IIR数字滤波器的原理.设计与应用

本科毕业设计（论文）

题目 IIR数字滤波器原理、设计方法和应用

系 别

年 级

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学生姓名

指导教师

论文提交日期

物理与电子工程学院 09级 1604091 专 业 学 号 朱涛 职 称 2014-9-26 电子信息工程 160409126

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IIR 数字滤波器的原理、设计与应用

摘 要

本文首先介绍了数字滤波器的基本结构特点和表示方法，阐述无限冲激响应(IIR)数字滤波器的结构特点，如直接I 型、直接II 型IIR 滤波器以及级联型和并联型IIR 滤波器结构，接着介绍IIR 滤波器的设计问题，从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器、利用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR 滤波器，最后利用MATLAB 的fadtool 工具设计典型的IIR 数字滤波器，并通过编程和滤波器函数调用实现多种频率混叠信号的低通、带通、高通滤波和降噪处理，对比结果分析了滤波器的性能。论文从IIR 数字滤波器原理、设计到应用思路开展课题工作，通过理论学习和编程操作，加深了对IIR 数字滤波器设计和数字信号处理技术的理解，完成了课题任务，实现了课题的目的和意义。

关键词： IIR 滤波器 滤波器设计 数字信号处理 MATLAB

IIR digital filters: Principle, Design and Application

Abstract

The thesis firstly introduces the basic stucture characteristcs and expression methods, and mainly describes the structure charactersitcs of IIR digital filters: Direct I typle, Direct II type, Concated type and Parallel type. And then the design method of IIR digital filters by transfer from analog filter, pulse response invariation and bire-linearity invariation method are discussed, and finally some typical IIR digital filters using the fdatool function of MATLAB are designed. We write the programs that call for these IIR digital filter functions to realize low pass filtering, band pass filtering, high pass filtering and noise reduction of the multiple frequency co-existing signals, and analyze the performance of the IIR filters. The thesis conducts the work form principle, design and application infrastructure of IIR digital filter, through principle study and programming practice deepens the understuding about IIR digital filter design and digital signal processing technology, and finally finishes the task of thesis issue and realizes the aim meaning of thesis design.

Key Words: IIR filter; filter design; digital signal processing; MATLAB

目 录

1 引言 . .......................................................................................................................................... 1

1.1 国内外发展现状 .................................................................................................................. 1

1.2 IIR数字滤波器的应用 . ........................................................................................................ 1

1.3 选题意义 .............................................................................................................................. 2

1.4 本文主要研究内容 .............................................................................................................. 2

1.5 MATLAB软件介绍 ............................................................................................................. 2 2 IIR数字滤波器原理 ............................................................................................................. 3

2.1 数字滤波器的结构与表示方法 .......................................................................................... 3

2.2 无限长单位冲激响应滤波器（IIR ）的基本结构 . ............................................................ 5

2.2.1 直接I 型IIR 滤波器 . .................................................................................................... 6

2.2.2 直接II 型IIR 滤波器 . ................................................................................................... 6

2.2.3 级联型结构 . ................................................................................................................... 7

2.2.4 并联型结构 . ................................................................................................................... 8 3 IIR滤波器的设计 ................................................................................................................ 10

3.1 由模拟滤波器设计IIR 数字滤波器 . ................................................................................ 10

3.1.1 模拟低通滤波器原型 . ................................................................................................. 10

3.1.2 巴特沃兹（Butterworth ）低通滤波器的设计 .......................................................... 10

3.1.3 切比雪夫（Chebyshev ）滤波器的设计 . ................................................................... 12

3.1.4 由模拟滤波器设计IIR 数字滤波器 .......................................................................... 13

3.2 冲激响应不变法 ................................................................................................................ 13

3.2.1 变换原理 . ..................................................................................................................... 13

3.2.2 混叠失真 . ..................................................................................................................... 14

3.3 双线性变换法 .................................................................................................................... 15 4 利用MATLAB 数字信号处理工具箱设计IIR 数字滤波器 . ............................... 16

4.1 MATLAB滤波器设计分析工具简介 ............................................................................... 16

4.2 IIR 型Butterworth 滤波器................................................................................................ 18

4.3 Chebyshev I和ChebyshevII 型的IIR 滤波器设计与降噪应用 ..................................... 22 5 总结与展望 . .......................................................................................................................... 25 参考文献 .................................................................................................................................... 27 致谢 . ............................................................................................................................................. 28

1 引言

1.1 国内外发展现状

数字信号技术在不断提升，以其独特的影响和渗透入千家万户的生活。无论经济、文化、政治还是其他领域，在这信息化大发展的时代里，最有竞争力的服务就是利用数字信号技术辅助信号更好更快的工作。在这广阔的领域中，滤波是最基本的信号处理方法，这里我介绍的就是IIR 数字滤波器，IIR 滤波器的结构为递归，有存储单元少，简便易行，不容易被外界影响的优点。正因为这样所以可以满足精度高、稳定、灵活等模拟滤波器无法达到的滤波功能。

早在60年代，因计算机和集成电路的发展，数字滤波器实现软件化，这在当时是没什么的，但随计算机小型化、多功能化，以及价格的下降，数字滤波器显示了远比模拟滤波器更强的竞争力，随便带着一个编制好的数字滤波器仿真的笔记本，到哪你都可以随时登记数据，计算结果，查验图像。

1.2 IIR数字滤波器的应用

IIR 数字滤波器的设计主要是利用模拟滤波器成熟的设计理念来设计，拥有一些典型模拟滤波器优良幅度特性。所以适用于消除噪声降低信噪比，在频带信号中分离信号。从信号中滤除你不需要的部分，优化信号的质量。

数字滤波重要的学科和技术领域，声学、通信、数据通信、控制系统和雷达都涉及信号，而数字滤波是基本算法。广泛用于数字图象处理、谱分析以及电信设备、控制系统中。其中应用比较广泛的有几个个方面：

1）语音方面：语音信号分析、语音合成、语音识别、语音增强。

2）图像处理：清除噪音和干扰、图像识别。

3）日常家电的信号传输。

4）雷达、声呐、生物医学信号处理。

5）音乐、通信。

6）其他领域。

1.3 选题意义

通过学习数字滤波器的相关原理，实现数字滤波器的设计通过借助于模拟滤波器设计方法进行，其设计思路是：先设计模拟滤波器得到传输函数G(s)，然后将G(s)按某种方法转换为数字滤波器的系统函数H(z)，实现波形的产生。

同时，也对MATLAB 软件进行熟悉和了解，对MATLAB 7.0软件中的滤波器设计部分的用法和参数设置做到先了解再精通，然后运用MATLAB 软件对“IIR 数字滤波器”进行设计，并逐步地对各个模块进行分析、参数设计与验证图像。

1.4 本文主要研究内容

本文介绍如何应用MATLAB 工具箱对IIR 数字滤波器进行滤波器设计，其中包括数字滤波器和模拟滤波器的设计等内容。通过MATLAB 软件设计的仿真，使我对IIR 数字滤波器有了新的认识，加深了对数字滤波器工作原理的理解，提高了进一步研究和设计的欲望。本文已经完成的主要工作如下：

（1）详细分析滤波器滤波原理和方法以及MATLAB 工具箱开发环境的基本用法。

（2）在对滤波器滤波方法进行了深入的探索研究的基础上，用MATLAB 设计完成滤波器并实现功能的设计。

（3）根据设计的不同规格的滤波器，对滤波器进行了性能分析和验证。

（4）通过讨论滤波器中的模拟滤波器的算法，比较各种算法的优劣。

1.5 MATLAB软件介绍

MATLAB 是一种高级矩阵语言，可移植性好，扩展性极强。而MATLAB7.0我所用的软件工具，包含了大量的算法集合。方便实现各种计算功能，从最简单的函数到复杂的工程运算，都可以通过这个软件进行运算。

在这篇论文中，我就是充分发挥数据可视化功能。使用MATLAB 模块集和工具箱中的fdatool 工具来创建IIR 数字滤波器。开发时可以通过控制多个程序和图像窗口，熟练使用函数嵌套，条件中断等编程运算方法来达到特定的运算结果和功能，甚至可以对生成的图像进行注释。

2 IIR 数字滤波器原理

2.1数字滤波器的结构与表示方法

数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分，它实际上是一种数据流运算过程。它本质上是完成频率选择或频率分辨任务的线性时不变系统，所以，离散时间线性时不变系统通常称为数字滤波器。数字滤波器将一组输入的数字序列按照一定的运算后转变为另一组数字序列输出，因此，它本身就是一台数字式的处理设备。与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分可分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型。由于频率响应的周期性，频率变量以数字频率ω来表示（ω=ΩT =Ω/f s ，f s 为模拟角频率，T 为抽样的时间间隔，Ω为抽样频率，所以数字滤波器设计中必须给出抽样频率Ω。）

数字滤波器一般可以通过两种方法来实现：一种是设计专用的数字硬件、专用的数字信号处理器或采用通用的数字信号处理器来实现；另一种是直接用计算机，将所需的运算编程执行，也就是用软件来实现数字滤波器。

数字滤波器是离散的时间系统，所处理的信号是离散时间信号。一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N 阶差分方程

y (n ) =∑b k x (n -k ) +∑a k y (n -k )

k =0k =1M N （2.1）

则系统函数，即滤波器的传递函数为

H (z ) =

∑b z k k =0N k =1M -k =1-∑a k z -k Y (z ) X (z ) （2.2）

由（2.1）式可知，实现一个数字滤波器需要如下的三种基本运算单元：加法器：它有两个输入和一个输出，三个或多个信号的相加由相连的两个输入加法器实现；乘法器（增益）：它是一个单入单出元件，乘以一个常数表示增益；延迟元件：它把通过它的信号延迟一个样本，其功能是由移位寄存器实现的。这些基本单位采用两种方法描述，即方框图和信号流图法。对于同一个系统函数H (z ) 对输入信号的处理可实现的算法有多种，每一种

算法对应一种不同的运算结构，因而，数字滤波器的运算结构也有两种表示方法，如图2-1所示。

图2.1 基本运算的方框图法和信号流法表示

线性信号流图本质上与方框图法等效，只是符号上有差异。比如，一个二阶数字系统的差分方程为：

y (n ) =a 1y (n -1) +a 2y (n -2) +b 0x (n ) +b 1x (n -1)

（2.3）

则其系统函数为：

b 0+b 1z -1Y (z ) H (z ) ==-1-2X (z ) 1-a 1z -a 2z （2.4）

于是可得（2.3）式的方框图如图2-2所示，由图实现离散时间系统的运算结构。若利用软件来实现滤波系统，图2-2的网络结构可作为实现该系统的编程基础，如果是硬件实现，该方框图则表示了系统的硬件结构。

图2.2 二阶数字滤波器方框图

图2-3给出了（2.3）式表示的二阶数字滤波器的信号流图。在信号流图中，基本运算单元形成的有向支路节点连成一个网格，每个节点可以有几条输入支路和几条输出支路，与各个节点相关的节点变量值等于该节点的所有输入量之和，如果一个节点有两个以

上的输入支路，该节点就相当于一个加法器。输入信号x (n ) 处的节点称为源节点，输出信号y (n ) 处的节点称为汇节点，源节点没有输入支路，汇节点只有输入支路。每一个支路都有输入信号和输出信号，输出信号值等于该支路起点的传输函数与输入信号Z 变换的乘积。如果支路上没有标明传输系数值，则其传输系数为1，当支路传输函数为单位延迟z 时，输出信号值等于该支路起点处的节点信号延迟一个样本。

-1

图2.3 二阶数字滤波器的信号流图

因此，运算结构非常重要，不同的结构会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等重要的性能。此外，在有限精度下，不同运算结构的误差、稳定性不同。数字滤波器有无限长单位冲击响应（infinite impulse response，IIR ）数字滤波器和有限长单位冲击响应（finite impulse response，FIR ）数字滤波器两种。从结构上看前者采用递归结构，后者采用非递归结构，本毕业设计中将对IIR 数字滤波器进行深入讨论。

2.2 无限长单位冲激响应滤波器（IIR ）的基本结构

如果一个线性时不变系统的冲激响应具有无限长度，则此系统称为无限长冲激响应（IIR ）滤波器。无限长单位冲激响应滤波器具有如下特点：

（1）系统的单位冲激响应h (n ) 是无限长的；

（2）系统函数H (z ) 在有限平面（0

（3）结构上存在着输出到输入的反馈，即结构上是递归的。

无限长单位冲激（IIR ）数字滤波器的单位冲激响应h (n ) 是一个无限序列，其滤波器的结构采用递归结构，其基本网络结构有直接型、级联型和并联型三种，其中直接型又分为直接I 型和直接II 型两种。

2.2.1 直接I 型IIR 滤波器

一个N 阶的IIR 滤波器的输入输出关系可以用如（2.1）式所示的N 阶的差分方程来描述。（2.1）式中，∑b k x (n -k ) 表示将输入及延时后的输入组成M 节的延时网络，把每节

k =0M

延时抽头后加权（加权系数b k ），然后把结果相加，就构成一个横向结构网络。（2.1）式

第二部分∑a k y (n -k ) 表示将输出加以延时，组成N 节的延时网络，再将每节延时后加权

k =1N

（加权系数a k ），然后把结果相加，最后的输出y (n ) 把两部分相加。式（2.1）包括输出的延时部分，故是一个有反馈的网络，这种结构称为直接I 型结构，其结构流图如图3-4所示。由图可见，总的网络是由上面讨论的两部分网络级联组成，第一个网络实现零点，第二个网络实现极点，从图2-4中可以看出，直接I 型结构需要N+M级延时单元。

图2.4 直接I 型结构IIR 滤波器

3.2.2直接II 型IIR 滤波器

一个线性时不变系统若交换其级联子系统的次序，系统函数是不变的，也即是总的输入输出关系不变。直接II 型IIR 滤波器结构又称为正准型结构。图2-4直接I 型IIR 滤波器结果的系统函数H (z ) 也可以看成是独立的系统函数的乘积。输入信号x (n ) 先通过系统函数H 1(z ) 得到中间输出变量y 1(n ) ，通过系统H 2(z ) 得到输出信号y (n ) ，即可得另一种如图2-5所示的结构。从图2-5可见，其包含了两个级联的子网络，第一个实现系统函数

的极点，第二个实现系统函数的零点。两行串行延时支路有相同的输入，因而可以把它们合并，得到如图2-6所示的结构，称为直接II 型结构

图2.5 直接I 型滤波器的变型（网络的零点与极点的级联次序互换）

图2.6 直接II 型结构的范型结构

3.2.3级联型结构

把（2.2）式描述的N 阶IIR 滤波器的函数H (z ) 的分子和分母进行因式分解，则可表述成：

H (z ) =∑b z k

k =0

N

k =1M -k =A ∏(1-C z k M -1) ) 1-∑a k z -k ∏(1-d z k

k =1k =1N -1 （2.5）

其中，A 为常数，C k 和d k 分别表示H (z ) 的零点和极点。由于H (z ) 分子、分母是实系

数多项式，而实系数多项式的根有实根和共轭复根两种情况。将每一对共轭零点（极点）合并起来构成一个实系数的二阶因子，并把单个的实根因此看成是二次项系数等于零的二阶因子，则可以把H (z ) 表示成多个实系数的二阶数字网络H k (z ) 的连乘形式，如（2.6）式所示：

M 1+β1k z -1+β2k z -2

H (z ) =A ∏=A ∏H k (z ) -1-21-αz -αz k =1k =11k 2k （2.6） M

若每一个实系数的二阶数字网络的系数函数H k (z ) 的网络结构均采用前面介绍的直接II 型结构，则可以得到系统函数H k (z ) 的级联结构，如图2-7所示。

图2.7 级联结构II 滤波器

对于级联结构型，每个一阶网络只关系到滤波器的一个零点、一个极点，每个二阶网络只关系到滤波器的一对共轭零点和一对共轭极点。调整系数β0j 、β1j 、β2j 只影响滤波

器的第j 对零点，对其它零点并无影响，同样，调整分母多项式的系数α1j 、α2j 也只单独

调整了第j 对极点。这种结构便于准确实现滤波器频率响应的性能，与直接型结构相比，级联型结构便于准确实现滤波器零、极点的调整。

3.2.4 并联型结构

将传递函数H (z ) 展开成部分分式的形式就得到并联型IIR 滤波器的基本结构，即表示为若干一阶和二阶基本网络与一个常数B 0之和，如（2.7）式所示：

M 2B k b 0k +b 1k z -1

H (z ) =B 0+∑+∑-1-1-2-a 1k z （2.7）k =11-p k z k =11-a 1k z M 1

其中，M 1+2M 2=N ，同样也可以表示为二阶基本节的形式，如式（2.8），

N b 0k +b 1k z -1

H (z ) =B 0+∑=B 0+∑H k (z ) -1-21-a z -a z k =1k =11k 1k （2.8）M 2

并联型结构如图2-8所示，其中二阶基本节网络可以用直接II 型结构实现。并联型结构可以单独调整极点位置，但却不能像级联型结构那样直接控制零点的分布。因为，并联型结构各二阶网络的零点并不是整个系统函数额零点，因此，当要准确传输零点时，最好采用级联型结构。

图2.8 并联结构IIR 滤波器

传输函数为H (z ) 的滤波器的频率特性为H (e j ω) =H (z ) z =j ω。由于实际的滤波器都是稳定系统，所有极点都是在Z 平面的单位圆内，单位抽样响应h (n ) 是一个无限长的衰减序列，所以要截取有限长的一段来做频率特性分析，截取的长度越长，逼近的程度越高。

3 IIR滤波器的设计

3.1 由模拟滤波器设计IIR 数字滤波器

3.1.1 模拟低通滤波器原型

典型的模拟低通滤波器的技术指标如图3-1（a ）所示，其中H a (j Ω) 为模拟滤波器的幅度响应，Ωp 和Ωst 分别为通带频率和阻带频率，δp 和δst 分别为通带和阻带的容限。在通带内要求1-δp ≤H a (j Ω) ≤1，有时，具体的技术指标由通带的最大衰减a p 和阻带的最

小衰减a st 给出。通带及阻带的衰减a p 和a st 分别定义为：a p =-20l g -(1δP 和) a st =-20lg(δst ) 。第二种指标用参数ε和A 来描述通带和阻带的要求，如图3-1（b ）所示，其中，ε=[(1-δp ) -2-1]1/2，δs =1/A 。

图3.1 模拟低通滤波器的技术指标

3.1.2巴特沃兹（Butterworth ）低通滤波器的设计

巴特沃兹低通滤波器的幅度平方函数定义为 H a (jΩ) =2

1 Ω2N （3.1）1+() Ωc

式中，N 为正数，代表滤波器的阶次，Ωc 称为截止频率。当Ωc =Ω时，有

H a (jΩ) =

2H a (j0)1即H a (jΩ) =所以又称Ωc 为巴特沃兹低通δ1=20log =3dB ，2H a (jΩc ) 滤波器的3dB 带宽。巴特沃兹低通滤波器具有如下特点：

1）当Ω=0时，H a (j0)=1，即在Ω=0处无衰减。

2）当Ω=Ωc 时，H a (jΩc ) =221，H a (jΩc ) =0.707，或δ1=-20log H a (jΩc =3dB ，δ1为2

通带最大衰减。即不管N 为多少，所有的曲线都通过-3dB 点，或者说衰减3dB ，这就是3dB 不变性。

3）在ΩΩ〈即N 阶巴特沃兹低通滤波器在Ω=0C 的通带内H a (jΩ) 有最大平坦的幅度特性，

22处，H a (jΩ) Ω=0的前（2N-1）阶导数为零，因而巴特沃兹滤波器又称为最平幅度特性滤波

器。随着Ω由0到Ωc ，H a (jΩ) 单调减小，N 越大，减小的越慢，通带内特性越平坦。

4）当Ω〉Ωc ，即在过渡带及阻带中，H a (jΩ) 也随Ω增加而单调减小，但是Ω/Ωc 〉1，故比通带内衰减的速度要快的多，N 越大，衰减速度越大。当Ω=Ωst ，即频率为阻带截止频率时，衰减为δ2=-20log H a (jΩst ) 。

巴特沃兹低通滤波器的幅度特性如图3-2所示。

22

图3.2 巴特沃斯滤波器的幅频特性

3.1.3切比雪夫（Chebyshev ）滤波器的设计

切比雪夫滤波器有两种类型。切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性在通带为等波纹，在阻带为单调下降。切比雪夫Ⅱ型的幅频特性在阻带为等波纹，在通带为单调下降。本段主要介绍切比雪夫Ⅰ型和低通滤波器的设计。

1）切比雪夫Ⅰ型滤波器

切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅度平方函数为

H a (jΩ) 2=1

Ω2（3.2）1+ε2T N () Ωc

Ω) 为N 阶切比雪夫多项式，它的Ωc 2其中，ε为小于1的正数，表示通带波纹幅度参数。T N (

定义为：T N (x)=cos(Ncos-1x) x ≤1或T N (x)=cosh(Ncosh-1x) x >1。这些多项式可以通过迭代产生T k +1(x)=2xT k (x)-T k -1(x) k ≥1，T 0(x)=1，T 1(x)=x 。而切比雪夫Ⅰ型滤波器的系统函数为：

H a (s ) =

-s k H (0 ∏a

k =0s -s k （3.3）N -1

其中，N 为偶数时H s (0)=(1-ε2) -1/2，N 为奇数时H a (0)=1。给定通带和阻带的截止频率和，通带和阻带波动和（或参数和），设计一个切比雪夫Ⅰ型滤波器步骤如下：

①求选择性因子k 和判别因子d ；

②用下面的公式确定滤波器阶数

③组成有理函数

G a (s)=H a (s)H a (-s) =1 221+εT N (s/j Ωp )

其中ε=[(1-δp ) -2-1]1/2，取N 个G a (s)在s 左半平面的极点组成系统函数H a (s)。

2）切比雪夫Ⅱ型滤波器

H a (j Ω) =

切比雪夫 Ⅱ型滤波器的系统函数为： 211+[ε22c T N Ω -1（3.4）) ]

而极点位于 H a (s ) =∏k =0N -1a k s -b k b k s -a k （3.5）

Ω

2

a k =s

s k （3.6）

式中，s k （k=0,1,…,N-1）是切比雪夫Ⅱ型滤波器的极点。零点b k 位于j Ω轴上，在这比雪夫Ⅰ型滤波器，然后通过上面的变换实现。

3.1.4由模拟滤波器设计IIR 数字滤波器

在各种原型模拟滤波器的设计基础上，如果能建立模拟滤波器与数字滤波器的映射关系，则可以很好地利用模拟滤波器的研究成果来设计数字滤波器。把模拟滤波器映射成数字滤波器后，就能使数字滤波器“模仿”模拟滤波器的特性，从而达到由模拟滤波器设计数字滤波器的目的。

通常使用以下映射方法：冲激响应不变法和双线性变换法等。

3.2冲激响应不变法

3.2.1变换原理

冲激响应不变法的基本准则是，使数字滤波器的单位冲激响应序列和h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应h a (t)，将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样，使h(n)正好等于h a (t)的抽样值，即满足

其中T 是抽样周期。

h (n ) =h （t =n T h a =a (n T ) （3.7）

模拟信号的拉普拉斯变换之间的关系，即得

H (z)z =e sT 1=T k =-∞∑∞H a (s-j 2π k) T （3.8）

由式中看出，冲激响应不变法将模拟滤波器的s 平面变换到数字滤波器的z 平面，从s 到z 的变换关系为z =e sT , 其映射关系。s 平面每一条宽度为2π/T 的水平带都将重叠地映射到整个z 平面上，而每一个水平带的左半平面映射到z 平面单位圆以内，右平面映射到单位圆以外，而s 平面虚轴（j Ω轴）映射到单位圆上，虚轴上每一段长为2π/T 的线段都映射到z 平面单位圆上一周。由于s 平面每一条水平带都要重叠地映射到z 平面上，这正好反映了H （z ）与H a (s)的周期延拓之间的变换关系，故冲激响应不变法从s 平面到z 平面的映射不是简单的单值映射关系，这正是采用该方法设计的数字滤波器频率响应产生混叠失真的根本原因。

3.2.2混叠失真

由（3.8）式可知，数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应间的关系为：

H (e) j ω

ω=ΩT 1=T k =-∞∑H ∞a (jω-2πk T )

（3.9）

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓函数。所以，如果模拟滤波器的频率响应限带于抽样频率之内，即

Ω) = H a (j Ω≥π

T （3.10）

则数字滤波器的频率响应将无失真地重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即

H (e j ω

ω=ΩT ) 1=T k =-∞∑∞H a ω ) T （3.11）

但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这样，数字滤波器的频率响应就不同于原模拟滤波器响应而有一定失真。可以说混频是冲激响应不变法的最大缺点。只有当模拟滤波器在Ωs /2以上的频率衰减很大时，这个失真才小，这时采用冲激响应不变法设计的数字滤波器才满足精度要求。为了减小频谱混叠失真，通常采取以下措施:1）选用具有

锐截止特性的模拟滤波器；2）提高采样频率Fs （Fs=1/T）。因此，冲激响应不变法适用于基本上是限带的滤波器，如衰减特性较好的低通和带通滤波器，对高通、带阻滤波器则不合适。

3.3双线性变换法

双线性变换法方法的变换原理如图3-3所示，它与前述冲激响应不变法的基本思路一样，不直接设计数字滤波器，而是先设计一个模拟IIR 滤波器，然后映射成一个等效的数字滤波器。

图3.3 双线性变换法原理图

这样，就可以把z 平面的数字滤波器的设计转化为s 平面的等效模拟滤波器的设计。s 平面和z 平面的映射关系为

21-z -1

s =f (z)=-1T s 1+z （3.12）

将及代入式，得到数字频率与等效的模拟频率之间的映射关系为

Ω=g (ω) =t a () 2 （3.13） ω

由于数字频率与模拟频率之间的变换关系不是线性关系，所以上式被称为频率预畸变换法。双线性变换法的设计步骤如下：

1）给定数字滤波器的幅度响应参数。

2）用频率预畸公式将数字滤波器参数变换为相应的等效模拟滤波器参数。

3）采用模拟滤波器设计方法设计等效模拟滤波器——H a (s)。

4）采用双线性变换法公式把等效模拟滤波器逆映射为所期望的数字滤波器。

4 利用MATLAB 数字信号处理工具箱设计IIR 数字滤波器

4.1 MATLAB滤波器设计分析工具简介 fdatool （filter design & analysis tool）是MATLAB 信号处理工具箱中专门的滤波器设计分析工具，它具有卓越的滤波器设计、简洁的程序调用和高效的数字信号处理功能。fdatool 可以设计几乎所有的基本的常规滤波器，包括FIR 和IIR 的各种设计方法。它操作简单，方便灵活。在MATLAB 命令行中输入并执行fdatool 命令，将会弹出一个滤波器设计界面。该界面分两大部分，即在界面下半部的滤波器参数设计，和在界面上半部分的滤波器特性显示。

滤波器设计部分主要分为：滤波器类型选项，它包括低通、高通、带通、带阻和特殊的FIR 滤波器。而滤波器设计方法选项，包括IIR 滤波器的巴特沃思（Butterworth ）法、切比雪夫I 型（Chebyshev I）法、切比雪夫II 型（Chebyshev II）法、椭圆滤波器法和FIR 滤波器的Equiripple 法、最小乘方法、窗函数法。滤波器阶数选项包括指定阶数和最小阶数。在指定阶数中填入所要设计的滤波器的阶数（n 阶滤波器，Specify Order ＝n-1），如果选择最小阶数则MATLAB 根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。频率明细选项，可以设定频带的各参数，包括采样频率fs 和频带的截止频率。它的具体选项由滤波器类型选项和设计方法选项决定。

下面介绍利用fdatool 工具来设计IIR Butterworth 低通、高通、带通滤波器。首先在MATLAB 命令行中输入fdatool 命令，执行，就得到如图4-1所示的滤波器设计界面，在Response Type框中选择Lowpass （低通滤波器），在Design Method框中选择IIR 型Butterworth 滤波器，接着，在图4-1的右下半部分的Filter Order 选择 Minimum order ， 在Match exactly栏中选passband （通带匹配）。接下了就牵涉到滤波器功能参数的设定了，在Frequency 栏中设置采用频率Fs 为2000Hz ，低通滤波器的通带频率为100Hz ，阻带频率为180Hz ，在Magnitude 栏中选通带波纹小于0.5dB ，阻带抑制比大于80dB 。最后，点击最下面的Design Filter 按钮，于是生成图4-1上半部分显示的滤波器性能图。

图4.1 低通滤波器设计界面

为了便于后续调用滤波器程序，需要将设计的滤波器转换成代码。该过程如下，在图4-1中点击File>Generate MATLAB code，从而弹出一个文本框以命名滤器的名称，这里把滤波器命名为lp100b ，于是生成了lp100b.m 的程序代码文本。在数字信号处理程序中，利用filter 函数调用lp100b 滤波函数即可，具体格式如：b=filter（lp100b ，a ），其中a 为源信号，b 表示经低通滤波器滤波过后的信号。

图4-2 显示了IIR Butterworth 带通滤波器的设计过程，图4-3显示了IIR Butterworth 高通滤波的设计过程。不管是低通、带通还是高通滤波器，在fdatool 界面上进行设计，大致流程都分为以下几步：1. 选择滤波器的类型，比如FIR 或IIR 、Butterworth 或Chebyshev ，高通、低通、带通还是其它；2. 确定阶数算法，比如最小阶数或特定阶数；

3. 确定采用频率、通带、阻带频率，通带波纹系数和阻带抑制比；4. 点滤波器设计按钮，生产滤波器并保存为滤波函数。Fdatool 从滤波器设计的需求出发，给设计者非常清晰的设计逻辑，从而避免了繁琐的公式推导和计算，大大降低了滤波器程序设计的难度。经过简单的几步操作就可以设计出理想的滤波器，MATLAB 在滤波器设计过程中具有的简洁高效的特点，而其在数字信号处理方面的性能时其他软件难以匹敌的。

图4.2 带通滤波器设计界面

图4.3 高通滤波器设计界面

4.2 IIR 型Butterworth 滤波器

前面已经介绍过基于fdatool 的数字滤波器设计，而且图4-1、图4-2和图4-3分别显示了IIR 型Butterworth 低通、带通和高通滤波器，并最后生成了滤波器函数lp100b.m ，bp300b.m ，hp500b.m 。这里，我们通过一段程序分别演示滤波程序调用和滤波器滤波性能。程序的设计过程如下：1. 产生100Hz 、200Hz 、300Hz 、400Hz 和500Hz 的余弦信号，对每个余弦信号赋一个随机的初始相位；2. 将这些余弦信号叠加，5组数据相加便得到一组数据，该数据用于后续滤波处理；3调用滤波函数，分别滤出频率为100Hz 、300Hz 、和500Hz

的余弦信号，分析滤波结果。

程序代码如下：

f1=100;f2=200;f3=300;f4=400;f5=500; %5个频率的信号

t=0:5*10^(-4):0.1; %信号的取样间隔和持续时间

a1=cos(2*pi*f1*t+randn(1)); %生成频率100Hz 的余弦信号

a2=cos(2*pi*f2*t+randn(1)); %生成频率200Hz 的余弦信号

a3=cos(2*pi*f3*t+randn(1)); %生成频率300Hz 的余弦信号

a4=cos(2*pi*f4*t+randn(1)); %生成频率400Hz 的余弦信号

a5=cos(2*pi*f5*t+randn(1)); %生成频率500Hz 的余弦信号

b=a1+a2+a3+a4+a5; %5个余弦信号叠加

figure(1)

plot(t,b) %图1生成5个余弦信号叠加后的效果图

b1=filter(lp100b,b); %调用低通滤波器，滤波得到100Hz 的余弦信号

figure(2)

plot(t,b1) %输出低通滤波结果

b3=filter(bp300b,b); %调用带通滤波器，滤波得到300Hz 的余弦信号

figure(3)

plot(t,b3) %输出带通滤波结果

b5=filter(hp500b,b); %调用高通滤波器，滤波得到500Hz 的余弦信号

figure(4)

plot(t,b5) %输出带通滤波结果

运行上面的程序，结果如图4-4至图4-6所示。图4-4显示了5个频率分别为100Hz 、200Hz 、300Hz 、400Hz 和500Hz 的余弦信号叠加后的结果，从图中可以看出，叠加过后信号的原始模样被掩盖，难以发现信号的频率分量。在一般的信号处理方法中，为了获得信号中的频率分量，首先需要对信号进行快速傅里叶变化以确定信号中到底包含哪几种频率，该过程的程序语句是y=abs（fft （x ））；plot （y ）；从输出的图中获得频率信息。接着通过数字滤波的方式提取所需频率的信息。由于我们一直各个频点，所以直接通过数字滤波分离频率分量。

图4.4 余弦信号叠加后效果图

图4.5 低通滤波后得到100Hz 余弦信号

图4-5显示了经低通滤波过后得到的频率为100Hz 的余弦信号，从图中可以看出滤波的结果使信号的前端出现失真，这是因为信号前端涉及的数据量小，滤波程序难以准确恢复信号特征，而随着时间的增加，用于分析的数据量增加，信号的频率和幅度被准确复原。

图4.6 带通滤波后得300Hz 余弦信号

图4-6显示了从混乱的多频信号叠加过后的数据中，经中心频率为300Hz ，通带频率宽度为40Hz ，阻带抑制比为80dB 的带通滤波器滤波过后的效果。与图4-5的前端相似，由于前端所涉及的数据量较少的缘故，信号严重失真，但是从图4-6的后端可以看出该频率为300Hz 、振幅为1的余弦信息基本得到准确恢复。图4-7显示了原始多频信号经通带频率为500Hz 、阻带截止频率为420Hz 、阻带抑制比为80dB 的高通滤波器滤波过后的结果。从图4-5、图4-6和图4-7的共性中，我们可以看出，虽然数字滤波器易于设计和调用，但是其滤波的数据前端往往容易产生失真，在某些对信号时域特征恢复要求比较严格的应用场合，优化滤波设计和数字信号处理方法变得十分必要。

图4.7 高通滤波器后得500Hz 余弦信号

4.3 Chebyshev I和ChebyshevII 型的IIR 滤波器设计与降噪应用

为何更好的将滤波器的设计和使用紧密结合起来，增强对数字信号处理的认识、提高编程能力。这一小节里，我们选择IIR 滤波器中的Chebyshev I 和Chebyshev II滤波器来做信号降噪处理。演示程序设计的思想源于现实的应用，比如数据采集卡或示波器采集某中频信号，接着对中频信号进行分析和处理。这里我们可以用程序来模拟该过程。首先，生成余弦信号，选择信号的频率为100Hz 和300Hz ，给每个余弦信号分别赋一个初始相位并加上随机的高斯噪声，高斯噪声的波动幅度大于余弦信号的振幅，将这两个带噪声的信号叠加成一组数据，接着利用fdatool 工具设计中心频率分别为100Hz 和300Hz 的带通滤波器，通带宽度为0.2Hz ，调用程序进行滤波，最后输出降噪前后的结果。

实现上述目的的程序如下：

%%%

f1=100;f2=300; %频率100Hz 、300Hz

t=0:5*10^(-4):0.2; %采用间隔0.5ms ，采样时长0.2s

a1=cos(2*pi*f1*t+randn(1)); %生成频率为100Hz 的余弦信号

a2=cos(2*pi*f2*t+randn(1)); %生成频率为200Hz 的余弦信号

N1=1*randn(1,length(t)); %产生高斯噪声

N2=1*randn(1,length(t)); %产生高斯噪声

b1=a1+N1+a2+N2; %信号噪声叠加

figure(1)

subplot(311) %输出频率100Hz 的原始信号

plot(t,a1)

subplot(312) %输出加噪声后的数据

plot(t,b1)

b11=filter(bp100c2,b1); %带通滤波

subplot(313)

plot(t,b11) %输出滤波结果（频率100Hz 余弦信号）

figure(2)

subplot(311)

plot(t,a2) %输出频率300Hz 的原始信号

subplot(312) %输出加噪声后的数据

plot(t,b1)

b22=filter(bp300c1,b1); %带通滤波

subplot(313)

plot(t,b22) %输出滤波结果（频率100Hz 余弦信号）

%%%

程序的运行结果如图4-8和图4-9所示，从这两幅图中可以看出，随机高斯白噪声的引入使信号完全被掩埋在噪声之中，但噪声毕竟对信号进行干扰的频带有限，很容易通过

滤波的手段加以抑制。带通滤波是抑制噪声的一种非常重要的手段，在电磁波信号提取中，噪声的分布的频带非常广，但是在于带通滤波器通带宽度范围内，噪声的功率却很低，于是通过窄带滤波，能去除功率占绝大部分的带外噪声。跟上一节研究的IIR Butterworth滤波器一样，Chebyshev 类型的滤波器滤出来的信号的前端存在严重的失真，但是随着用于分析的数据点的增多，信号的特征特别是频率特征能得到很好的恢复，通过优化滤波器和数字信号处理算法，比如采用快速傅里叶变换和加窗滤波等手段，信号提取效果能得到很大改善。

图4.8 从被噪声掩埋的数据中提取频率为100Hz 的余弦信号

图4.9 从被噪声掩埋的数据中提取频率为100Hz 的余弦信号

5 总结与展望

在数字信号处理领域中，所处理的信号往往混有噪声，从接收到的信号中消除或减弱噪声是信号传输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪声的不同特性，消除或减弱噪声，提取有用信号的过程称为滤波，实现该功能的数字原件就叫数字滤波器。无限冲激响应（IIR ）数字滤波器是数字信号处理的基本元件，与有限冲激响应数字滤波器相比，它能够利用更少的计算和内存就可以实现数字滤波功能，而且设计出来的IIR 的过渡带很窄，在很大程度上可以取代传统的模拟滤波器。IIR 滤波器有以下几个特点：1）封闭函数 IIR 数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。2）IIR 数字滤波器采用递归型结构 IIR 数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR 滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。3）IIR 数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查。4）IIR 数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。

IIR 数字滤波器可以用各种标准来分类，按照信号的种类可分模拟滤波器和数字滤波器，按照频带来分可分为低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器以及带阻滤波器等。本毕业论文重点讨论IIR 滤波器的原理、设计和应用问题，首先阐述了数字滤波器的结构特点与表示方法、无限冲激响应滤波器的基本结构及其MATLAB 实现。接着，介绍无限冲激响应滤波器的设计问题，由模拟滤波器设计IIR 数字滤波器，从低通模拟滤波器的原型出发，描述由模拟滤波器设计IIR 数字滤波器的数学原理，再介绍冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR 数字滤波器的基本理论，最后编写程序演示了基于上述方法的IIR 滤波器设计。本论文最后介绍利用MATLAB fdatool工具来设计典型的IIR 数字滤波器，并将所设计的数字滤波器应用到数字信号处理过程中，分析了滤波器的滤波和降噪性能。

数字滤波器是数字信号处理领域的重要元件，IIR 数字滤波器在其中具有重要作用，但它仅仅是其中实现数字信号处理的一种手段而已，要高精度、高可靠性、高效率实现数字信号处理的目标，还需依靠和发展其它数字信号处理技术如快速傅里叶变换、小波变换等技术。MATLAB 具有强大的矩阵运算能力和简洁的程序设计环境，其提供的数字信号处理工具箱能满足绝大部分理论研究和工程应用对数值计算和数字信号处理的需求，而且它与机器设备的通信以及自身的仿真能力，决定了其相对于其它程序设计语言具有无可比拟的

优势。因此，对于IIR 数字滤波器设计，特别是数字信号处理应用，研究数学理论和机制、完善模型和算法、提高数字信号处理的精度和效率将是未来发展的重要方向，而结合MATLAB 这门程序设计语言近40年来的理论和技术积淀，开展相应的模型和机制研究，对实现数字信号处理技术的快速发展必然具有重大意义。

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致谢

此次的毕业设计工作是在我的指导老师顾老师的精心指导和悉心关怀下完成的。从论文的选题，资料的准备，到论文的撰写，再到最后论文的修改和润色，居老师都给了我莫大的帮助。在整个过程中，顾老师及时的与我沟通，提出反馈意见和合理化建议，耐心的对我的论文进行批改。导师渊博的专业知识，严谨的逻辑思维，不仅仅教会我怎么去做，更是教会我怎么发现问题和解决问题，从选题，定题开始，一直到最后论文反反复复的修改，顾老师总是以专业的标准来严格要求我，在顾老师深刻细致的指导下，我的研究思维和设计理念有了很大的提高，我的毕业论文能够顺利完成还是要对居老师说声谢谢。从撰写初稿到反复修改，再到最终定稿，期间经历了喜悦、聒噪、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中心情是如此复杂。如今，终于顺利完成了毕业设计，之前复杂而又烦躁的情绪一下子就烟消云散了。

感谢大学生活中陪伴我的同学、朋友，在他们的陪同下，我收到了很多宝贵的建议和意见，有了他们的陪伴，支持，我完成了这一设计，他们是我大学生活的一部分，不仅改善了我生活学习习惯，更让我知道了为人处事的道理。四年的学习生活注定将成为我人生中的一段重要旅程。四年来，我的师长、我的领导、我的同学给予我的关心和帮助，使我终身收益，我真心地感谢他们。