数学竞赛辅导材料(非数学专业组)(135006)(2)

2011年数学竞赛辅导材料

（非数学专业组）

中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容

一、函数、极限、连续

1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.

9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学

1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.

5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L ’Hospital ) 法则与求未定式极限.

7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线) 、函数图形的描绘.

8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1. 原函数和不定积分的概念.

2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.

3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz ) 公式.

4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分.

7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四. 常微分方程

1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.

2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli ) 方程、全微分方程.

3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y (n ) =f (x ), y ''=f (x , y '),

y ''=f (y , y ') .

4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.

5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.

6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler ) 方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何

1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.

3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.

5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离. 6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.

7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学

1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.

2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质. 3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. 4. 多元复合函数、隐函数的求导法. 5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.

6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线. 7. 二元函数的二阶泰勒公式.

8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. 七、多元函数积分学

1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标) 、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.

3. 格林(Green) 公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数. 4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.

5. 高斯(Gauss ) 公式、斯托克斯(Stokes ) 公式、散度和旋度的概念及计算.

6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 八、无穷级数

1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.

2. 几何级数与p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz ) 判别法. 3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛. 4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.

5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.

6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分) 、简单幂级数的和函数的求法.

7. 初等函数的幂级数展开式.

8． 函数的傅里叶(Fourier ) 系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei) 定理、函数在[-l , l ]上的傅里叶级数、函数在[0, l ]上的正弦级数和余弦级数

第一部分 一元函数极限与连续

一、一元函数的极限

1. 利用函数与其极限的关系（lim f (x ) =A ⇔ f (x ) =A +α，其中lim α=0） 2. 利用等价无穷小代换

思考题：设f (x ) 具有二阶导数，且lim ⎢1+x +

⎡x →0

⎣f (x ) ⎤

=e 3，试求f (0) ，f '(0) ，f ''(0) 及⎥x ⎦

1x

f (x ) ⎤⎡

lim ⎢1+. ⎥x →0x ⎦⎣

3. 利用夹逼准则

思考题①：（求周期函数的均值）设f (x ) 为定义在R 上以T >0为周期的连续函数，且

x

1

x

⎰

T

⎰f (x ) dx =A ，求证lim

x →+∞

f (t ) dt x

A 1 x

=；若f (x ) =x -[x ]，求lim ⎰f (t ) dt .

x →+∞x 0T

思考题②：证明lim x ⎢⎥=lim [x ].

x →0x →0x x 4. 利用导数定义

思考题：设g (x ) 满足g '(x ) +sin xg (x ) =cos x ，且g (0) =0，求lim

x →0

⎡1⎤

⎣⎦

1

g (x )

. x

5. 利用泰勒中值公式 思考题：求lim +

x →0

-e -x --cos x

sin 2x

.

6. 利用积分中值定理

1 b εf (x )

dx ，其中f (x ) 是[0, 1]上的连续函数，b >a >0. 思考题：求lim

ε→0+x ⎰ a εx

二、数列极限 类型1至6同函数极限

类型1思考题①：已知f (x ) 在x 0处可导，{αn }、{βn }为趋于零的正数数列，求

lim

n →∞

f (x 0+αn ) -f (x 0-βn )

=A .

αn +βn

n

⎡⎛1⎫⎤f a + ⎪⎥⎢n ⎝⎭⎥.

思考题②：已知f (x ) 在x =a 处可导，且f (a ) ≠0，求lim ⎢

n →∞⎢f (a ) ⎥⎢⎥⎣⎦

12 0类型6思考题：求lim

n →∞

⎰

x n

dx . 1+x

2

7. 利用定积分定义 思考题①：求lim

1n →∞n 2

n

-1+n 2-22+ +n 2-(n -1) 2.

]

思考题②：求lim ⎢

11⎤⎡1

. ++ +⎥n →∞4n +14n +24n +2n ⎣⎦

⎤⎥⎥. ⎥⎥⎦

8. 夹逼准则与定积分定义相结合

2πn π⎡π

sin sin sin ⎢n +n + +n 思考题：求lim ⎢

n →∞n +111⎢n +n +⎢2n ⎣

9. 利用数项级数的部分和 思考题①：求lim ⎢+ 思考题②：证明lim ⎢

11⎡1⎤

. + +⎥n →∞11+2+ +n ⎦⎣1+2

sin n ⎤⎡sin 1sin 2

存在. ++ +22⎥n →∞122n ⎦⎣

10. 利用级数收敛的必要条件 思考题：求lim

n 3n πn

，求lim sin .

n →∞n →∞n ! 4n +3

n

2

三、无穷小阶的比较

1. 方法：①利用常见的等价无穷小代换

②利用泰勒公式 ③上述两种方法结合 2. 思考题

①当x →0时，试确定下列无穷小的阶数

(1) x +2-2) (2) +x -1 (3) 3

n

x

-1

②当x →0时，3x -4sin x +sin x cos x 与x 为同阶无穷小，求n . 四、一元函数的连续性 思考题：对于函数y =

1x

2-12+1

1x

，点x =0是（ ）.

(A)连续点 (B)第一类间断点 (C)第二类间断点 (D)可去间断点

第二部分 一元函数微分学

f 3(1+x ) -f 3(1)

=1. 若f (1)=2, f '(1)=2, ，则极限lim

x →0x

2. 设ϕ(x ) =max{f 1(x ), f 2(x )},其中f 1(x ) =x +1, f 2(x ) =(x +1) 2, 则

-1

d ϕ

= . dx

3. 设函数

⎧⎪e x , x ≤1, f (x ) =⎨

⎪⎩ax +b , x >1.

若要f (x ) 为可导函数，应如何选择a , b ? 4. 设f (t ) =lim t (1+)

x →∞

2

1

x

2xt

, 求f '(t ).

dx 1d 2x d 3x =求出2和3. 5．试从

dy y 'dy dy

⎛x ⎫

6．求函数y = ⎪的导数.

⎝1-x ⎭

7

．求函数y =

x

.

8．已知函数f (x ) 在x =0的某个邻域内有连续导数，且

⎛sin x f (x ) ⎫lim 2+⎪=2, x →0x ⎭⎝x

试求f (0)及f '(0).

9．设y =e (x +2x +2), 求y

x

2

(20)

.

10．设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且f (a ) =f (b ) =0, 证明在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使

f '(ξ) =-λf (ξ),

这里λ为任意实数.

11. 设f (x ) 在[a , +∞) 上二阶可导，且f (a ) >0, f '(a ) a 时，f ''(x )

12n

12. 设f n (x ) =C n cos x -C n cos 2x + +(-1) n -1C n cos n x , 求证：

(1)对于任何自然数n ，方程f n (x ) =(2)设x n ∈(0,

1π

在区间(0,) 中仅有一根. 22

π

2

) 满足f n (x n ) =

1π，则lim x n =.

x →∞22

f (x +h ) +f (x -h ) -2f (x )

.

h 2

13. 若f (x ) 的二阶导数f ''(x ) 存在，求极限

lim

x →0

14. 设f (x ) 在[0,1]上具有连续的二阶导数，且f (0)=f (1)=0, f ''(x ) ≤A , x ∈(0,1).证明

f '(x ) ≤

A

, x ∈[0,1],A >0是常数. 2

1x

15. 求极限lim

⎛e +e + +e ⎫

⎪, n 为自然数. x →0n ⎝⎭

x 2x nx

⎧f (x )

, x ≠0, ⎪

16. 设f (x ) 在(-∞, +∞) 内二阶可导，f (0)=0, g (x ) =⎨x 求g '(x ).

⎪⎩f '(0),x =0,

217.

求数列{a n }=

的最大项（已知>37）.

2x

18. 求曲线y =1+的凹凸区间及拐点.

(x -1) 2

19. 求曲线y =x 2-2x 的曲率，曲率半径及最大曲率. 20. 已知x >0, y >0, x ≠y , 证明

x +y

. 2

f (x )

=2, 则在点x =0处 21. 已知函数f (x ) 在点x =0的某领域内连续，且f (0)=0,lim

x →01-cos x

f (x ) （ ）.

x ln x +y ln y >(x +y )ln

(A)不可导； (B)可导，且f '(0)≠0； (C)取得极大值； (D) 取得极小值.

22. 设f (x ) =(x -x 0) n ϕ(x ), 其中ϕ(x ) 在点x 0处连续（n 为自然数）. (1)证明f (x ) 在点x 0处可导，并求导数； (2)若ϕ(x 0) ≠0, 研究f (x ) 在点x 0处的极值. 23．设函数f (x ) 满足方程3f (x ) +4x f 24. 证明当x >0时，(1+x ) 25．设lim

1+1x

2

⎛-1⎫7

⎪+=0, 求函数f (x ) 的极大值和极小值. ⎝x ⎭x

1+

x 2

.

f (x )

=1, f ''(x ) >0, 证明f (x ) ≥x .

x →0x

1x

. 26．证明：当x

1-x

第三部分 一元函数积分学

1 设函数f (x ) 与g (x ) 在[a , b ]上连续且都大于零，则在区间[a , b ]上由曲线y = f (x ) ，y = g (x ) 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 (A) (C)

b

b

π⎰[f 2(x ) -g 2(x ) ]dx . (B) π⎰a [f 2(x ) -g 2(x ) ]dx .

a

π⎰|f (x ) -g (x ) |2dx . (D) π⎰|f 2(x ) -g 2(x ) |dx . [ ]

a

a

b b

+∞

2 对于广义积分

⎰1

dx

，下列结论正确的是 p

x ln x

(A) 当p > 1时，收敛. (B) 当p

(C) p 取任意实数都收敛. (D) p 取任意实数都发散. [ ] 3 设f (x ) 在[0 , 1]上可微，且f (0) = 0，0

113

证明：⎡⎰f (x ) dx ⎤>⎰f (x ) dx

⎢⎥0⎣0⎦

2

4 求

x ln x

⎰(1+x 2) 2

5 有一在原点处与x 轴相切并在第一象限的光滑曲线，P (x , y ) 为曲线上的任一点. 设曲线 在原点与P 点之间的弧长为S 1，曲线在P 点处的切线在P 点与切线跟y 轴的交点之间的 长度为S 2，已知

3S 1+22(x +1)

，求该曲线方程. =

S 2x

6 设一底半径为r ，高为h 的圆锥形容器被隔成左右对称不相连通的两部分，右半部分 盛满水. 若把右半部分的水抽到左半部分，使容器左半部分的水的体积是右半部分的七倍， 求抽掉右边那部分水所需作的功.

7

x 轴的

x -∞

切线之间的弧长

⎰8 设f (x ) 为连续的偶函数，且-∞

+∞

f (x ) dx =1

，令

F (x ) =⎰

f (t ) dt

，则

a F (-a ) =1-⎰f (x ) dx 0 (B) .

(C) F (-a ) =F (a ) . (D) F (-a ) =2F (a ) -1.

9 设f (x ) 在[-π , π]

2

f (x ).

10 设函数f (x ) 满足方程x f '(x ) -3f (x )=-6x ，且由曲线y=f (x ) ，直线x=1与x 轴 所围成的平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，求D 的面积. 11 设y=f (x ) 是在[0 , +∞) 上可导的正函数，且满足

f (x ).

12 设有一质量为M ，长为l 的均匀杆AB ，一质量为m 的质点C 位于杆AB 的中垂线上， 且与AB 的距离为a .

(1) 求杆AB 对质点C 的引力.

(2) 当质点C 在杆AB 的中垂线上从C 点移向无穷远处时，求克服引力所作的功.

13 求微分方程xdy +(x -2y ) dx =0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小.

14 设f(x)满足

f (x ) =x +x ⎰f (x 2-t ) dt +⎰⎰f (xy ) dxdy

D

2

x 2

, 其中D 是以(-1, -1), (1, -1) 和(1,1)

为顶点的三角形区域，且f(1)=0,求

⎰

1

f (x ) dx .

e arctan x +x ln(1+x 2)

15 ⎰dx 2

1+x x arctan x 16 ⎰dx

2+x

xe -x

17 求⎰dx 2

(1-x )

18 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x 轴围成平面图形D.

(1) 求D 的面积A;

(2) 求D 绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.

19 曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l 1与l 2分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

3

⎰0(x

2

+x ) f '''(x ) dx .

20 连续函数y =f (x ) 在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F (x ) =

⎰

x

f (t ) dt . 则下列结论正确的是

35

F (-2) . (B) F (3)=F (2). 4435

(C) F (-3) =F (2) . (D) F (-3) =-F (-2)

44

(A) F (3)=-

21 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在（a,b ）内有f '(x ) 0. 证明：在(a,b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=a所围平面图形S 1是曲线y=f(x)与两直线y= f(ξ),x=b所围平面图形面积S 2的3倍. 22 计算下列极限:

1p +2p + ⋅ ⋅ ⋅ +n p 1n i

(1)lim ∑+; (2)lim (p >0); .

p +1n →∞n →∞n n n i =1

x x n !

lim f (t ) dt , 其中f (x ) 连续; (3)lim ln ;. (4)⎰a x →a n →∞x -a n

(5)lim

⎰0(arctan

x

t ) 2dt

x →+∞

x 2+1

. (6)

1dx p

23 设p >0, 证明

(7)

24 设f (x ) 为连续函数, 证明

⎰0

x

f (t )(x -t ) dt =⎰[⎰f (u ) du ]dt

x t

25 设f (x ) 在区间[a , b ]上连续, g (x ) 在区间[a , b ]上连续且不变号. 证明至少存在一点

x ∈[a , b ], 使下式成立

⎰a

b

f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx

a

+∞

b

26 .(1)证明:

n -1+∞n -2-x 2

x e dx , (n >1) ⎰0

2⎰0

+∞2n +1-x 21

e d x =Γ(n +1)(n ∈N ) (2)证明⎰x

02

x n e -x dx =

2

27 半径为r 的球沉入水中, 球的上部与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球从水中取出, 需作多少功?

28 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成α 角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为ρ, 试求薄板每面所受的压力.

29 设f (x ) 在[a +c , b +c ]可积，证明f (x +c ) 在[a , b ]上可积，且

b

b +c

⎰

a

f (x +c ) dx =⎰

a +c

f (x ) dx

30 设f (x ) 在[a , b ]连续，f (x ) ≥0，f (x ) 不恒为零，证明

⎰

31 f (x ) 在[a , b ]连续，

b

a

f (x ) dx >0.

⎰

b

a

f 2(x ) dx =0，证明f (x ) 在[a , b ]上恒为零

32 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) 1≤ (3)

⎰

1

e dx ≤e ； (2)

x 2

(4)

(2)

33 证明：(1)

34 设f '(x ) 在[a , b ]连续，且f (a ) =

035 设f (x ), g (x ) 在[a , b ]连续，求证：

而且等号成立当且仅当g (x ) =λf (x ) (或f (x ) =λg (x ) ) ，其中λ为常数。 36 设f (x ), g (x ) 在[a , b ]连续，求证：

而且等号成立当且仅当g (x ) =λf (x ) (λ≥0常数).

37 设f (x ) 在[0, +∞

) 增

38 设f (x ) 在所示区间上是连续函数，证明：

(0, +∞) 上连续且单调递

(1)

(2)

39 设f (x ) 在x >0时连续，对任意a , b >0，积分值

⎰

ab

a

f (x ) dx 与a 无关，

c 为常数） 40 讨论下列积分的收敛性:

(1)

(3)

1p (4)

(5) (6) |ln x |dx ; ⎰01

(7)

(9) ⎰x αln xdx ;

(10)

(11)

41 求下列积分

tan x dx x ⎛1-x ⎫⎰e dx dx （1）⎰ （2） （3）⎰ 22⎪71+tan x +tan x ⎝1+x ⎭sin x cos x

（4）I n

2

=⎰

νn

u

dx ，其中u =a 1+b 1x ，ν=a 2+b 2x ，求递推形式解。

1

=，作换元积分。 t

' '

提示 （6）令x =sec t 或x

42 证明：若ϕ在[0, a ]上连续，f 二阶可导，且f (x )≥0，则有

⎛1a ⎫f ⎰0ϕ(t )dt ⎪ ⎝a ⎭

1a

⎰0f (ϕ(t ))dt ≥a

提示 记c =

1a

⎰0ϕ(t )dt ，由f 为凸函数，从而有 a

f (x )≥f (c )+f ' (c )(x -c )

说明 本题指出了在所给条件下，先复合而后积分平均与先取积分平均而后复合两者之间的大小关系，当f

' '

(x )≤0时，不等式反向。

43 证明下列命题：

（1）若f 在[a,b]上连续、递增，则

⎧1x

⎪x -a ⎰a f (t )dt , x ∈(a , b ]， F (x )=⎨

⎪f (a ), x =a ⎩

在[a,b]上亦递增。

（2）若f 在[0, +∞)上连续，且f (x ) 0，则

x x

ϕ(x )=⎰0tf (t )dt /⎰0f (t )dt (x 0)

在(0, +∞)上为严格递增函数，若要ϕ在[0, +∞)上亦为严格递增，试问应补充定义ϕ(0)=? 提示 （1）通过验证在(a , b ]上F ' (x )≥0，且F 在点a 右连续。 （2）通过验证在(0, +∞)上ϕ

'

(x ) 0；应补充定义ϕ(0)=lim ϕ(x )的值。

x →0+

44 设f 在[0, +∞)上连续，且

1x

⎰0f (t )dt =A

x →+∞x lim

1x 11

⎰0f (t )dt =⎰0x f (t )dt +⎰x x f (t )dt ， x x x

提示 先证在所设条件下f 在[0, +∞)上必定有界，令f (x ≤M ，再令

并分别证明

1x M

⎰0f (t )dt ≤→0(x →+∞)； x x

⎛1x 1⎫⎰f (t )dt = 1-⎪ ⎪f (ξ)→A (x →+∞)， x x ⎭⎝

其中

x ≤ξ≤x

x →+∞

说明 本题的意义是，在极限lim f (x )=A 存在的条件下，f (x )在[0, +∞)上的积分平均值即等于A ，然而此命题不可逆（反例可由下面第4题容易得出）。

45 设f 是定义在(-∞, +∞)上的一个连续周期函数，周期为p ，证明

1x 1p

⎰0f (t )dt =⎰0f (t )dt

x →+∞x p lim

提示 ∀x 0，∃x 0∈

(0, p ]，n ∈N ，使x =x 0+np ；并随之有

1x 11x 0+np np

⎰0f (t )dt =⎰0f (t )dt +⎰np f (t )dt x x 0+np x 0+np

然后分别证明

11p np

⎰0f (t )dt =⎰0f (t )dt ；

x →+∞x +np p 0lim

1x 0+np

⎰np f (t )dt =0

x →+∞x +np 0lim

46 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。 提示 设

x

F (x )=⎰0f (t )dt ，

则f 的一切原函数为G (x )=F (x )+C ，C 为任意常数。 当f 为奇函数时，验证G (-x )=G (x )； 当f 为偶函数时，验证只有当C=0时满足G

(-x )=-G (x )

*47 设f 为(0，+∞)上的一个连续、递减函数，

n

f (x )>0；又设

n

a n =∑f (k )-⎰1f (x )dx

k =1

证明{a n }为收敛数列。 提示： 当x ∈

[k , k +1]时，f (k +1)≤f (x )≤f (k )，于是有 +1

f (k +1)≤⎰k f (x )dx ≤f (k ), k =1, 2, , n -1， k

dx -x

4

48 证明下列不等式： （1）

π

22

1

π

2

;

1⎛1⎫+∞-x 21

（2） 1-⎪

02⎝e ⎭2e

提示 （1）利用0

1111

2⋅-x +x -x -x -x

（2）利用

⎰0

⎰0

（1）

+∞-x 2

+∞-x 2

e

dx >⎰0e

1-x 2

dx >⎰0xe

1

-x 2

dx ,

+∞

-x 2

e

dx =⎰0e

1-x 2

dx +⎰1e

+∞-x 2

1+⎰1xe

dx .

49 计算下列反常积分的值：

⎰0

+∞

ln x

dx (=0); 2

1+x

π

（2）

⎰02ln(tanθ) d θ(=0).

+∞

1ln x +∞ln x 1ln x dx =+dx =I +I x =。经变换，可得I 2=-I 1。 12⎰01+x 2⎰01+x 2⎰11+x 2

t

（4）经变换x =tan θ，化为（1）。

*50 设f 在[0, +∞)上连续，0

提示 （3）

x →+∞

⎰0

+∞

f (ax ) -f (bx ) b

=[f (0) -k ]ln ;

x a

第四部分 空间解析几何

1．求过(1, 2, 3) 且与曲面z =x +(y -z ) 的所有切平面皆垂直的平面方程。 2．求过直线L :⎨

3

⎧x +5y +z =0π

并且与平面x -4y -8z +12=0交成二面角为的平面方程。

4⎩x -z +4=0

x +1y -1z

==垂直并相交的直线方程。 32-1

3．求过点M (2, 1, 3) 且与直线L :

4．求直线L :

x -1y z -1

==在平面π:x -y +2z -1=0上的投影直线l 0的方程，并求l 0绕y 轴旋11-1

转一周所成曲面的方程。

5．求经过点M (2, -1, 3) ，平行于平面P :x -y +z =1，并且与直线L :x =-1+t ，y =3+t ，z =2t 相交的直线方程（t 为参数）。

6．求曲面(x +2) 2-z 2=4，(x -2) 2+y 2=4在YOZ 平面上的投影曲面方程。 7．求两直线L 1:

x -1y -2z -3x +2y -1z

====的公垂线L 的方程。 ，L 2:10-1211

8．记曲面z =x 2+y 2-2x -y 在区域D :x ≥0, y ≥0, 2x +y ≤4上的最低点P 处的切平面为π，曲

⎧x 2+y 2+z 2=6'

线⎨在点(1, 1, -2) 处的切线为l ，求点P 到π上的投影l 的距离d 。 ⎩x +y +z =0

⎧z =x ⎧x +2y -3=0

9．求曲线⎨与⎨的距离。

z =0y =0⎩⎩

⎛∧⎫

10．设a +b +c =0, a =3, b =5, c =7, 求 a , b ⎪.

⎝⎭

第五部分 多元函数微分学

1．证明函数

2．验证函数

在原点(0, 0) 连续且可偏导，但除方向e i 在。

1⎧22

x +y ⋅sin , x 2+y 2≠0⎪

3．证明f (x , y ) =⎨在(0, 0) 处连续且偏导数存在，但偏导数在x 2+y 2

⎪0x 2+y 2=0⎩

(0, 0) 处不连续，而f 在原点(0, 0) 可微。

()

4．设z =f (x , y ) =

sin xy cos y +2-(y -1) cos x ∂z

，求

1+sin x +sin(y -1) ∂y

(0, 1)

x 2-y 222

5．设f (x , y ) =xy 2，若x +y ≠0及f (0, 0) =0，证明：f xy (0, 0) ≠f yx (0, 0). 2

x +y

6．函数z =f (x , y ) 满足

f (0, y ) =2sin y +y 3。 求f (x , y ) 的表达式。

22

y x 2∂g 2∂g 7．设f (u ) 具有二阶连续导数，且g (x , y ) =f () +yf () ，求x -y . 22x y ∂x ∂y

8．设由x

=zx y +x 确定z =z (x , y ) ，求dz (e , 0)

d 2z

x =0,

dx 2

9．已知函数f (u ) 具有二阶导数，且f '(0)=1，函数y =y (x ) 由方程y -xe y -1=1所确定，

dz

设z =f (lny -sin x ) ，求

dx

10．设x =0

.

f (r , t )

r 2-α

=t e 4t ，确定α使得

f 满足方程

2

11．设f (x , y ) 具有连续偏导数，且f (x , x 2) =1，f x (x , x 2) =x ，求f y (x , x ) 。 12．设f (x , y ) 具有连续偏导数，且f (1, 1) =1，f x (1, 1) =2，f y (1, 1) =3。

如果ϕ(x ) =f (x , f (x , x )) ，求ϕ'(1) 。 13

具有连续导数，且 f (t ) f

(t ) ≠014．设函数u

=f (lnx 2+y 2), 满足 ∂2u ∂x

22

+

∂2u ∂y

2

2

=(x +y ) ，试求函数f 的表达式。

22

3

15．设函数f (u ) 在(0,+∞

) 内具有二阶导数，且z =f

满足等式

f '(u )

=0； u

（II ）若f (1)=0, f '(1)=1，求函数f (u ) 的表达式.

（I ）验证f ''(u ) +16．设u

=f (x , y , z ) ，f 是可微函数，若

x 2+y 2+z 2

'f x 'f y f z '

，证明u 仅为r 的函数， ==

x y z

其中r =

17

f 具有二阶连续偏导数，g

18．设u (x , y ) 具有二阶连续偏导数，证明u (x , y ) =

f (x ) g (y ) 的充分必要条件是

∂2u ∂u ∂u u =⋅（u ≠0） ∂x ∂y ∂x ∂y

19．求函数f (x , y )=e x +y 的n 阶麦克劳林公式，并写出余项。（查阅二元函数的泰勒（Taylor ）公式） 20．设f (x , y ) 具有二阶连续偏导数。在极坐标⎨

⎧x =r cos θ,

变换下，求

y =r sin θ⎩

关于极坐标的表达式。 21

变换方程

22．设y =f (x , t ) ，而t 是由方程F (x , y , t ) =0所确定的x , y 的隐函数，其中f 和F 都具有连续偏导数。证明

dy f 'F '-f 'F '

=

'''F t +f t F y dx

2

2

2

23．设椭球面2x +3y +z =6上点P (1, 1, 1) 处指向外侧的法向量为n

P 处沿方向n 的方向导数。

24

F 具有连续偏导数。 2

2

2

25．设F (x , y , z ) 具有连续偏导数，且F x +F y +F z ≠0。进一步，设k 为正整数，F (x , y , z ) 为k 次齐次函数，即对于任意的实数t 和(x , y , z ) ，成立

F (tx , ty , tz ) =t k F (x , y , z ) 。

证明：曲面F (x , y , z ) =0上所有点的切平面相交于一定点。 26．求函数u =向导数。

x x 2+y 2+z 2

2

在点M (1, 2, -2)沿x =t ，y =2t ，z =-2t 在此点的切线方向上的方

4

x 2y 2z 2

27．求内接于椭球面2+2+2=1的最大长方体的体积。

a b c

28．证明：旋转曲面z =f 29． 试证曲面x +

x 2+y 2(f '≠0) 上任一点处的法线与旋转轴相交。

)

y +z =a (a >0) 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。

222222

30．求函数f (x , y ) =x +2y -x y 在区域D ={(x , y ) x +y ≤4, y ≥0}上的最大值和最小值。

222

31．设z=z(x,y)是由x -6xy +10y -2yz -z +18=0确定的函数，求z =z (x , y ) 的极值点和极值.

32．求二元函数f (x , y ) =x 2(2+y 2) +y ln y 的极值

222⎧x +2y +2z -5x =0dy dz ⎪

33．求曲线Γ: ⎨ 的及在点( 1, 1, 1 )的切线与法平面方程。

dx dx ⎪⎩2x －3y +5 z －4=0

34．证明函数f (x , y ) =(1+e y ) cos x -y e y 有无穷多个极大值点，但无极小值点。

第六部分 多元函数积分学

重积分专题

1、设D 是xoy 平面上以(1, 1) ，(-1, 1) 和(-1, -1) 为顶点的三角形区域，D 1是D 在第一象限的部分，则

⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy =（ ）

D

（A ）2

⎰⎰cos x sin ydxdy （B ）2⎰⎰xydxdy

D 1

D 1

（C ）4

⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy （D ）0

D 1

2、计算

x 2+y 2+z 2=2Rz

⎰⎰⎰z (x

2

+y 2+z 2) dv

x 2y 2z 2

3、利用对称性计算⎰⎰⎰(2+2+2) dv ，其中Ω为闭区域x 2+y 2+z 2≤1

a b c Ω

222

4、设f (x ) 连续，f (0) =k ，V t 由0≤z ≤k , x +y ≤t 确定，试求lim +

t →0

F (t )

，其中2

t

F (t ) =⎰⎰⎰[z +f (x 2+y 2)]dxdydz 。

V t

5、设函数f (t ) 在[0, +∞) 上连续，且满足方程f (t ) =e 4πt +

2

x 2+y 2≤4t 2

⎰⎰

f (

12

x +y 2) dxdy ，求f (t ) 。 2

t →0

Ω：x 2+y 2+z 2≤2tx ，y ≥0。6、设f (x ) 在u =0可导，f (0) =0，求lim +

7、设函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续，且满足f (t ) =2

1

t 5

⎰

f (x 2+y 2+z 2) dv 。

Ω

x 2+y 2≤t 2

22224

，求f (x ) 。 (x +y ) f (x +y ) dxdy +t ⎰⎰

8、改变积分次序9、交换积分次序10、计算

⎰

1

02

dy ⎰2f (x , y ) dx

y -1e x -e +11

x

1-y

⎰dx 1

f (x , y ) dy

⎰dy ⎰

1π-arcsin y

arcsin y

x dx

11、设D 为y =x , x =

π

2

, y =0所围的平面图形，求⎰⎰cos(x +y ) dxdy 。

D

12、D ：x ≤1, y ≤1，计算13、计算

⎰⎰y -x dxdy

D

⎰⎰

D

y -x 2dxdy ，D ：x ≤1，0≤y ≤2

14、已知两个球的半径分别是a 和b (a >b ) ，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球的那部分的体积。

15、设锥面z 2=3x 2+3y 2(z ≥0) 被平面x -3z +4=0截下的（有限）部分为∑，求∑的面积。 16、设有一个半径为R 的球体，P 0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P 0的距离的平方成正比（比例常数k >0），求球体的重心位置。 17、证明

3π

44

π≤⎰⎰⎰x +2y -2z +5dv ≤2⋅π，其中Ω为x 2+y 2+z 2≤1 33Ω

b

思考：证明2⋅18、设

f (x ) ，g (x ) 均为[a , b ]上的连续增函数，(a , b >0) 。证明：

b a

a

⎰

b

a

f (x ) dx ⋅⎰g (x ) dx ≤(b -a ) ⎰f (x ) g (x ) dx

19、设f (x ) 是[0, 1]上的连续函数，证明20、作适当的变换，计算

⎰e

1

f (x )

dx ⎰e -f (y ) dy ≥1

1

⎰⎰x

D

2

y 2dxdy ，其中D 是由两条双曲线xy =1和xy =2，直线y =x 和y =4x

所围成的在第一象限内的闭区域。

21、求区域D 的面积，D 是由曲线xy =4, xy =8, xy 3=5, xy 3=15所围成的第一象限部分的闭区域 22、设I =

⎰⎰

D

⎧1

⎪≤y ≤x

，则I 在极坐标下的二次积分为 f (x , y ) dxdy ，其中D ：⎨x

⎪⎩1≤x ≤2

23、设D 是由x ≥0, y ≥x 与x 2+(y -b ) 2≤b 2，x 2+(y -a ) 2≥a 2(0

⎰⎰xydxdy 。

D

⎧a , 0≤x ≤1

24、设f (x ) =⎨，D 为-∞

0, 其他⎩D

25、设D 域是x 2+y 2≤1，试证明不等式：

612

π≤⎰⎰sin (x 2+y 2) 3dxdy ≤π 1655D

线面积分专题

1、计算曲线积分

C

xdy -ydx 222

C 。(1) 是正向圆周 ， (x -a ) +(y -a ) =a 22

x +y

(2) C 是正向曲线x +y =1。

⎧x 2+y 2+z 2=a 2,

2、计算I =[(x +2) +(y -3) ]ds ，其中Γ:⎨a >0。

Γ

⎩x +y +z =a ,

2

2

3、设曲线AB 的方程为x 2+y 2=4y -3(x ≥0) ，一质点P 在力F 作用下沿曲线AB 从点A (0, 1) 运动到点B (0, 3) ，力F 的大小等于点P 到定点M (2, 0) 的距离，其方向垂直于线段MP ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F 对质点P 所作的功。

4、计算曲面积分I =5、计算

2dydz dzdx dxdy 222

+-⎰⎰x cos 2x cos 2y z cos 2z ，其中S 是球面x +y +z =1的外侧。

s

222x dydz +y dxdz +z dxdy ，S 为球壳(x -a ) 2+(y -b ) 2+(z -c ) 2=R 2的外表面 ⎰⎰S

6、计算x ds ，其中C 为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, x +y +z =0。

⎰C

2

x 2

7、设L 是顺时针方向的椭圆+y 2=1，其周长为l ，则(xy +x 2+4y 2) ds =L 4

8、应用高斯公式计算三重积分

⎰⎰⎰(xy +yz +zx ) dxdydz ，其中V 是由x ≥0，y ≥0，0≤z ≤1与

V

x 2+y 2≤1所确定的空间区域。

222222

9、求I =(z +y ) dx +(x +z ) dy +(y +x ) dz ，其中L 是球面x 2+y 2+z 2=2bx 与柱面

L

x 2+y 2=2ax (b >a >0) 的交线(z ≥0) ，L 的方向规定为沿L 的方向运动时，从z 轴正向往下看，曲

线L 所围球面部分总在左边。（提示：斯托克斯公式）

∂2f ∂2f -(x 2+y 2) 10、设函数f (x , y ) 在闭区域上有二阶连续偏导数，且， +=e

∂x 2∂y 2

证明：

⎰⎰(x

D

∂f ∂f π

。 +y ) dxdy =

∂x ∂y 2e

32222

π≤⎰xds ≤π

C 82

11、设曲线C :y =sin x , 0≤x ≤π，证明：

12、设曲面∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2，M 0(x 0, y 0, z 0) 是空间中任意一点，计算曲面积分

ρ

∑

dS

，

其中，ρ=

(x -x 0) 2+(y -y 0) 2+(z -z 0) 2。

第七部分 级数、微分方程

（一）级数部分

1、 已知数列{na n }收敛，

∞

∞

∑n (a

n =2

n

-a n -1) 也收敛，求证：∑a n 收敛。

n =1

2、 设a n >0(n =1, 2, 3, ) ，S n =a 1+a 2+ +a n ，试判别级数3、 设级数

a n

的敛散性。 ∑2s n =1n

∞

∑a n 条件收敛，极限lim

n =1

∞

a n +1

=r 存在，求r 的值，并举出满足这些条件的例子。

n →∞a n

4、 设a 0=0，a n +1=是发散。

2+a n , n =0, 1, 2, ，讨论级数∑(-1) n -12-a n 是绝对收敛、条件收敛还

n =1

∞

1

5、 讨论级数∑(1-)

n n =2

∞

n ln n

的敛散性。

x 2-4x +14

6、 试将函数展开为马克劳林级数，并写出其收敛域。

(x -3) 2(2x +5)

7、 求级数

∑x

n =0

∞

x 2

2n +1

n

-1

(|x |

9. 设数列{x n }单调增，有界，且x n >0，试判别级数

∑(1-

n =1

∞

x n

) 的敛散性。 x n +1

1) ∞∞a n

=λ，求证：当λ>1时级数∑a n 收敛；当λ0) ，若lim

n →∞ln n n =1n =1

∑a

n =1

∞

n

发散。

11. 设f (x ) 在(-∞, +∞) 上无穷阶可导，且满足 （1）∃L >0，使得|f （2）f () =0,

(n )

(x ) |≤L , n ∈N , x ∈R ；

1

n =1, 2, 3, 。

n

求证：f (x ) =0, x ∈R 。

12. 判别级数

ln(n ! )

敛散性。 ∑α

n =1n

∞

1

，判别级数∑x n 的敛散性。 +a n -1，x n =a n n =1

∞

13. 设a 1=1，a 2=2，…, a n =a n -2

14. 设f (x ) 在(-∞, +∞) 上有定义，在x =0的邻域内f 有连续的导数，且lim

x →0

f (x )

=a >0，讨论级数x

∑(-1)

n =1

∞

∞

n +1

1

f () 的敛散性。 n

1

n

15. 讨论

∑(n -ln(1+n )) 的敛散性；已知x

n =1

1

=1+

11

+ +-ln(1+n ) ，证明：数列{x n }收敛；求2n

lim

111

(1++ ) 。

n →∞ln n 2n

16. 设函数ϕ(x ) 是(-∞, +∞) 上的连续的周期函数，周期为1，且

连续的导数，a n =

⎰ϕ(x ) dx =0，函数f (x ) 在[0, 1]上有

⎰

1

2

收敛。 f (x ) ϕ(nx ) dx ，证明：∑a n

n =1

∞

17. 设函数f (x ) 在|x |≤1上有定义，在x =0的某邻域内有连续的二阶导数，x ≠0时f (x ) ≠0，当

x →0时f (x ) 是x 的高阶无穷小，且∀n ∈N ，有

|

∞

b n +1

|≤|b n

f (

1) n +1| f () n

证明：级数

∞

∑

n =1

n b n +1收敛。

(-1) n -12n +1

18. 将级数∑的和函数展开为x -1的幂级数。 x 2n

2n =0(2n +1)!

19. 设{a n },{b n }为满足e

a n

=a n +e , n ≥1的两个实数列，已知a n >0(n ≥1) ，且∑a n 收敛。证明：

b n

n =1

∞

b n

也收敛。 ∑a n =1n

∞

20. 设a 1=1，a 2=1，a n +2=2a n +1+3a n , n ≥1，求21. 判别级数

∑a

n =1

∞

n

x n 的收敛半径、收敛域及和函数。

∑

∞n =1

∞

1(n ! )

α

的敛散性，其中α>0。

n =122. 判别级数23. 设a n =24. 求(

[

(-1) ∑

]

1

⋅的收敛性。 n

∞

π

⎰

n

40

∞

a n 1

tan x dx ，（1）求∑(a n +a n +2) 的值；（2）证明：∑λ收敛(λ>0) 。

n n n =1n =1

n

∑x

n =1

∞

3

) 中x 20的系数。

（二）微分方程部分

1、求微分方程y ' ' +(siny -x )(y ' ) 3=0的通解。

2、求一函数f (x ) ，使其在x =0的某邻域内有界，且满足方程 f (x ) -

1x

f () =x 2。 22

'

3、求函数ϕ() ，使得微分方程y =

' '

x y y x x +ϕ() 有通解y =。 x y ln |Cx |

'

4、求二阶常系数线性微分方程y +λy =2x +1的通解，其中λ为常数。

'

5、设函数f (x , y ) 可微，f x (x , y ) =-f (x , y ) ，f (0,

π

2

n

) =1，且满足

1⎫⎛

f (0, y +) ⎪

⎪=e cot y ， lim

n →∞ f (0, y ) ⎪ ⎪⎝⎭

求f (x , y ) 。

6、设f (0) =3，试确定可微函数f (x ) 使曲线积分

⎰(1+y ) f (x ) dx +(f (x ) +x ) dy

L

与路径无关。

7、设函数f (t ) 在[0, +∞) 上可导，且满足

f (t ) =e πt +⎰⎰f (x 2+y 2) d σ，

D

2

其中，D :x 2+y 2≤t 2。求f (t ) 。

8、设函数f (t ) 在[0, +∞) 上连续，Ω(t ) =(x , y , z ) ∈R 3|x 2+y 2+z 2≤t 3, z ≥0，S (t ) 是Ω(t ) 的表面，D (t ) 是Ω(t ) 在xoy 平面的投影区域，L (t ) 是D (t ) 的边界曲线，已知当t ∈(0, +∞) 时，恒有

{}

L (t )

f (x 2+y 2) x 2+y 2ds +

2

2

2

S (t )

222(x +y +z ) dS ，

2

2

=

求f (t ) 的表达式。

D (t )

⎰⎰f (x +y ) d σ+⎰⎰⎰x +y +z dV

Ω(t )

∂2z ∂2z

9、设函数f (u ) 具有连续导数，函数z =f (e sin y ) 满足方程2+2=(z +1) e 2x ，若f (0) =0，

∂x ∂y

x

f ' (0) =0，求函数f (u ) 的表达式。

10、设曲线y =y (x ) 上任一点P (x , y ) 处得切线在y 轴上的截距等于在同点处法线在x 轴上的截距，求此曲线方程。

' ' ' ' '

11、设h (t ) 为三阶可导函数，u =u (xyz ) ，h (1) =f xy (0, 0) ，h (1) =f yx (0, 0) ，且满足

∂3u

=x 2y 2z 2h ' ' ' (xyz ) ，

∂x ∂y ∂z

求u 的表达式，其中

⎧x 2-y 2

, ⎪xy

f (x , y ) =⎨x 2+y 2

⎪0, ⎩

(x , y ) ≠(0, 0) (x , y ) =(0, 0)

3

。

12、以yoz 坐标面上的平面曲线段y =f (z ) (0≤z ≤h ) 绕z 轴旋转所构成的旋转曲面和xoy 坐标面围

3

成一个无盖容器，已知它的底面积为16πcm ，如果以3cm /s 的速度把水注入容器中，水表面的面积2

以πcm /s 增大，试求曲线y =f (z ) 的方程。

x 2(t )

13、设x (t ) 是微分方程5x +10x +6x =0的解，证明函数f (t ) =

1+x 4(t )

' '

'

(t ∈R ) 有最大值，并求它

的最大值。

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