现代控制理论习题

《现代控制理论》练习题

判断题

1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

=Ax ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是4. 对系统x

一致的。

5. 对一个系统，只能选取一组状态变量；

6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的系统矩阵，进而决定系统的动态特性；

7. 状态反馈不改变系统的能控性。

8. 若传递函数G (s ) =C (sI -A ) -1B 存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；

9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的；

10. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。

11. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。

12. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。

13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。

14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。

15. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。

16. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。

17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。

18. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。

填空题

l ．系统状态完全能控是指 。

2．系统状态的能观性是指 。

3．系统的对偶原理： 。

4．对于一个不能控和不能观的系统，按系统结构标准分解

为、、

5．对于单输入单输出系统，系统能控、能观的充要条是 是。

7．系统平衡状态的渐近稳定性的定义

为：。

10．受控系统∑(A , B , C ) ，采用状态反馈能镇定的充分必要条件

11. 对于状态完全能控的线性系统，状态反馈可以将闭环极点配置

到；而对于单输入单输出线性系统，输出反馈只能将闭环极点配置到。

12. 李雅普诺夫第一法判断稳定性的判据

为。 问答题

1．简述系统状态完全能控性的涵义，说明状态能控与输出能控的区别。

2. 解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件。

3. 简述系统大范围渐近稳定的涵义 是。

=Ax 4. 给定系统状态空间模型x

（1） 试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性？

（3） 给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。

针对一个动态系统和确定的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能量随着时间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来，这就是李雅普诺夫意义下的稳定性。

5. 简述对偶系统的定义及对偶原理。

6. 对一个由状态空间模型描述的系统，回答能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？简述一种极点配置状态反馈制器的设计方法。

7. 简述判断线性定常连续系统能控性的两种方法。

8. 简述判断线性定常连续系统能观性的两种方法。

9. 利用李雅普诺夫第二法判断线性定常系统稳定的充分必要条件是什么？

10. 画出带有观测器的状态反馈控制系统设计框图，并说明设计步骤。

11. 带有观测器的状态反馈控制系统设计中的闭环极点设计分离定理是什么？

12. 能使系统镇定的充要条件。

13. 观测器存在的充要条件。

第一章 计算题

1． 图中是由电阻R 电感L 和电容C 组成的RLC 无源网络，指定u 为输入量， u c 为输

出量。列写其状态方程和输出方程。

2． 给定下列状态空间表达式

⎡. ⎤⎢x 1⎥⎢. ⎥⎢x ⎥⎢2⎥⎢. ⎥⎢x 3⎥⎢⎦⎥⎣ ⎡x 1⎤⎡010⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎢x ⎥⎥. ⎢x ⎥+⎢1⎥u =⎢-2-30y =001[]2⎢2⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣-11-3⎥⎦⎢⎣2⎥⎦； ⎣x 3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦

（1） 画出其模拟结构图。

（2） 求系统的传递函数。

3． 设系统的微分方程为y +2ξωy +ω2y =T u +u ，试求系统的状态方程和输出方程。

4． 求出下列输入输出描述的能控标准型实现（能控标准型状态空间表达式）。

.. . .

G (s ) =

5. 考虑由下式确定的系统：

控标准型、能观标准型和对角线标准型。

第二章 计算题 s +3s 2+3s +2 试求其状态空间实现的能

= 6. 对线性系统，x ⎛01⎫⎛0⎫⎪x + ⎪u ⎝-2-3⎭⎝1⎭

（1）用线性变换法与拉氏变换法两种方法求其矩阵指数函数e At 。

（2） 当u =1 (t ) 时，求初始状态为零时状态运动的解。

解：利用线性变换法见P63。

利用拉氏变换发见P65。

状态运动的解见P69。

7. 已知输入量为r 维的n 阶系统：

=Ax +Bu x

在零初始条件下，求输入量为阶跃输入函数：u =1 (t ) 时的响应。

⎛-10⎫⎛1⎫ 8. .对线性系统，x = ⎪x + ⎪u , 0-2⎝⎭⎝1⎭

（1）求其矩阵指数函数e At 。

（2） 当u =1 (t ) 时，求状态运动的解。

（3）判断系统的能控性。

9. 设系统为 ⎛2⎫x (0)= ⎪， ⎝3⎭

⎡-a 0⎤⎡1⎤⎡1⎤ (t )=⎢x x t +u t , x (0)=()()⎥⎢1⎥⎢1⎥ 0-b ⎣⎦⎣⎦⎣⎦

试求出在输入为u =t (t ≥0) 时系统的状态响应。

第三章 线性控制系统的能控性和能观性

10. 线性系统的传递函数为y (s ) s +a =3 u (s ) s +10s 2+27s +18

（1） 试确定a 的取值，使系统不能控或不能观。（提示，系统没有零极点对消现

象）

（2） 在上述a 的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式。

解：

⎡110⎤⎡0⎤⎥x +⎢1⎥u ; 01011. 设系统的状态方程及输出方程为x =⎢y =[001]x 试判定⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣0-11⎥⎦⎣1⎥⎦

系统的能控性。(提示：秩判据)

12. 判断系统的能控性与能观性。

P94，例3-1，并要求判断相应系数是否为零分情况讨论。

⎡-110⎤⎡1⎤

=⎢02-1⎥x +⎢1⎥u 的能控标准型。 13. 求系统x ⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣01-1⎥⎦⎣1⎥⎦

=⎢14. （1）实数a , b 满足什么条件时系统x

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法 ⎡01⎤⎡a ⎤x +u 状态完全能控（4分） ⎥⎢⎥⎣-32⎦⎣b ⎦

15. 取Q =I ，通过求解Lyapunov 方程判断系统平衡点x =0的稳定性. 是否为大范围一

=⎢致渐近稳定？ x

⎛a b ⎫解: 令P = ⎪ b c ⎝⎭

A T P +PA +Q =0 ⎡11⎤x ⎥⎣-5-3⎦

2a -10b +1=0⎛4.51⎫-2b -5c +a =0P = ⎪

⎝10.5⎭2b -6c +1=0

4.5>0, P =1.25>0，P 正定，大范围一致渐近稳定…

16. P167例题4-4

17. P167例题4-5

18. 用李雅普诺夫第一法判定系统⎨ 1=-x 1+x 2⎧x 在原点的稳定性。 x =-2x -3x 12⎩ 2

解： λI -A =λ+1

2-1=λ2+4λ+5，两个特征根均具有负实部，系统大范λ+3

围一致渐近稳定。

19. 给定系统如下，判断原点平衡状态是否为大范围渐近稳定。

解：

第五章 线性定常系统的综合

20. P195， 例5-2

21. P202 ， 例5-4

22. P215， 例 5-9