概率导学案
每天进步一小步,坚持就是一大步,你一定行! 编写人:黄景森
§3.1随机事件的概率
(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念;
(2)正确理解事件A出现的频率的意义;正确理解概率的概念和意义,明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系;
(3)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
重点: 了解随即事件发生的不确定性和频率的稳定性.
,概率与频率的区别和联系.
对身边的事件加以注意、分析,结果可定性地分为三类事件:必然事件,不可能事件,随机事件;做简
单易行的实验,发现随机事件的某一结果发生的规律性;通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归
【创设情境】
日常生活中,有些问题是能够准确回答的.例如,明天太阳一定从东方升起吗?明天上午第一节课一定是7:50上课吗?等等,这些事情的发生都是必然的.同时也有许多问题是很难给予准确回答的.例如明天中午12:10有多少人在学校食堂用餐?你购买的本期福利彩票是否能中奖?等等,这些问题的结果都具有偶然性和不确定性. 【探究新知】(一):必然事件、不可能事件和随机事件 思考1:考察下列事件: (1)地球不停的转动;(2)木柴燃烧,产生热量; (3)在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾. 这些事件就其发生与否有什么共同特点?
思考2:由此,我们把在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的________事件, 简称必然事件。你能列举一些必然事件的实例吗?
思考3:考察下列事件:
(1)在没有水分的真空中种子发芽; (2)在常温常压下钢铁融化; (3)服用一种药物使人永远年轻.
这些事件就其发生与否有什么共同特点?
思考4:由此,我们把在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的________事件,简称不可能事件。你能列举一些不可能事件的实例吗?
思考5:考察下列事件:
(1)某人射击一次命中目标;
(2)王皓能夺取伦敦奥运会男子乒乓球单打冠军;
(3)抛掷一个骰子出现的点数为偶数. 这些事件就其发生与否有什么共同特点?
事件.简称随机事件. 你能列举一些随机事件的实例吗?
思考7:思考7:________和________统称为确定事件,________和________统称为事件,一般用大写字母A,B,C,„表示.
例题: 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”; (2) “明天天晴”;
(3) “某人射击一次,中靶”; (4) “如果a>b,那么a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面”; (6) “导体通电后,发热”;
(7) “手电筒的的电池没电,灯泡发亮”; (8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”; (9)“没有水份,种子能发芽”; (10)“在常温下,焊锡熔化”.
(11) “随机选取一个实数x,得|x|≥0”. (12)“自由下落的物体作匀加速直线运动”; (13)“函数y=ax(a>0,且a≠1)在定义域上为增函数”;
(14) “从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”; (15)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”;
【探究新知】(二):事件A发生的频率与概率
思考1:在相同的条件S下重复n次试验,若某一事件A出现的次数为nA,则称nA为事件A出现的频数,那么事件A出现的频率fn(A)=,频率的取值范围是思考2:历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验,结果如课本112页表格所示。 在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的频率的稳定值为多少?
思考3:上述试验表明,随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率呈现出一定的规律性。
思考4:既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率fn(A)趋于稳定,在某个常数附近摆动,那我们就可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小,并把这个常数叫做事件A发生的概率,记作P(A).那么在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的概率是多少?
思考5:在实际问题中,随机事件A发生的概率往往是未知的(如在一定条件下射击命中目标的概率),你如何得到事件A发生的概率?
思考6:在相同条件下,事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等?事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等?
【例题讲评】
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么?
例2 某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次环中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多大?中10环的概率约为多大?
【课堂小结】
概率与频率的关系 ☆区别:
频率随着次数的改变而改变,而概率却是一个常数,它不随着试验次数的增加而变化。 ☆ 联系:
①概率是频率的科学抽象,是某事件的本质属性,它从数量上反应了随机事件发生的可能性的大小; ②频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率,即概率可以用频率作为近似代替,可以说,概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值;
③只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A的概率; .
1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是 ( ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定
2.下面事件:①在标准大气压下,水加热到80℃时会沸腾;②抛掷一枚硬币,出现反面;③实数的绝对值不小于零;其中是不可能事件的是 ( ) A. ② B. ① C. ① ② D. ③
3.从12个同类产品(其中有10个正品,2个次品)中,任意取3个的必然事件是 ( ) A.3个都是正品 B.至少有1个是次品
4.某人将一枚硬币连掷了10次,正面朝上出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的频率为 ( ) A.
233
B. C. 6 D. 接近
553
5. 随机事件A发生的概率范围是 ( )
A. P(A)>0 B.P(A)
6.某人抛掷一枚硬币100次,结果正面朝上有53次,设正面朝上为事件A,则事件A出现的频数为_____,事件A出现的频率为_______。
(1)完成上面表格:
(2)该油菜子发芽的概率约是多少?
§3.1.2 概率的意义
正确理解概率的意义, 并能利用概率知识正确解释现实生活中的实际问题. 重点: 概率意义的理解和应用.
.
通过对现实生活中的“掷币”,“游戏的公平性”,、“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法.
随机事件、必然事件、不可能事件的概念 随机事件及其概率,概率与频率的区别和联系.
【探究新知】(一): 概率的正确理解
思考1:连续两次抛掷一枚硬币,可能会出现哪几种结果?
思考2:抛掷—枚质地均匀的硬币,出现正、反面的概率都是0.5,那么连续两次抛掷一枚硬币,一定是出现一次正面和一次反面吗?
可见,随机事件在一次实验中发生与否是随机的,但是随机性中含有________.认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确的预测随机事件发生的________.概率只是度量事件发生的可能性的不能确定是否发生.
思考3: 围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子,每次从中随机摸出1枚棋子后再放回,一共摸10次,你认为一定有一次会摸到黑子吗?说明你的理由.
思考4:如果某种彩票的中奖概率为
1
,那么买1000张这种彩票一定能中奖吗?为什么? 1000
【探究新知】:概率思想的实际应用
思考1:在一场乒乓球比赛前,必须要决定由谁先发球,并保证具有公平性,你知道裁判员常用什么方法确定发球权吗?其公平性是如何体现出来的?
思考2: 如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点,你认为这枚骰子的质地是均匀的,还是不均匀的?如何解释这种现象?
思考3:某中学高一年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动。由于某种原因,一班必须参加,另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法:掷两个骰子得到的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?哪个班被选中的概率最大?
在一次试验中________ 的事件称为小概率事件, ________ 的事件称为大概率事件. 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法.
气象局预报说,明天本地降水概率为70%,能否认为明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨?你认为应如何理解?
思考5:天气预报说昨天的降水概率为 90%,结果昨天根本没下雨,能否认为这次天气预报不准确?如何根据频率与概率的关系判断这个天气预报是否正确?
思考6: 在遗传学中有下列原理:
(1)纯黄色和纯绿色的豌豆均由两个特征因子组成,下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成
自己的两个特征.
(2)用符号YY代表纯黄色豌豆的两个特征,符号yy代表纯绿色豌豆的两个特征.
(3)当这两种豌豆杂交时,第一年收获的豌豆特征为:Yy.把第一代杂交豌豆再种下时,第二年收获的
豌豆特征为:YY,Yy,yy.
(4)对于豌豆的颜色来说.Y是显性因子,y是隐性因子.当显性因子与隐性因子组合时,表现显性因
子的特性,即YY,Yy都呈黄色;当两个隐性因子组合时才表现隐性因子的特性,即yy呈绿色. 在第二代中YY,Yy,yy出现的概率分别是多少?黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少?
【例题讲评】
例题1 高一一名姚明fancy在篮球赛中的进球率为80%。在一次比赛中,他共可以投10次,前两次都没投进,那么后8次一定都能投进吗?
例题2 为了估计水库中的鱼的尾数,先从水库中捕出2 000尾鱼,给每尾鱼作上记号(不影响其存活),然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出500尾鱼,其中有记号的鱼有40尾,试根据上述数据,估计这个水库里鱼的尾数.
【巩固练习】 教材P118第2、3题.
【课堂小结】
1. 正确理解概率的意义,概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定会发生,只是认为事件发生的可能性大.
2.利用概率思想正确处理和解释实际问题,是一种科学的理性思维,在实践中要不断巩固和应用,提升自己的数学素养.
1.某医院治疗一种病的治愈率是90%,这个90%指的是 ( ) A.100个病人中能治愈90个 B.100个病人中能治愈10个 C. 100个病人中可能治愈90个 D.也上说法都正确
2.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,以下理解正确的是 ( ) A.本市明天将有70%的地区降雨; B.本市明天将有70%的时间降雨; C.明天出行不带雨具肯定淋雨;
D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大.
3.设某厂产品的次品率为2%,估计该厂8000件产品中合格品的件数可能为 ( ) A.160 B.7840 C.7998 D.7800
4.根据某医疗所的调查,某地区居民血型的分布是:O型45%,A型15%,AB型30%,B型10%,现在有一血型为O型的病人需要输液,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率是 ( ) A.50% B.15% C.45% D.65%
5.一个箱子中放置了若干个大小相同的白球和黑球,从箱子中抽到白球的概率是99%,抽到黑球的概率是1%,现在随机取出一球,你估计这个球是白球还是黑球?
6今天电视台的天气预报说:今晚阴有雨,明天白天降雨概率是60%,请回答下列问题: (1)明天白天运输部门能否抢运粮食?
(2)如果明天抢运的是石灰和白糖,能否在白天进
§3.2.1 古典概型(一)
通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发
重点: 理解基本事件的概念、理解古典概型及其概率计算公式. .
学法指导
1、基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件,且这些事件彼此互斥.试验中的事件A可以是基本事件,也可以是有几个基本事件组合而成的. 2、基本事件数的探求方法: (1)列举法(2)树状图法:(3)列表法(4)排列组合
3、本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点:
(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)=
A包含的基本事件数
,此公式只对古典概型适用.
总体的基本事件个数
.
通过试验和观察的方法,可以得到一些事件的概率估计,但这种方法耗时多,操作不方便,并且有些事件是难以组织试验的.因此,我们希望在某些特殊条件下,有一个计算事件概率的通用方法. 【探究新知】(一):基本事件
思考1:连续抛掷两枚质地均匀的硬币,可能结果有 ; 连续抛掷三枚质地均匀的硬币,可能结果
思考2:上述试验中的每一个结果都是随机事件,我们把这类试验中不能再分的最简单的,且其他事件可以用它们来描述的随机事件事件称为基本事件,通俗地叫试验结果. 在一次试验中,任何两个基本
所有基本事件构成的集合成为基本事件空间。基本事件空间常用大些字母Ω表示. 例
1:试验“连续抛掷两枚质地均匀的硬币”的基本事件空间
Ω=(正,正),{(正,反),(反,正),(反,反)}.
思考3:在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中,随机事件“出现两次正面和一次反面”,“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成?
思考4:综上分析,基本事件的两个特征是: (1) 任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 【探究新知】(二):古典概型
思考1:抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件.每个基本事件出现的可能性相等吗?
思考2:抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件?每个基本事件出现的可能性相等吗?
思考3:从所有整数中任取一个数的试验中,其基本事件有多少个?
思考4:如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性),且每个基本事件出现的可能性相等(等可能性),则具有这两个特点的概率模型称为古典概型. 例2:下列事件中哪些是古典概型: (1) 明天是否下雨
(2) 射击运动员在一次比赛中能否击中10环 (3) 某时间内路段是否发生交通事故 (4) 抛掷一枚骰子朝上的点数是奇数.
思考5:随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗?每个基本事件出现的概率是多少? 你能根据古典概型和基本事件的概念,检验你的结论的正确性吗?
思考6:一般地,如果一个古典概型共有n个基本事件,那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为多少?为什么呢?
思考7:随机抛掷一枚质地均匀的骰子,利用基本事件的概率值和概率加法公式,“出现偶 数点”的概率如何计算?“出现不小于2点” 的 概率如何计算?
思考8:考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数,与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系,你有什么发现?
思考9:一般地,对于古典概型,事件A在一次试验中发生的概率如何计算?
思考10:从集合的观点分析,如果在一次试验中,等可能出现的所有n个基本事件组成全集U,事件A包含的m个基本事件组成子集A,那么事件A发生的概率 P(A)等于什么?特别地,当A=U,A=Ф时,P(A)等于什么?
重要结论:一般地,对于古典概型,基本事件共有n个,随机事件A包含的基本事件是m.由互斥事件的概率加法公式可得P(A)=
m
, 所以在古典概型中 n
P(A)=
mA包含的基本事件数=,n总体的基本事件个数
这一定义被成为概率的古典定义,其中该公式称为古典概型的概率计算公式.
【例题讲评】
例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?
这些基本事件构成的基本事件空间是什么?
事件“取到字母a”是哪些基本事件的和?
例2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案,假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少?
例3: 假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,„,9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?
例4 同时掷两个不同的骰子,计算:
(1)一共有多少种不同的结果?(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?
1、 在下列试验中,哪些试验给出的随机事件是等可能的? ( ) ① 投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”
② 一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一个球,“取出的是红
球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”
③ 一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球, “取出的
是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。
2、从一副扑克牌(54张)中抽到牌“K”的概率是( ) A. 2111 B. C. D. 5492727
1112 B. C. D. 34233、将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 ( ) A.
4、从教室到逸夫楼有A1,A2,A3,A4共4条路线,从逸夫楼到礼堂有B1,B2共两条路线,其中A2B1是从教室到礼堂的最短路线,某同学任选一条从教室到礼堂的路线,此路线正好是最短路线的概率是
( ) A. 1111 B. C. D. 3846
5、从A,B,C三个同学中选2名代表学校到省里参加奥林匹克数学竞赛,A被选中的概率是 ( )
A.112 B. C. D.1
2 3 3
301212 B. C. D.以上都不对 4040306、在40根纤维中,有12根的长度超过30mm,从中任取一根,取到长度超过30mm的纤维的概率是( )A.
7.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A.1141 B. C. D. 54510
8、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,若前三次连续抛到“6点朝上”,则对于第四次抛掷结果的预测,
下列说法中正确的是 ( )
A.出现“6点朝上”的概率大 于11; B.出现“6点朝上”的概率等于; 66
C.一定出现“6点朝上”; D.无法预测“6点朝上”的概率.
9、做试验“从0,1,2 这三个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序实数对( x, y),x
为第一次取到的数字,y为第二次取到的数字”.
(1)写出这个试验的基本事件;(2)求这个试验基本事件的总数;
(3)写出“第一次取出的数字是2”这一事件,并求其发生的概率。
10、抛掷2颗质地均匀的骰子,写出所有的基本事件并求点数和为8的概率。
§3.2.1 古典概型(二)
通过典型例题,较为深入地理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的
基本事件数及事件发生的概率.
重点: 理解基本事件的概念、理解古典概型及其概率计算公式.
.
学法指导
1、 对于条件中含有“至少”等字眼的古典概型,它包含的互斥事件或基本事件的个数往往较多,
计数比较麻烦,这时,可考虑其对立事件,减少计算量;
2、 灵活构造等概样本空间,简化运算;
随机事件,基本事件,对立事件,互斥事件和概率加法公式
【例题讲评】
例1 一盒中装有质地相同的各色球12只,其中5红、4黑、2白、1绿,从中取1球。求:
(1)取出球的颜色是红或黑的概率;(2)取出球的颜色是红或黑或白的概率.
例2 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听,求
检测出不合格产品的概率.
例3 从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取
两次,求下列两个事件的概率:(1)事件A:取出的两件产品都是正品;(2)事件B:取出的两件产品
中恰有一件次品。
变形:从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,一次取两件,求下列两个事件的概率:(1)
事件A:取出的两件产品都是正品;(2)事件B:取出的两件产品中恰有一件次品。
例4 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。
解法一分析:掷骰子有6个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。
解法二分析:也可以把试验的所有可能结果取为{点数是奇数}和{点数为偶数}两个样本事件,它们互为
对立事件,并且组成等概样本空间。
变形:一次掷两颗骰子,观察掷出的点数,求掷得点数和是奇数的概率。
例5 现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;(2)如果从中一
次取3件,求3件都是正品的概率.
分析:(1)为返回抽样;(2)为不返回抽样.
小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结
果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.
例6 盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事
件的概率:((2)取到的2只中正品、次品各一个;(3)取到的2只中至少有 1)取到的2只都是次品;
一只次品。
1 、先后抛掷2枚均匀的硬币.
①一共可能出现多少种不同的结果?
②出现“1枚正面,1枚反面”的结果有多少种?
③出现“1枚正面,1枚反面”的概率是多少?
④有人说:“一共可能出现‘2枚正面’、‘2枚反面’、‘1枚正面,1枚反面’这3种结果,因此出现‘1
枚正面,1枚反面’的概率是1.”这种说法对不对? 3
2、从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9 的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为
( ) A. 171311 B. C. D. 2181818
3、把10卡片分别写上0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后,任意搅乱放入一纸箱内,从中任取一张,
则所抽取的卡片上数字不小于3的概率为( )
A.
4、掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具,设事件A为“点数之和恰好为6”,则事件A所包含
的基本事件个数为 ( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
5、从1,2,3,4中任取两个数,组成没有重复数字的两位数,则这个两位数大于21的概率是______。
6、从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
7、在5件产品中,有三件是一级品,二件是二级品,从中任取二件,其中至少有一件为二级品的概率
是___ .
【能力提升】
8、某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表, 至少有1名女生当选的概率 ( ) A. 1357 B. C. D.1010 10 10 378 B. C. D. 1 515159、某单位36人的血型类别是:A型偶12人,B型10人,AB型8人,O型6人。现在从这36人任取
2人,求2人血型不同的概率.
10、若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m,n作为P的坐标,则
(1)点P落在圆x+y=16内的概率是多少?
(2)点P落在圆x+y=16外的概率是多少?
2222
11、7名学生站成一排,试求下列事件的概率:
(1)甲站在排头;
(2)甲站在排头或排尾;
(3)甲不站在排头;
(4)甲和乙都站在排头或排尾;
(5)甲和乙都不站在排头或排尾;
(6)甲或乙站在排头或排尾.
§3.2.2 (整数值)随机数(randon numbers)的产生
.
重点: 理解古典概型及其概率计算公式.
难点:
设计和运用模拟方法近似计算概率.
1.用计算机或计算器产生的随机数,是依照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),这些数有
类似随机数的性质,但不是真正意义上的随机数,称为伪随机数.
2.随机模拟方法是通过将一次试验所有等可能发生的结果数字化,由计算机或计算器产生的随机数,
来替代每次试验的结果,其基本思想是用产生整数值随机数的频率估计事件发生的概率,这是一种简单、
实用的科研方法,在实践中
古典概型的概念、意义和基本性质
【创设情境】
通过大量重复试验,反复计算事件发生的频率,再由频率的稳定值估计概率,是十分费时的.对于实践
中大量(非)古典概型的事件概率,又缺乏相关原理和公式求解.因此,我们设想通过计算机模拟试验
解决这些矛盾.
【探究新知】(一):随机数的产生
思考1:对于某个指定范围内的整数,每次从中有放回随机取出的一个数都称为随机数. 那么你有什么
办法产生1~20之间的随机数 .
思考2:随机数表中的数是0~9之间的随机数,你有什么办法得到随机数表?
方法一:我们可以利用计算器产生随机数,其操作方法见教材P130及计算器使用说明书.
方法二:我们也可以利用计算机产生随机数,
用Excel演示:
(1)选定Al格,键人___ ___ ,按Enter键,则在此格中的数是随机产生数;
(2)选定Al格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如A2至A100,点击粘贴,则在A1至A100
的数均为随机产生的0~9之间的数,这样我们就很快就得到了100个0~9之间的随机数,相当于做了
100次随机试验.
思考3:若抛掷一枚均匀的骰子30次,如果没有骰子,你有什么办法得到试验的结果?
思考5:一般地,如果一个古典概型的基本事件总数为n,在没有试验条件的情况下,你有什么办法进
行m次实验,并得到相应的试验结果?
将n个基本事件编号为1,2,…,n,由计算器或计算机产生m个1~n之间的随机数.
【探究新知】(二):随机模拟方法
思考1:对于古典概型,我们可以将随机试验中所有基本事件进行编号,利用计算器或计算机产生随机
数,从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法,称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法
(Monte Carlo).你认为这种方法的最大优点是什么?
思考2:用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次,那么如何统计这100次试验中“出现正面朝上”
的频数和频率.
除了计数统计外,我们也可以利用计算机统计频数和频率,用Excel演示:
(1)选定C1格,键人频数函数___ ___ ___ ___ ,按Enter键,则此格中的数是统
计Al至Al00中比0.5小的数的个数,即0出现的频数,也就是反面朝上的频数;
(2)选定Dl格,键人“=1-C1/1OO”,按Enter键,在此格中的数是这100次试验中出现1的频率,
即正面朝上的频率.
思考3:把抛掷两枚均匀的硬币作为一次试验,则一次试验中基本事件的总数为多少?若把这些基本事
件数字化,可以怎样设置?
可以用0表示第一枚出现正面,第二枚出现反面,1表示第一枚出现反面,第二枚出现正面,2表
示两枚都出现正面,3表示两枚都出现反面.
【知识迁移】
例 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟方法估计这三天中恰有
两天下雨的概率约是多少?
要点分析:
(1)设计模型:今后三天的天气状况是随机的,共有四种可能结果,每个结果的出现不是等可能的.
用数字1,2,3,4表示下雨,数字5,6,7,8,9,0表示不下雨,体现下雨的概率是40%.
(2)模拟试验:用计算机产生三组随机数,代表三天的天气状况.产生30组随机数,相当于做30次重
复试验.
(3)统计试验结果:以其中表示恰有两天下雨的随机数的频率作为这三天中恰有两天下雨的概率的近
似值. Excel演示.
事实上,高二学习了有关概率原理(二项分布)后易知,这三天中恰有两天下雨的概率
2P=C3⨯0.42⨯(1-0.4)
=0.288.
练习 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是40%,那么在连续三次投篮中,恰
有两次投中的概率是多少?
分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公
式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
小结:(1)利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解问题。
(2)对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计算机或计算器做随
机模拟试验可以大大节省时间。(3)随机函数RANDBETWEEN(a,b)产生从整数a到整数b的取整数
值的随机数。
【例题荟萃】
例1 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为
黑球或黄球的概率是1,得到355,得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概1212
率各是多少?
分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.
例2已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0,其系数可以分别在1,2,5三个数中任意取值,求
该方程有实数根的概率.
例3 有1号、2号、3号3个信箱和A、B、C、D四个信封,若四个信封可以任意投入信箱,投完为至.
求信封A投入1号或2号信箱的概率.
分析:由于每个信封可以任意投入信箱,对于A信封投入各个信箱的可能性相等,这是古典概型问题.
2
1.下列每对事件是互斥事件的个数 ( )
(1)将一枚均匀的硬币抛2次, 记事件A:两次出现正面;
事件B:只有一次出现正面.
(2)某人射击一次,记事件A:中靶;事件B:射中9环.
(3)某人射击一次,记事件A:射中环数大于5;事件B:射中环数小于5.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.用1,2,3组成无重复数字的三位数,求 这些数被2整除的概率为 ( ) A. 1113 B. C. D. 53541,已知袋中红球有3个,则袋中共有质地相同但颜色不同53.从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为
的球的个数为( ) A. 5 B. 8 C. 10 D.15
4.房间里有四个人,至少有两个人的生日是同一个月的概率是 ( )
A.164113 B. C. D.
3 96 7 14
5.在由1、2、3组成的不多于三位 的自然数(可以有重复数字)中任意取一个,正好抽出两位自然
数的概率是 ( ) A. 10010023 B. C. D. 2999993136.一批零件共有10个,其中8个正品,2个次品,每次任取一个零件装配机器,若第二次取到合格品的概
率为P1,第三次取到合格品的概率为P2,则 ( )
A. P2>P2=P1 B. P1
C. P2
7.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个
红球的概率是 。
8.在10000张有奖储蓄的奖券中,设有1个一等奖,5个二等奖,10个三等奖,从中买1张奖券,求:
⑴分别获得一等奖、二等奖、在三等奖的概率;
⑵中奖的概率.
§3.3.1 几何概型(一)
(1)正确理解几何概型的概念;
(2)掌握几何概型的概率公式: P(A) 构成事件A的区域 d 的长度(面积、角度或体积); 试验的全部结果所构成的区域 D 的长度(面积、角度或体积)
(3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是
重点: 几何概型的概念、公式及应用.
.
学法指导
几何概型概率求解过程:
①适当选择观察角度,确定几何度量的种类:长度(或面积,角度,体积);
②把基本事件空间转化为与之对应的区域;
③把事件A转化为与之对应的区域;
④如果事件A对应的区域不好处理,可以利用对立事件概率公式逆向思维;
.
1.基本事件的两个特点:(1)任何两个基本事件是互斥的。(
2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
.
【提出问题】
在现实生活中,常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况,这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.对此,我们必须学习新的方法来解决这类问题.
【探究新知】(一):几何概型的概念
思考1:某班公交车到终点站的时间可能是11:30~12:00之间的任何一个时刻;往一个方格中投一粒芝麻,芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限个,还是无限个? 若没有人为因素,每个试验结果出现的可能性是否相等?
思考2:有一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少?
分析:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上除端点外的任意一点,记“剪得两段绳子长都不小于1m”事件A.
问题1 每一个基本事件是不是等可能发生的的?且能否看做线段上的一个点与其对应?
问题2 与每一个基本事件对应的这些点构成的几何区域D是什么?
问题3 事件A发生,剪刀应剪在什么位置?
问题4 事件A发生应与线段上什么样的点对应?这些点构成的几何区域d是什么?
问题5 几何区域D的长度?
问题6 d的长度占D的长度的几分之几?
必修三★第三章 概率 * 昆三十四中学 * 结论:对于一个随机事件试验,我们将每一个基本事件理解为从某个特定的几何区域内任取一点(即找“对应点”),该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的一点,这里区域可以是线段、角、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机实验称为几何概型,
也即,如果 只 与 成比例,则称这样的概率模型为几何概型.
参照古典概型的特性,几何概型有哪两个基本特征?
(1)可能出现的结果有无限多个;
(2)每个结果发生的可能性相等.
思考5:某班公交车到终点站的时间等可能是11:30~12:00之间的任何一个时刻,那么“公交车在11:40~11:50到终点站”这个随机事件是几何概型吗?若是,怎样理解其几何意义?
【探究新知】(二):几何概型的概率
对于具有几何意义的随机事件,或可以化归为几何问题的随机事件,一般都有几何概型的特性,我们希望建立一个求几何概型的概率公式.
思考3:在玩转盘游戏中,对于下列两个转盘,甲获胜的概率分别是多少?你是怎样计算的?
思考4:在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒,现从中随机取出1升水,那么这1升水中含有病毒的概率是多少?你是怎样计算的?
结论:一般地,在几何概型中试验的全部结果(即基本事件)所构成的区域记为D,记事件“该点落在其区域D内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率
P(A)=构成事件A的区域 d 的长度(面积、角度或体积)
试验的全部结果所构成的区域 D 的长度(面积、角度或体积)
思考5:向边长为1m的正方形内随机抛掷一粒芝麻,那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少?(芝麻大小可忽略不计)由此能说明什么问题?
结论:概率为0的事件可能会发生,概率为1的事件不一定会发生,即
概率等于0的事件≠不可能事件,. 概率等于1的事件≠必然事件.
【典型例题】 测量长度
对于两个平面区域d,D,且d⊂D,区域D是线段或时间段时,记“该点落在区域d内” 为事件A,且事件A发生的概率只与线段或时间段的长度有关时,一般地有
P(A)=d 的长度. D 的长度
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率. 分析:因为客车每10分钟一班,他在0到10分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关 ,这符合几何概型的条件.
拓展:某公共汽车站,每隔10分钟有一辆汽车出发,并且出发前在车站停靠3分钟,⑴ 求乘客到站候
车时间大于10分钟的概率; ⑵ 求乘客到站候车时间不超过10分钟的概率; ⑶ 求乘客到达车站立即上车的概率.
例3 在等腰Rt△ACB中,在斜边AB上任取一点M,求|AM|
上截取AC'=AC,则当点M位于图2中线段AC'内时,|AM|
|AM|
总结:将此类几何概型问题 “长度”化是关键.
1.在区间 [0,3]内随机地取一个数,则这个数大于2的概率是 ( ) A.
111
B. C. D.1 234
2.两地相距3m的木杆上系了一根拉直的绳子,并在绳子上挂一彩珠,则彩珠与两端距离都大于1m的概率是 ( ) A.
1112 B. C. D. 2343
3.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率是( )
1332A. B. C. D.
2543
4.一个路口的红绿灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒,绿灯时间为40秒,当某人到达路口时看见红灯的概率是( ) A.
1234 B. C. D. 5555
2
5.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则这个正方形的面积介于36cm2
与81cm之间的概率是( ) A.
1111 B. C. D. 2348
2
6.猪八戒每天早上7点至9点之间起床,它在7点半之前起床的概率______.(将问题转化为时间长度) 7(选做)设p在[0,5]上随机地取值,求方程x+px+
p1
+=0有实根的概率。 42
提示:点P在[0,5]上随机取值,故[0,5] 为试验所有结果构成的区域D,又一元二次方程有实数根
⇔∆≥0⇔p≤-1或p≥2,所以d=[0,5]⋂{p≤-1或p≥2}
【课堂小结】
1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型,其概率计算原理通俗、简单,对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、角度、面积或体积. 2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个,并且每个结果发生的可能性相等,那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置,将随机事件转化为几何问题,即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率.
3、使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.
§3.3.1 几何概型(二)
(1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式: P(A)=
构成事件A的区域 d 的长度(面积、角度或体积)
;
试验的全部结果所构成的区域 D 的长度(面积、角度或体积)
“面积”化、“体积”化. 重点: 几何概型的概念及应用.
难点: 对几何概型的理解,将问题“角度”化、“面积”化、“体积”化.
“面积”化、“角度”化或“体积”化.
.
【典型例题】 测量面积
一般的对于两个平面区域d,D,且d⊂D,点P落在区域D内每一点上都是等可能的,当D是个平面图形,记“点P落在区域d内” 为事件A,且事件A发生的概率只与d的面积有关时,一般有
d 的面积
.
D 的面积
例1 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
分析:石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是等可能的,而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率。
练习:如图1是一个边长为1米的正方形木板,上面画着一个边界不规则的地图和板上被雨点打上的痕迹,则这个地图的面积为______平方米.
分析:雨点落在地图上的概率问题是几何概型,用面积比计算.
雨点打在地图和板上是随机的,地图上有9个雨点痕迹,板上
其他位置有18个雨点痕迹,由此计算雨点落在地图上的概率,反过来推导地图面积.
P(A)=
例2假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A,那么事件A是哪种类型的事件? 分析:送报人到达的时刻与父亲离开家的时刻是相互独立且是等可能的,所以应该引入两个变量来求解.
设送报人到达的时间为x(6.5≤x≤7.5),父亲离开家的时刻为y(7≤y≤8)事件A对应于不等关系“y≥x”.怎样建立x与y之间的关系才能解决这一不等关系呢?
自然我们就想到建立二维平面直角坐标系,将x与y之间的关系向点(x, y)转化,用点来解决。试验全部结果所构成的区域D={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8},面积
SD=1⨯1=1,事件A所构成的区域
d={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8,y≥x},Sd=1-
一个几何概型.
1117
⨯⨯=,这是2228
练习 从(0,1)开区间中随机取两个数,求下列情况下的概率: ⑴ 两数之和小于1.2;⑵两数平方和小于
【典型例题】 测量角度
对于两个平面区域d,D,且d⊂D,当D为平面图形时,如果点P在整个平面图形上或线段长度上分布不是等可能的,注意观察角度是否等可能,若只与角度有关,则可以选择角度作为事件A所构成的区域.
例3 如图3,在平面直角坐标系内,射线OT落在60°角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在∠xOT内的概率.
分析:以O为起点作射线OA是随机的,因而射线OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关,符合几何概型的条件.
1. 4
例4 在等腰RtACB中,过直角顶点C在∠ACB内部任做一条射线CM,与线段AB交于点M,求|AM|
分析:因为过一点 例4图作射线是均匀的,所以基本事件“射线
CM落在∠ACB内任一处”是等可能的,且对应于角∠ACM.所以使|AM|
∠ACC1(点C1在线段AB上,且|AC|=|AC1|)
注 对比§3.3.1 几何概型(一)例3解决本题的关键是找准基本事件的对应点,保证所给概率问题的等可能性,才能得出与原题对应的正确解答。 【典型例题】 测量体积
对于两个区域d,D,且d⊂D,当D为三维空间时,当点P落在D每一处都是等可能的,记“点P落在区域d内” 为事件A,且事件A发生的概率只与d的体积有关时,可以选择体积作为事件A所构成的区域.
例5 在1升高产小麦种子中混入了一个带麦诱病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?
分析:病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫克种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。
1.向面积为S的∆ABC内任投一点P,则∆PBC的面积小于A.
S
的概率为( ) 2
1332 B. C. D. 2543
2. (选做)A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A、B两点,得到弦AB,它的长度大于等于半径长度的概率为 ( ) A.
121 B. C. D. 23
42
3.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( )
A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定
4.(选做)在矩形ABCD中,AB=5,BC=7.现在向该矩形内随机投一点P,则∠APB>90时的概率是
5.在棱长为1的正方体ABCD-A使四棱锥M-ABCD1BC11D1中做四棱锥M-ABCD,的体积小于
1
的概率是6
6
的概率是. 5
6.在区间(0,1)中随机地取出两个数,这两个数的和小于【能力提升】
7.如图,∠AOB=60︒,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,试求:(1)∆AOC为钝角三角形的概率 (2)∆AOC为锐角三角形的概率.
A8.(会面问题)甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过
时离去,求甲乙两人能会面的概率.(见下图所示)
O
B
9. (选做) 在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率.
§3.3.2 几何概型的应用与均匀随机数的产生
1.理解并掌握几何概型的概率公式和其应用解题的关键; 2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; 3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.
重点: 1.应用几何概型概率公式解决几何概型问题;
2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法
难点: 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.
学法指导
通过例题和练习在应用中巩固几何概型概率公式解题的关键(即时刻明确构成事件A的基本要素是“点”,而试验的全部结果是一个几何图形);通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法。
几何概型的定义,以及相关的古典概型中的随机模拟方法.
【提出问题】
1.随机试验的结果有无限多个,当再满足
必修三★第三章 概率 * 昆三十四中学 *
时, 我们称这样的概率模型为几何概型.
2.几何概型中,事件A的概率计算公式为: P(A)=
.
试验的全部结果所构成的区域长度(面积)
【巩固提高】
例1 如图1所示,平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r
分析:硬币不与直线相碰,可以看作硬币的中心O到直线的距离|OM|>r,这样就可以把问题转化为中心O到较近的一条直线的距离|OM|满足r
概率问题。因为硬币是任意掷在平面上的,所以硬币中心O到较近一条直线的距离|OM|在0到a之间是等可能的任意一个值,所以这符合几何概型的条件。
注:解决本题的关键是把硬币与直线的关系转化为硬币中心到直线的距离,从而转化为长度型的几何概
率问题.
2
1)上随机取两个数m例2 在区间(0,,n,求关于x
的一元二次方程x+m=0有实根的概率.
分析:题目中有两个随机变量,这时一般构造二维几何模型(即利用直角坐标系),将问题转化为面积
型的几何概率问题求解.
注:要注意对“等可能”的理解.
值,对于几何概型,我们也可以进行上述工作.
一个人到单位的时间可能是8:00~9:00之间的任何一个时刻,若设定他到单位的时间为8点过X分种,则X可以是0~60之间的任何一刻,并且是等可能的.我们称X服从[0,60]上的均匀分布,X为[0,60]上的均匀随机数.
思考1:一般地,X为[a,b]上的均匀随机数的含义如何?X的取值是离散的,还是连续的?
我们常用的是[0,1]上的均匀随机数,可以利用计算器产生(见教材P137).
思考2:如何利用计算机产生0~1之间的均匀随机数?
计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数,如果试验的结果是区间[a,b]上等可能出现的任何一个值,那么就需要产生[a,b]上的均匀随机数.
思考3:请问你有什么好办法利用计算机来产生[2,6]上的均匀随机数?[a,b]上的均匀随机数又如何产生呢?(行胜于言,试一试吧!)
【理论迁移】
认真阅读思考教材P137~138例2的解析,尤其是方法二.
例3 在正方形中随机撒一把豆子,如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.
提示:每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,那么落在每个区域的豆子数就与这个区域的面积成正比,这样出现了一个关键的等量关系.
2
例4 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x 所围成的图形的面积. 提示:面积比等于落在其中点的个数比.
例题要点:
1.利用几何概型的概率公式,结合随机模拟试验,可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题,体现了数学知识的应用价值.
2.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是,构造一个包含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生某区间内的均匀随机数,再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
【课堂小结】
1.在区间[a,b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值,不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随机数只取区间内的整数.
2.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)+a,可以产生任意区间[a,b]上的均匀随机数,其操作方法要通过上机实习才能掌握.
例4图 1.设A为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与A连结,则弦长超过半径和半径2倍的概率分分别为.
2.(选做)已知半圆O的直径AB=2R,作平行于AB的弦MN,则MN
3.有一个半径为5的圆,现将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况,则硬币完全落在圆内的概率是.
4.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-2,6]内的均匀随机数,需实施的变换为( )
A.a=a1*8 B.a=a1*8+2 C.a=a1*8-2 D.a=a1*6
5.在图的正方形中随机撒一把芝麻, 用随机模拟的方法来估计圆周率π的值.如果撒了1000个芝麻,落在圆内的芝麻总数是776颗,那么这次模拟中π的估计值是_________.(精确0.001)
6. (选做) 若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L,则L与线段BC相交的概率为 .
a>0)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率均与该区域
π
的面积成正比,求该点与原点连线与x轴的夹角小于的概率.
4
7.例4
随机地向半圆0
8.教材P146,B组第4题.
纠错矫正