海南卷文科9) 已知直线l 过抛物线C 的焦点, 且与C 的对称轴垂直, l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P为C 的准线上一点, 则∆ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 【答案】C

【解析】因为AB 过抛物线的焦点且与对称轴垂直, 所以线段AB 是抛物线的通径, 长为

2p =12, 所以p =6, 又点P 到AB 的距离为焦参数p , 所以∆ABP 的面积为

12

, 故选C. p ⨯2p =p =36

2

8. （2011年高考山东卷文科9) 设M(x 0，y 0) 为抛物线C ：x =8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) (A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C

【解析】设圆的半径为r, 因为F(0,2)是圆心, 抛物线C 的准线方程为y =-2, 由圆与准线相切知4

2

2

2

y 0) 在圆x 2+(y -2) 2=r 2 ,所以x 02+(y 0-2) 2=r 2>16, 所以8y 0+(y 0-2) 2>16, 即

有y 0+4y 0-12>0, 解得y 0>2或y 02, 选C.

2

x 2y 2

9. (2011年高考山东卷理科8) 已知双曲线2-2=1(a ＞0，b ＞0) 的两条渐近线均和圆

a b

C:x +y -6x +5=0相切, 且双曲线的右焦点为圆C 的圆心, 则该双曲线的方程为( )

2

2

x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2

(A)-=1 (B) -=1 (C) -=1 (D) -=1

54453663

【答案】A

【解析】由圆C:x +y -6x +5=0得:(x -3) +y =4, 因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线bx ±ay =0均和圆C 相切,

2

2

2

2

=2, 即

x 2y 23b 2

=1, 故选A. =2, 又因为c=3,所以b=2,即a =5, 所以该双曲线的方程为-

54c

10. (2011年高考辽宁卷理科3) 已知F 是抛物线y 2=x的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，

AF +BF =3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）

(A)

357

(B) 1 (C) (D) 444

11

+n+= 44

【答案】C

【解析】设A 、B 的横坐标分别是m 、n ，由抛物线定义，得AF +BF =3=m+m+n+

15m +n 55

=3，故m+n=，=，故线段AB 的中点到y 轴的距离为. 22244

11. (2011年高考全国新课标卷理科7) 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) （A

（B

（C ）2 （D ）3 【答案】B

2b 2b 2

=4a ，∴2=2 【解析】由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB =a a

b 2

又e =+2=，故选B.

a

点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4

倍的关系可以计算出

⎧y =2x ⇒x =a ⎨2A 2

5⎩x +

y

∴x =

,

y =

, a ) 在椭圆上,

1515

22

)

122222 a -b =5, 又 ，故选C ⇒a =11b ∴+=1∴b =

a 2b 2213. （2011年高考湖北卷文科14) 过点(－1, －2) 的直线l 被圆x 2+y 2-2x -2y +1=0截得的

则直线l 的斜率为 。 【答案】 1或

17

7

【解析】依题意直线l 斜率存在，设为k ，则l 方程为y +2=k (x +1) ，圆方程化简为(x -1) 2+(y -1) 2=

1，由弦长为及几何图形，可知圆心（1，1）到直线l

的距离

17=k =1或. 7

d =14. （2011年高考辽宁卷文科13) 已知圆C 经过A(5，1) ，B(1，3) 两点，圆心在x 轴上．则C 的方程为___________. 【答案】(x -2)+y =10

2

2

【解析】直线AB 的斜率是k AB =

3-11

=-，中点坐标是(3,2).故直线AB 的中垂线方程1-52

, ⎧⎪y -2=2(x -3)y -2=2(x -3)，由⎨得圆心坐标C （2,0），

=故圆

⎪⎩y =0,

的方程为(x -2)+y =10。

2

2

15. （2011年高考山东卷文科22) 在平面直角坐标

x 2

系xOy 中，已知椭圆C :+y 2=1. 如图所示，斜

3

率为k (k ＞0) 且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于B 两点，

点G ，交直线x =-3于点D (-3, m ) .

（Ⅰ）求m 2+k 2的最小值；

（Ⅱ）若OG =OD ∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；

（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时 ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）由题意:设直线l :y =kx +n (n ≠0) ,

2

⎧y =kx +n ⎪222

(1+3k ) x +6knx +3n -3=0, 设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ,AB 的中由⎨x 2消y 得:2

⎪+y =1⎩3

-6kn

, 即

1+3k 2

-3kn -3kn n

, , 所以中点E 的坐标为x 0=y =kx +n =⨯k +n =00

1+3k 21+3k 21+3k 2-3kn n 1m

k =K E (, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上，所以，即，, ) -=-OE OD 22

1+3k 1+3k 3k 3

11

解得m =，所以m 2+k 2=2+k 2≥2, 当且仅当k =1时取等号, 即m 2+k 2的最小值为

k k

点E (x 0, y 0) , 则由韦达定理得: x 1+x 2=2.

m ⎧

y =-x ⎪m ⎪3

（Ⅱ）（i ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为y =-x , 所以由⎨2得交点

3⎪x +y 2=1

⎪⎩3

G

的纵坐标为y G =

n 2

OG =OD ∙OE ，所以又因为, , 且y =m y =D E

1+3k 2

m 2n 1, 又由（Ⅰ）知: , 所以解得k =n , 所以直线l 的方程为=m ⋅m =22

m +31+3k k

l :y =kx +k , 即有l :y =k (x +1) , 令x =-1得,y=0,与实数k 无关, 所以直线l 过定点

(-1,0).

（ii ）假设点B ，G 关于x 轴对称, 则有 ABG 的外接圆的圆心在x 轴上, 又在线段AB 的中垂线上, 由（i ）知点

G(

, 所以点

B(

, 又因为直线l 过定点

=k ，又因为m =1，所以解得m 2=1或6，又因为

(-1,0),所以直线l

k 13-m 2>0, 所以m 2=6舍去, 即n 2=1，此时k=1，m=1，E (

2x+2y+1=0，圆心坐标为(-

-31

, ) ，AB 的中垂线为44

1-311252

G((, ) ,

圆半径为，圆的方程为(x +) +y =. ,0) ，

222224

综上所述, 点B ，G 关于x 轴对称, 此时 ABG 的外接圆的方程为(x +) +y =

1

2

22

5. 4

16. (2011年高考辽宁卷理科20) 如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.

（I ）设e =

1

，求BC 与AD 的比值； 2

（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由

【解析】（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设

x 2y 2b 2y 2x 2

C 1:2+2=1, C 2:4+2=1, (a >b >0).

a b a a

设直线l :x =t (|t |

联立，求得A t ⎛⎛, B t . ⎝⎝当e =

1

，分别用y A ，y B 表示A 、B 的纵坐标，可知 时，b =2

2|y B |b 23==. |BC|:AD|=

2|y A |a 24

（II ）t=0时的l 不符合题意，t ≠0时，BO//AN当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即

ab 21-e 2=-2⋅a . ，解得t =-2=

a -b 2e t t -a

1-e 2

因为|t |

1，解得2e

所以当0

存在直线l 使得BO//AN.

【高考冲策演练】

一、选择题：

1. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线2x -y =8的实轴长是（ ）

2

2

（A ）2

(B) (C) 4

【答案】C

x 2y 2

【解析】2x -y =8可变形为-=1，则a 2=4，a =2，2a =4. 故选C.

48

2

2

2. （2011年高考陕西卷文科2) 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x =-2，则抛物线的方程是（ ）

（A ）y =-8x （B ） y =-4x (C) y =8x (D) y =4x 【答案】C

【解析】：设抛物线方程为y =ax ，则准线方程为x =-

2

2

2

2

2

a a

于是-=-2⇒a =8故选C 44

x 2y 2

=1(a >0) 的渐近线方程为3x ±2y =0, 则3．（2011年高考湖南卷文科6) 设双曲线2-

a 9

a 的值为（ ）

A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C

【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为y =±

2

3

x ，故可知a =2。 a

4．（2010年高考山东卷文科9）已知抛物线y =2px (p >0) ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） B 两点，

（A ）x =1 (B)x =-1 (C)x =2 (D)x =-2 【答案】B

【解析】设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2), 则有y 1=2px 1，y 2=2px 2，两式相减得：

2

2

(y 1-y 2)(y 1+y 2) =2p (x 1-x 2) ，又因为直线的斜率为1，所以

y 1-y 2

=1，所以有

x 1-x 2

y 1+y 2=2p ，又线段AB 的中点的纵坐标为2，即y 1+y 2=4，所以p =2，所以抛物线

两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ）

（A

）(2 （B

）[22 （C

）(-∞, 2 (2++∞) （D

）(2+ 【答案】D

⎧x =2+cos θ, 22

【解析】⎨化为普通方程(x -2) +y =1，表

y =sin θ⎩

示圆，

因为直线与圆有两个不同的交点，所以

1, 解得

2

2：利用数形结合进行分析

得

AC =2-b =b =2

同理分析，可知2b 0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16

相切，则p 的值为（ ）

（A ）

1

2

（B ）1 （C ）2 （D ）4

【答案】C

【解析】由题设知，直线x =-故选C .

p ⎛p ⎫22

与圆(x -3)+y =16相切，从而3- -⎪=4⇒p =2. 2⎝2⎭

8．（2010年高考湖北卷文科9）若直线y =x +

b 与曲线y =3有公共点，则b 的取值范围是（ ）

A.[1-

1+ C.[-1,1+ 【答案】D

【解析】曲线方程可化简为(x -2) 2+(y -3) 2=4(1≤y ≤3) ，即表示圆心为（2， 3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y =x +b 与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2

，解得b =1+

b =1-，因为是下半圆故可得b =1+，当直线过（0，3）时，解得b=3,

故1-b ≤3, 所以C 正确.

9．（2010年高考辽宁卷文科7）设抛物线y =8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一

点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF

斜率为PF =（ ） （A

）（B ） 8 （C ）

（D ） 16 【答案】B

【解析】利用抛物线定义，易证∆PAF 为正三角形，则|PF |=

2

B.[1,3]

D.[1-

4

=8 ︒

sin30

10．（2010年高考辽宁卷文科9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B , 如果直

线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） （A

（B

（C

）【答案】D

11

（D

） 22

x 2y 2

【解析】不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：2-2=1(a >0, b >0) ，

a b b b

则一个焦点为F (c , 0), B (0,b ，) 一条渐近线斜率为：，直线FB 的斜率为：-，

a c

c b b

∴⋅(-) =-1，∴b 2=ac ，c 2-a 2-ac =

0，解得e ==a c a . 11. (2010年高考宁夏卷文科5) 中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点

（4,2），则它的离心率为（ ）

（A

（B

（C

【答案】D

（D

c -21【解析】易知一条渐近线的斜率为k =． =-

，故e ==a 242

12．（2010年高考广东卷文科7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A.

4321

B. C. D. 5555

二．填空题：

13．（2011年高考重庆卷文科13) 过原点的直线与圆x +y -2x -4y +4=0相交所得弦的

长为2，则该直线的方程为 【答案】2x -y =0

14. (2011年高考重庆卷理科15) 设圆C 位于抛物线y =2x 与直线x =3所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为

1

【解析】为使圆C 的半径取到最大值，显然圆心应该在x 轴上且与直线x =3相切，设圆C

2

的半径为r ，则圆C 的方程为(x +r -3)+y =r ，将其与y =2x 联立得：

2

2

2

22

2

-r 6x 2+2(r -2)x +9-6r =0，令∆=⎡(9)=⎣2(r -2)⎤⎦-4

2

0并由r >0，得

：，

r =1

x 2y 2x 2y 2

+=115. （2011年高考山东卷文科15) 已知双曲线2-2=1(a ＞0，b ＞0) 和椭圆

a b 169

有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .

x 2y 2

【答案】-=1

43

【解析】由题意知双曲线的焦点为

,0) 、

,0), 即

又因为双曲线的离心率

c x 2y 22

为=, 所以a =2, 故b =3, 双曲线的方程为-=1. a 43

y 2x 216. （2011年高考江西卷文科12) 若双曲线-=1的离心率e=2，则16m

【答案】48

y 2x 2

a 2=16, b 2=m ，【解析】2-2=1知，并在双曲线中有：a 2+b 2=c 2，

a b c 2c 16+m

⇒m=48. ∴离心率e==2⇒2=4=

a a 16

三．解答题：

17．(2011年高考安徽卷文科17)

，l 2:y=k2x -1，其中实数k 1⋅k 2满足k 1k 2+2=0，设直线l 1:y =k 1x+1

（I ）证明l 1与l 2相交；

（II ）证明l 1与l 2的交点在椭圆2x +y=1上.

【解析】（1）（反证法）假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2必平行，∴k 1=k2 代入k 1k 2+2=0得

2

k 1+2=0，与k 1是实数相矛盾。从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交。

22

（2）（方法一）由⎨

⎧y =k 1x +1

得交点p 的坐标（x,y ）为

⎩y =k 2x -1

2⎧x =⎪k 2-k 1⎪

, ⎨

k +k ⎪y =21

⎪k 2-k 1⎩

而

2x 2+y2=1

所以l 1与l 2的交点p 的（x,y ）在椭圆2x +y=1上。 18. （2011年高考福建卷文科18) 如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x 2=4y相切于点A 。 （1） 求实数b 的值；

（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.

【解析】（I ）由⎨

2

2

⎧y =x +b

2

⎩x =4y

得x -4x -4b =0 (*)

2

2

因为直线l 与抛物线C 相切, 所以∆=(-4) -4⨯(-4b ) =0, 解得b =-1.

（II ）由（I ）可知b =-1, 故方程(*) 即为x -4x +4=0, 解得x =2, 将其代入x =4y , 得y=1,故点A(2,1).

因为圆A 与抛物线C 的准线相切, 所以圆心A 到抛物线C 的准线y=-1的距离等于圆A 的半径r,

即r=|1-(-1)|=2,所以圆A 的方程为(x -2) +(y -1) =4.

19. （2011年高考全国新课标卷文科20) 在平面直角坐标系中，曲线y =x -6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上， （1）求圆C 的方程；

2

2

2

22

（2）如果圆C 与直线x -y +a =0交于A,B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值。 【解析】（Ⅰ）

曲线y =x -6x +1, 与y 轴交点为(0, 1), 与x 轴交点为(3+22, 0), (3-22, 0) 因而圆心坐标为C (3, t ), 则有3+(t -1) =(22) +t ∴t =1

22

半径为+(t -1) =3，所以圆方程是(x -3) +(y -1) =9

2

2

2

2222

⎧x -y +a =0

（Ⅱ）设点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 满足⎨ 22

(x -3) +(y -1) =9⎩

解得：2x +(2a -8) x +a -2a +1=0

2

2

∴∆=56-16a -4a 2>0 x 1, 2

(8-2a ) ±56-16a -4a 2

=

4

a 2-2a +1

∴x 1+x 2=4-a , x 1∙x 2=

2

OA ⊥OB , ∴x 1x 2+y 1y 2=0, y 1=x 1+a , y 2=x 2+a

∴2x 1x 2+a (x 1+x 2) +a 2=0, ∴a =-1

x 2y 2

20. （2011年高考陕西卷文科17) 设椭圆C: 2+2=1(a >b >0)过点（0，4），离心率

a b

为

34

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标 55

a 2-b 29c 316【解析】（Ⅰ）将（0，4）代入C 的方程得2=1 ∴b=4又e == 得即=2

a 25a 5b

1-

169

， =2

a 25

x 2y 2

+=1 ∴a =5 ∴C 的方程为

2516

（ Ⅱ）过点(3,0)且斜率为

44

的直线方程为y =(x -3)， 55

4

(x -3)代入Ｃ的方程， 5

设直线与Ｃ的交点为Ａ(x 1, y 1)，Ｂ(x 2, y 2)，将直线方程y =

x 2(x -3)33++=1，即x 2-3x -8=

0，解得x 1=

得，x 2=， 252522

2

∴ AB

的中点坐标x =

x 1+x 23y +y 226

=， y =1=(x 1+x 2-6)=-，即中点为22255

⎛36⎫

, -⎪。 ⎝25⎭

注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。

x 2y 2

21. （2011年高考四川卷文科21) 过点C (0,1)的椭圆2+2=1(a >b >

0) 的离心率为

a b

，椭圆与x 轴交于两点A (a ,0)、B (-a ,0) ，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并2

与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .

（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；

（Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP ∙OQ 为定值

.

【解析】（I ）因为椭圆过C(1,0)，所以b=1.

，所以

c x 2222=又

a =b +c ，故a =2, c =+y 2=1. a 24

⎧x 2⎧2

+y =1, x =⎪⎪⎪⎪47或当直线l 过椭圆右焦点时，直线l

得⎨y =

1，由⎨

y =1, ⎪y =-1,

⎪7⎩

⎛⎫⎧x =0,

则C (

0,1), D ⎨ 7, -1⎪⎪,

故|CD |=y =1. ⎩⎝⎭

16

. =7

（Ⅱ）直线CA 的方程为

x

+y =1 ①. 设点P (x 0,0)(x 0≠-2) ，则直线AP 的方程为2

x

+y =1 ②. x 0

⎛8x 0x 02-4⎫8x 0

, 把②代入椭圆方程，得x D =，从而可求D . 22⎪2

4+x 0⎝4+x 04+x 0⎭

因为B(-2,0),所以直线BD 的方程为y =

x 0-2

(x +2) ③，

2x 0+2由①③可得x Q =

⎛42⎫4

，从而求得Q ,1-⎪.

x 0⎭x 0⎝x 0

⎛42⎫

OP ⋅OQ =x 0⋅+0⋅ 1-⎪=4，

x 0⎝x 0⎭

所以OP ⋅OQ 为定值.

22. （2011年高考全国卷文科22) 已知O 为坐标原点，F 为椭圆

y 2

C :x +=1在y 轴正半轴上的焦点，过F

且斜率为的直线l 与

2

2

C 交与A 、B 两点，点P 满足OA +OB +OP =0. (Ⅰ)证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.

y 2

=1得

F (0,1)，l :y =+1，

【解析】(Ⅰ) 证明：由x +2

2

⎧y =1-⎪2

2得4x --1=0

由⎨y 2

=1⎪x +

⎩2

=设A (x 1, y 1), B (x 1, y 1), 则

x 1=x 2=

=+1=，y 1=，

⎧

⎪x p =-(x 1+x 2) =-

y 2=1=OA +OB +OP =0. ∴⎨2

⎪y =-(y +y ) =-1

12⎩

p

212

x p +=(-+=1故点P 在C 上

222

2

y p 2

（Ⅱ）法一：点

P (-

, -1) ， P 关于点O 的对称点为Q

，∴Q ,1) ，

22

2

1

K AQ K AP

2

-1

y -1====-1，即∠PAQ =90 ，同理

12x -1

2K PB K BQ =-1即∠PBQ =90 ，∴ ∠PAQ +∠PBQ =180 A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上. ⎛2⎫

⎪则PQ 的中垂线为：y =-2x 设A 、B 的中点为D (x 3, y 3) Q , 1法二：由已知有 2⎪2⎝⎭

⎧x 1+x 22

x ==⎪⎪324⎨

⎪y =y 1+y 2=-2x 1+1+-2x 1+1=13

∴⎪222 ⎩

()()

⎛21⎫

⎪则AB 的中垂线为：y

=2x +1 D , ∴ 42⎪

24⎝⎭