对数与对数函数
§2.6 对数与对数函数
1. 对数的概念
如果a b =N (a >0且a ≠1) ,那么数b 叫作以a 为底N 的对数,记作__叫作对数的底数,__N __叫作真数. 2. 对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么
M
①log a (MN ) log a
N n
③log a M n n ∈R ) ;④log a m M n =a M .
m (2)对数的性质
①a log a N =__;②log a a N =__N __(a >0且a ≠1) . (3)对数的重要公式
log N
①换底公式:log b N =(a ,b >0,a ,b ≠1,N >0);
log a b 1
②log a b =,推广log a b ·log b c ·log c d =log b a 3. 对数函数的定义
我们把函数y =log (a >0,a ≠1) 叫作对数函数,函数定义域为(0,+∞) . 4.对数函数的图像与性质
4.
指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数,它们的图像关于直线____对称.
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若log 2(log3x ) =log 3(log2y ) =0,则x +y =5. ( √ ) (2)2log510+log 50.25=5.
(3)已知函数f (x ) =lg x ,若f (ab ) =1,则f (a 2) +f (b 2) =2. (4)log2x 2=2log 2x .
(5)当x >1时,log a x >0.
(6)当x >1时,若log a x >logb x ,则a
2. (2013·课标全国Ⅱ) 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则
A .c >b >a B .b >c >a C .a >c >b
D .a >b >c
答案 D
解析 a =log 36=1+log 32=1+
1
log 3
, 2b =log =1+log 1
51052=1+log 5,
2c =log 14=1+log =11
772log 7,
2显然a >b >c .
3. (2013·浙江) 已知x ,y 为正实数,则
A .2lg x +lg y
=2lg x +2lg y
B .2lg(x
+y )
=2lg x ·2lg y
C .2lg x ·lg y
=2lg x +2lg y
D .2lg(xy ) =2lg x ·2lg y 答案 D
解析 2lg x ·2lg y =2lg x +lg y
=2lg(xy ) .
故选D.
4. 函数f (x ) =log 5(2x +1) 的单调增区间是________.
答案 (1
2
,+∞)
解析 函数f (x ) 的定义域为(-1
2
,+∞) ,
( × ) ( √ ) ( × ) ( × ) ( × ) ( )
( )
令t =2x +1(t >0).
因为y =log 5t 在t ∈(0,+∞) 上为增函数, 1
t =2x +1在(-,+∞) 上为增函数,
2
1
所以函数y =log 5(2x +1) 的单调增区间是(-,+∞) .
2
15. 已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞) 上为增函数,f ⎛则不等式f (log1x )>0⎝3=0,
8
的解集为________________. 1
0∪(2,+∞) 答案 ⎛⎝2解析 ∵f (x ) 是R 上的偶函数, ∴它的图像关于y 轴对称. ∵f (x ) 在[0,+∞) 上为增函数, ∴f (x ) 在(-∞,0]上为减函数, 1⎛1=0. 由f ⎛=0,得f ⎝3⎝311
∴f (log1x )>0⇒log 1x
33
8
8
8
1
⇒x >2或0
21
0,∪(2,+∞) .
∴x ∈⎛⎝2
题型一 对数式的运算
例1 (1)若x =log 43,则(2x -2x ) 2等于
-
4
D. 3
( )
9A. 4
5 4
10
C. 3
⎧⎪log 2x ,x >0,1
(2)已知函数f (x ) =⎨-x 则f (f (1))+f (log3的值是
2⎪3+1,x ≤0,⎩
( )
A .5 B .3 C .-1
7
D. 2
思维启迪 (1)利用对数的定义将x =log 43化成4x =3; (2)利用分段函数的意义先求f (1),再求f (f (1)); 1
f (log3可利用对数恒等式进行计算.
2
答案 (1)D (2)A
解析 (1)由x =log 43,得4x =3, 即2x ,2x =
-
3 3
324-
所以(2x -2x ) 2=(=33(2)因为f (1)=log 21=0, 所以f (f (1))=f (0)=2.
-log 3112
因为log 3,所以f (log3) =3+1
22
1
=3
log 32
+1=2+1=3.
1
所以f (f (1))+f (log3=2+3=
5.
2
思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式.
1⎧⎪(2x ,x ≥4,
已知函数f (x ) =⎨则f (2+log 23) 的值为________.
⎪⎩f (x +1),x
答案
1
24
解析 因为2+log 234,
13+log 2311log 23
所以f (3+log 23) =)
282111
=8324
题型二 对数函数的图像和性质
例2 (1)函数y =2log 4(1-x ) 的图像大致是
( )
(2)已知f (x ) 是定义在(-∞,+∞) 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a =f (log47) ,b =f (log13) ,c =f (0.2
2
-0.6
) ,则a ,b ,c 的大小关系是
B .c ( )
A .c
思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图像;(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小,利用函数的单调性或中间值可达到目的. 答案 (1)C (2)B
解析 (1)函数y =2log 4(1-x ) 的定义域为(-∞,1) ,排除A 、B ; 又函数y =2log 4(1-x ) 在定义域内单调递减,排除D. 选C. (2)log13=-log 23=-log 49,
2
b =f (log13) =f (-log 49) =f (log49) ,
2
log 47
-0.6
1-5⎛=⎝5=125>32=2>log49,
3
又f (x ) 是定义在(-∞,+∞) 上的偶函数, 且在(-∞,0]上是增函数, 故f (x ) 在[0,+∞) 上是单调递减的, ∴f (0.2
-0.6
)2
思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质,可以用来比较函数值的大小,解不等式等;
(2)函数图像可以直观表示函数的所有关系,充分利用函数图像解题也体现了数形结合的思想.
1-0.8
(1)已知a =21.2,b =⎛⎝2,c =2log 52,则a ,b ,c 的大小关系为( )
A .c
B .c
(2)已知函数f (x ) =log a (x +b ) (a >0且a ≠1) 的图像过两点(-1,0) 和(0,1),则a =________,b =________. 答案 (1)A (2)2 2
1⎫-0.80.81.2
解析 (1)b =⎛=2(2)f (x ) 的图像过两点(-1,0) 和(0,1).
则f (-1) =log a (-1+b ) =0且f (0)=log a (0+b ) =1,
⎧⎧⎪b -1=1⎪b =2∴⎨,即⎨. ⎪b =a ⎪⎩⎩a =2
题型三 对数函数的应用
例3 已知函数f (x ) =log a (3-ax ) .
(1)当x ∈[0,2]时,函数f (x ) 恒有意义,求实数a 的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x ) 在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由.
思维启迪 f (x ) 恒有意义转化为“恒成立”问题,分离参数a 来解决;探究a 是否存在,可从单调性入手.
解 (1)∵a >0且a ≠1,设t (x ) =3-ax , 则t (x ) =3-ax 为减函数, x ∈[0,2]时,t (x ) 最小值为3-2a , 当x ∈[0,2]时,f (x ) 恒有意义, 即x ∈[0,2]时,3-ax >0恒成立. 3∴3-2a >0.∴a
2
31,. 又a >0且a ≠1,∴a ∈(0,1)∪⎛⎝2(2)t (x ) =3-ax ,∵a >0,∴函数t (x ) 为减函数, ∵f (x ) 在区间[1,2]上为减函数, ∴y =log a t 为增函数,
∴a >1,x ∈[1,2]时,t (x ) 最小值为3-2a ,f (x ) 最大值为f (1)=log a (3-a ) ,
⎧⎪3-2a >0
∴⎨⎪⎩log a (3-a )=1
⎧a
,即⎨3
a =⎩2
3
,
故不存在这样的实数a ,使得函数f (x ) 在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1),还是a ∈(1,+∞) ;
(2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行;
(3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.
已知f (x ) =log 4(4x -1) .
(1)求f (x ) 的定义域; (2)讨论f (x ) 的单调性;
1
(3)求f (x ) 在区间[,2]上的值域.
2解 (1)由4x -1>0,解得x >0, 因此f (x ) 的定义域为(0,+∞) . (2)设0
故f (x ) 在(0,+∞) 上递增. 1
(3)f (x ) 在区间[,2]上递增,
21
又f () =0,f (2)=log 415,
2
1
因此f (x ) 在[,2]上的值域为[0,log 415].
2
利用函数性质比较幂、对数的大小
典例:(15分)(1)设a =0.50.5,b =0.30.5,c =log 0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系是
A .a >b >c C .b
log 23. 4x
x 2x
x 2
-1,
-1) ,
( )
log 43. 6
B .a
,c =() 3,则
5B .b >a >c D .c >a >b
( )
,b =5
A .a >b >c C .a >c >b
(3)已知函数y =f (x ) 的图像关于y 轴对称,且当x ∈(-∞,0) 时,f (x ) +xf ′(x )a >c C .c >b >a
B .c >a >b D .a >c >b
思维启迪 (1)利用幂函数y =x 0.5和对数函数y =log 0.3x 的单调性,结合中间值比较a ,b ,c
的大小;
(2)化成同底的指数式,只需比较log 23.4、log 43.6、-log 30.3=log 3利用中间值或数形结合进行比较;
(3)先判断函数φ(x ) =xf (x ) 的单调性,再根据20.2,log π3,log 39的大小关系求解.
10
的大小即可,可以3
解析 (1)根据幂函数y =x 0.5的单调性,可得0.30.51. 所以b
log 31log 30. 3 log 30. 3
(2)c =() =5=53.
5
10
方法一 在同一坐标系中分别作出函数y =log 2x ,y =log 3x , y =log 4x 的图像,如图所示. 由图像知:
10
log 23.4>log3>log43.6.
3
1010
方法二 ∵log 3>log33=1,且
3310
∴log 333.4
310
∵log 43.6
310
∴log 43.6
∴log 23.4>log343.6.
3由于y =5为增函数,∴5即5
log 23. 4
x log 23. 4
>5
log 3
103
>5
log 43. 6
.
1log 0. 3log 3. 6
>(3 >54,故a >c >b . 5
(3)因为函数y =f (x ) 关于y 轴对称,所以函数y =xf (x ) 为奇函数. 因为[xf (x ) ]′=f (x ) +xf ′(x ) ,且当x ∈(-∞,0) 时,
[xf (x ) ]′=f (x ) +xf ′(x )a >c ,选A. 答案 (1)C (2)C (3)A
温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方
法.
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或
1.
方法与技巧
1. 对数函数的定义域及单调性
在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y =log a x 的定义域应为{x |x >0}.对数函数的单调性和a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按01进行分类讨论.
2. 比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 3. 多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线y =1交点的横坐标进行判定. 失误与防范
1. 在运算性质log a M α=αlog a M 中,要特别注意条件,在无M >0的条件下应为log a M α=
αlog a |M |(α∈N +,且α为偶数) .
2. 指数函数y =a x (a >0,且a ≠1) 与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1) 互为反函数,应从概念、
图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.
3. 解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底
数的取值范围.
A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)
一、选择题 1. 函数y =
2-x
的定义域是 lg x
( )
A .{x |0
B .{x |0
D .{x |0
2-x ≥0⎧⎪
解析 要使函数有意义只需要⎨x >0,
⎪⎩lg x ≠0解得0
∴定义域为{x |0
2. 函数y =lg|x -1|的图像是
答案 A
解析 ∵y =lg|x -1|=⎧⎪⎨lg (x -1),x >1
⎪⎩
lg (1-x ),x
.
∴A 项符合题意.
3. 已知x =ln π,y =log -152,z =e
2
,则 A .x
D .y
答案 D
解析 ∵x =ln π>ln e,∴x >1. ∵y =log 1
52
1∵z =e
-2
=
1e 14=12
∴1
2
综上可得,y
⎧. 设函数f (x ) =⎪log 2
x ,x >0,4⎨1
若f (a )>f (-a ) ,则实数a 的取值范围是
⎪⎩log -x ),x
A .(-1,0) ∪(0,1)
B .(-∞,-1) ∪(1,+∞) C .(-1,0) ∪(1,+∞) D .(-∞,-1) ∪(0,1)
答案 C
⎧a >0解析 f (a )>f (-a ) ⇒ ⎪
,⎨
或 ⎪⎩log 2a >log1
a 2
⎧⎪a
a >0,⎧⎪a log2(-a )
⎩a >1 或⎨⎪⎩-1
⇒a >1或-1
5.函数f (x ) =log a (ax -3) 在[1,3]上单调递增,则a 的取值范围是( )
(
)
( )
( )
A .(1,+∞) 1
0 C. ⎛⎝3答案 D
B .(0,1) D .(3,+∞)
解析 由于a >0,且a ≠1,∴u =ax -3为增函数, ∴若函数f (x ) 为增函数,则f (x ) =log a u 必为增函数, 因此a >1.又y =ax -3在[1,3]上恒为正, ∴a -3>0,即a >3,故选D. 二、填空题
-1
6. 计算(lg lg 25)÷1002=________.
4
1
答案 -20
-11-
解析 (lg -lg 25)÷1002=(lg )÷101
4100
1
=-2×10=-20.
x 1
⎧⎪3,x ≤0,
7. 已知函数f (x ) =⎨则使函数f (x ) 的图像位于直线y =1上方的x 的取值范围
⎪log 2x ,x >0,⎩
+
是________________. 答案 {x |-12}
解析 当x ≤0时,3x 1>1⇒x +1>0,∴-1
+
当x >0时,log 2x >1⇒x >2,∴x >2.
综上所述,x 的取值范围为-12. 1+a 2
8. 若log 2a
1+a
1⎫
答案 ⎛⎝2,1⎭
1+a 2解析 当2a >1时,∵log 2a =log 2a 1,
1+a 1+a 2∴0,∴1+a 2
∴a 2-a 21+a 2
当0
1+a 1+a 2∴>1.∵1+a >0,∴1+a 2>1+a , 1+a ∴a 2-a >0,∴a 1,此时不合题意.
1⎫
综上所述,a ∈⎛⎝2,1⎭. 三、解答题
9. 已知函数f (x ) =log a (x +1) -log a (1-x ) ,a >0且a ≠1.
(1)求f (x ) 的定义域;
(2)判断f (x ) 的奇偶性并予以证明; (3)当a >1时,求使f (x )>0的x 的解集. 解 (1)要使函数f (x ) 有意义.
⎧⎪x +1>0,则⎨解得-10,
故所求函数f (x ) 的定义域为{x |-1
(3)因为当a >1时,f (x ) 在定义域{x |-10⇔>1,解得0
1-x 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0
11
10.设x ∈[2,8]时,函数f (x ) =a (ax )·log a (a 2x )(a >0,且a ≠1) 的最大值是1,最小值是-,
28
求a 的值.
1
解 由题意知f (x ) a x +1)(loga x +2)
211321=2a x +3log a x +2) =a x -. 222813当f (x ) 取最小值-时,log a x =-.
82又∵x ∈[2,8],∴a ∈(0,1). ∵f (x ) 是关于log a x 的二次函数,
∴函数f (x ) 的最大值必在x =2或x =8时取得.
-131
若a 2+2=1,则a =23, 228
1
1-此时f (x ) 取得最小值时,x =(2-) 2
3=2∉[2,8],舍去.
3
1311若a 8+2=1,则a =, 2282
1-21此时f (x ) 取得最小值时,x =() =2∈[2,8],符合题意,∴a =.
22
B 组 专项能力提升 (时间:30分钟)
2
1. 设f (x ) =lg ⎛1-x +a ⎫是奇函数,则使f (x )
3
⎝⎭
( )
A .(-1,0)
B .(0,1)
D .(-∞,0) ∪(1,+∞)
C .(-∞,0) 答案 A
解析 由f (x ) 是奇函数可得a =-1, 1+x
∴f (x ) =lg ,定义域为(-1,1) .
1-x 1+x
由f (x )
1-x
2. 设函数f (x ) 定义在实数集上,f (2-x ) =f (x ) ,且当x ≥1时,f (x ) =ln x ,则有
11A .f ()
3211
C .f ()
23答案 C
2-x +x 解析 由f (2-x ) =f (x ) 知f (x ) 的图像关于直线x ==1对称,又当x ≥1时,f (x ) =
2ln x ,所以离对称轴x =1距离大的x 的函数值大, 11
∵|2-1|>|-1|>|-1|,
3211
∴f ()
23
22
3. 设函数f (x ) =log a x (a >0,且a ≠1) ,若f (x 1x 2„x 2 015) =8,则f (x 1) +f (x 22) +„+f (x 2 015) =
( )
11
B .f ()
________. 答案 16
解析 f (x 1x 2„x 2 015) =log a (x 1x 2„x 2 015) =8,
22
f (x 21) +f (x 2) +„+f (x 2 015) 22=log a x 21+log a x 2+„+log a x 2 015
=log a (x 1x 2„x 2 015) 2=2log a (x 1x 2„x 2 015) =16. 4. 设f (x ) =|lg x |,a ,b 为实数,且0
(1)求方程f (x ) =1的解;
a +b
(2)若a ,b 满足f (a ) =f (b ) ,求证:a ·b =1,2
a +b
(3)在(2)的条件下,求证:由关系式f (b ) =2f ) 所得到的关于b 的方程g (b ) =0,存在
2b 0∈(3,4),使g (b 0) =0.
1
(1)解 由f (x ) =1得,lg x =±1,所以x =10或.
10
(2)证明 结合函数图像,由f (a ) =f (b ) 可判断a ∈(0,1),b ∈(1,+∞) ,
从而-lg a =lg b ,从而ab =1. 1b ·b
b a +b b 1
又>1(因≠b ) .
222b a +b 2(3)证明 由已知可得b =(,
2
1
得4b =a 2+b 2+2ab ,得+b 2+2-4b =0,
b 1
g (b ) +b 2+2-4b ,
b
因为g (3)0,根据零点存在性定理可知,函数g (b ) 在(3,4)内一定存在零点,即存在b 0∈(3,4),使g (b 0) =0.
5. 已知函数y =log 1(x 2-ax +a ) 在区间(2) 上是增函数,求a 的取值范围.
2
解 函数y =log 1(x 2-ax +a ) 是由函数y =log 1t 和t =x 2-ax +a 复合而成.
2
2
因为函数y =log 1t 在区间(0,+∞) 上单调递减,
2
a
而函数t =x 2-ax +a 在区间(-∞,) 上单调递减,
2a
故函数y =log 1(x 2-ax +a ) 在区间(-∞,]上单调递增.
2
2
又因为函数y =log 1(x 2-ax +a ) 在区间(-∞2) 上是增函数,
2
a 22⎧a ≥22,
所以⎨解得⎨
22a +a ≥0,⎩2⎪⎩(2)-2a +a ≥0,
即22≤a ≤2(2+1) .