高中数学 函数的基本性质及其例题讲解
函数的基本性质
单调性与最大（小）值：
1. 增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：
①定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1
②定义：如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x)的单调区间。
2例1．判断函数y =在区间[2，6] 上的单调性 x -1
巩固练习：
1. 求证f(x)＝x ＋的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。
2. 证明：函数f (x ) =1-
1x 1在(-∞,0) 上是增函数. x
最大小值
一. 函数最大（小）值的概念：
①定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；存在x 0∈I ，使得f(x0) = M . 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）。 ②定义最小值：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x) ≥M ；存在x 0∈I ，使得f(x0) = M . 那么，称M 是函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）。
1．例题讲解：
2例1．求函数y =在区间[2，6] 上的最大值和最小值． x -1
例2
．求函数y =x
巩固练习：
1. 求y =|x +1|-|x -2|的最小值。
2
．求函数y =2x .
3. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？
奇偶性
一．奇函数、偶函数的概念：
①定义偶函数：一般地，对于函数f (x ) 定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 叫偶函数（even function）。
③定义奇函数：一般地，对于函数f (x ) 定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 叫奇函数（odd function）。
奇偶性判别：
例1．判断下列函数的奇偶性
11（1）f (x ) =x + （2）f (x ) =2． x x
⎧12x +1(x >0) ⎪⎪2（3） g (x ) =⎨ （4）y =-x 2+x 2-1
⎪-1x 2-1(x
巩固练习：
1、判别函数f(x)＝|x＋1|+|x－1|的奇偶性。
2. 设f(x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7) ＝－17, 求f(7)的值。
3. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝1，求f(x)、g(x)。
x +1
跟进训练：
1．在区间(-∞, 0) 上为增函数的是
A ．y =1 B ．y = （ ） C ．y =-x 2-2x -1 x +2 1-x D ．y =1+x 2
2．已知函数f (x ) =(m -1) x 2+(m -2) x +(m 2-7m +12) 为偶函数，则m 的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．函数y =x 2+bx +c (x ∈(-∞, 1)) 是单调函数时，b 的取值范围 （ ）
A ．b ≥-2 B ．b ≤-2 C ．b >-2 D ． b
4．函数y =x |x |+px ，x ∈R 是 （ ）
A ．偶函数 B ．奇函数 C ．不具有奇偶函数 D．与p 有关
5． 函数f (x ) =x (x --x +) 是（ ）
A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数
C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数
6．函数y =(2k +1) x +b 在实数集上是增函数，则
A ．k >- （ ） 11 B ．k 0 D ．b >0 22
27．函数y =-x +|x |，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为2 8． 若函数f (x ) =(k -2) x +(k -1) x +3是偶函数，则f (x ) 的递减区间是.
9．已知f (x ) =x b -8，f (-2) =10，求f (2) x
10．函数f (x ) 在R 上为奇函数，且f (x ) =x +1, x >0，求当x
11．判断下列函数的奇偶性
⎧x 2+2(x >0) ⎪4 ①y =2x -1+-2x ； ②y =x +x ； ③y =⎨0(x =0) 。
⎪-x 2-2(x
212．已知函数f (x ) =x +1，且g (x ) =f [f (x )]，G (x ) =g (x ) -λf (x ) ，试问，是否存在实数λ，使得
G (x ) 在(-∞, -1]上为减函数，并且在(-1, 0) 上为增函数.