几何图形及直线
几何图形及直线、射线、线段
【要点梳理】
要点一、几何图形
1.定义:把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形. 几何图形是从实物中抽象得到的,只注重物体的形状、大小、位置,而不注重它的其它属性,如重量,颜色等.
2.分类:几何图形包括立体图形和平面图形
(1)立体图形:图形的各部分不都在同一平面内,这样的图形就是立体图形。
(2)平面图形:有些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.
要点诠释:
(1)常见的立体图形有两种分类方法:
(2) 常见的平面图形有圆和多边形,其中多边形是由线段所围成的封闭图形。
(3)立体图形和平面图形是两类不同的几何图形,它们既有区别又有联系.
要点二、从不同方向看
一般是从以下三个方向:(1)从正面看;(2)从左面看;(3)从上面看.从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图) 、左视图、俯视图.
要点三、简单立体图形的展开图
立体图形可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
要点诠释:
(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形.例如,球便不能展成平面图形.
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形;同一个立体图形,沿不同的棱剪开,也可得到不同的平面图.
要点四、点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体, 几何体也简称体;包围着体的是面, 面有平的面和曲的面两种;面和面相交的地方形成线,线也分为直线和曲线两种;线和线相交的地方形成点. 从运动的观点看:点动成线,线动成面,面动成体. 要点五、直线
1.概念:直线是最简单、最基本的几何图形之一,是一个不作定义的原始概念,直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述.
2. 表示方法:(1)可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示,如图1所示,可表示为直线AB (或直线BA ) .
(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图2所示,可以表示为直线l .
3. 基本性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简单说成:两点确定一条直线.
直线的特征:(1)直线没有长短,向两方无限延伸.(2)直线没有粗细.
(3)两点确定一条直线.(4)两条直线相交有唯一一个交点.
4. 点与直线的位置关系:
(1)点在直线上,如图3所示,点A 在直线m 上,也可以说:直线m 经过点A .
(2)点在直线外,如图4,点B 在直线n 外,也可以说:直线n 不经过点B .
要点六、线段
1. 概念:直线上两点和它们之间的部分叫做线段.
2. 表示方法:
(1)线段可用表示它两个端点的大写英文字母来表示,如图,记作:线段AB 或线段BA .
(2)线段也可用一个小写英文字母来表示,如图5所示,记作:线段a .
3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法:
法一:用圆规作一条线段等于已知线段.例如:下图所示,用圆规在射线AC 上截取AB =a . 法二:用刻度尺作一条线段等于已知线段.例如:可以先量出线段a 的长度,再画一条等于这个长度的线段.
4. 基本性质:两点的所有连线中,线段最短.简记为:两点之间,线段最短.
如图6所示,在A ,B 两点所连的线中,线段AB 的长度是最短的.
图6
要点诠释:
(1)线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短.
(2)连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.
(3)线段的比较:①度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较长短.②叠合法:利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.
5. 线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如图7所示,点C 是线段AB 的中点,则AC =CB =1AB ,或AB =2AC =2BC .
2
图 7
l 图8
要点七、射线
1. 概念:直线上一点和它一侧的部分叫射线,这个点叫射线的端点.
如图8所示,直线l 上点O 和它一旁的部分是一条射线,点O 是端点.
2. 特征:是直的,有一个端点,不可以度量,不可以比较长短,无限长.
3. 表示方法:(1)可以用两个大写英文字母表示,其中一个是射线的端点,另一个是射线上
除端点外的任意一点,端点写在前面,如图8所示,可记为射线OA .
(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图8所示,射线OA 可记为射线l .
(1) 端点相同,而延伸方向不同,表示不同的射线.如图9中射线OA ,射线OB 是不同的射线.
图9 图10
(2)
端点相同且延伸方向也相同的射线,表示同一条射线.如图10。
【典型例题】
类型一、几何图形
1.将图中的几何体进行分类,并说明理由.
类型二、从不同方向看
2.有一正方体,它的各个面上分别标有1,2,3,4,5,6.甲、乙、丙三名同学从三个不同的角度去观察此正方体,观察结果如图所示,问这个正方体各组对面上的数字分别是几?
举一反三:
【变式】 如图所示的几何体中,主视图与左视图不相同的几何体是( ).
3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示,其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数,那么该几何体的主视图是( )
A.
举一反三: B. C. D.
【变式1】用小立方块搭一个几何体,使得它
的主视图和俯视图如图所示,这样的几何体只有
一种吗?它最少需要多少个小立方块?最多需
要多少个小立方块?
俯视图 主视图
【变式2】下图是从正面、左面、上面看由若干个小积木搭成的几何体得到的图,那么这个几何体中小积木共有多少个?
类型三、展开图
4.右下图是一个正方体的表面展开图,则这个正方体是( )
【总结升华】培养空间想象能力的方法有两种,一是通
过动手操作来解决;二是通过想象进行确定.正方体沿
棱展开,把各种展开图分类,可以总结为如下11种情况.
举一反三:
【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉.将“华南虎
之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上,其平面
展开图如图所示,那么在该正方体中,和“虎”相对的
字是________.
类型四、点、线、面、体
5.世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:
(1)根据上面多面体模型,完成表格中的空格:
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______;
(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是________;
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x 个,八边形的个数为y 个,求x+y的值.
6.
将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周,对其所得的立体图形,下列说法正确的是
( )
A .主视图相同 B.左视图相同 C.俯视图相同 D.三种视图都不相同 举一反三:
【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周,得到的几何体是( ) A. B. C. D.
类型一、有关概念
1. 如图所示,指出图中的直线、射线和线段.
举一反三:
【变式】两条不同的直线,要么有一个公共点,要么没有公共点,不能有两个公共点. 这是为什么? 画图说明.
类型二、有关作图
2.如图(1) 所示,已知线段a ,b (a >b ) ,画一条线段,使它等于2a -2b .
举一反三:
【变式1】下列说法正确的有 ( )
①射线与其反向延长线成一条直线;②直线a 、b 相交于点m ;
③两直线相交于两个交点;④直线A 与直线B 相交于点M
A .3个 B .2个 C .1个 D .4个
类型三、个(条)数或长度的计算
3. 根据题意,完成下列填空.
如图所示,l 1与l 2是同一平面内的两条相交直线,它们有1个交点,如果在这个平面内,再画第3条直线l 3,那么这3条直线最多有________个交点;如果在这个平面内再画第4条直线l 4,那么这4条直线最多可有________个交点.由此我们可以猜想:在同一平面内,6条直线最多可有________个交点,n (n 为大于1的整数) 条直线最多可有________个交点(用含有n 的代数式表示) .
举一反三:
【变式1】平面上有n 个点,最多可以确定 条直线
【变式2】一条直线有n 个点,最多可以确定 条线段, 条射线
【变式3】一个平面内有三条直线,会出现几个交点?
4. 已知线段AB =14cm ,在直线AB 上有一点C ,且BC =4cm ,M 是线段AC 的中点,求线段AM 的长.
举一反三:
【变式1】如图所示,数轴上线段AB =2(单位长度) ,CD =4(单位长度) ,点A 在数轴上表示的数是-10,点C 在数轴上表示的数是16.若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动. (1) 问运动多少秒时,BC =8(单位长度)
(2) 当运动到BC =8(单位长度) 时,点B 在数轴上表示的数是________
(3) P 是线段AB 上一点,当B 点运动到线段CD 上时,是否存在关系式
若存在,求线段PD 的长;若不存在,请说明理由.
【变式2】如图,点C 在线段AB 上,AC = 8 cm,CB = 6 cm,点M 、N 分别是AC 、BC 的中点. (1)求线段MN 的长;
(2)若C 为线段AB 上任一点,满足AC+ CB=a cm ,其它条件不变,你能猜想MN 的长度吗?
并说明理由.
(3)若C 在线段AB 的延长线上,且满足AC -CB =bcm ,M 、N 分别为AC 、BC 的中点,你能猜想MN 的长度吗?请画出图形,写出你的结论,并说明理由. BD -AP =3. PC
类型四、路程最短问题
5. 如图所示,某公司员工分别住A 、B 、C 三个住宅区,A 区有30人,B 区有15人,C 区有10人.三个区在同一条直线上,该公司的接送车打算在此间设一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小,那么停靠点的位置应设在哪个区?
举一反三:
【变式】如图,从A 到B 最短的路线是( ) A .A-G-E-B B.A-C-E-B
C
.
A-D-G-E-B D.A-F-E-B