数值分析课后答案1

第一章 习题解答

1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。

解：设 x 的准确值为x *，则有

( | x – x* | /|x *| ) ≤ δ

所以

e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x* | ×| (ln x ) ’|x=ξ·≈ ( | x – x* | / | x *| ) ≤ δ

另解：

e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x*) | = | ln (( x – x* + x *) / x *) |

= | ln (( x – x* ) / x * + 1) |≤( | x – x* | /|x *| ) ≤ δ

2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。

解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以

ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。

3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字

x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086

解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。

4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。

解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。

5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = yn-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取783≈27.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？

解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈27.982所引起。记 x = 27.982，δ=x −。则利用理论准确成立的递推式

y n = yn-1 – 783/ 100

Y n = Yn-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 和实际计算中递推式

两式相减，得

e ( Yn ) = Y n – yn = Yn-1 – y n-1 – ( x –

所以，有 783)/ 100

e ( Yn ) = e ( Yn-1) – δ / 100

利用上式求和

∑e (Y ) =∑e (Y n

n =1n =1100100n −1) −δ

化简，得

e ( Y100) = e ( Y0) – δ = δ

所以，计算y 100 的误差界为

ε(Y 100) ≤δ=0. 5×0. 001=5×10−4

6 求方程 x – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=b −4ac 至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？

解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=56−4≈55.96427，取七位有效数字。 1222

由求根公式

−b +2−4ac −56+55. 96427−0. 03573 ==x 1=2a 22

具有四位有效数字，而

−b −b 2−4ac −56−55. 96427−111. 96427 ==x 2=2a 22

则具有八位有效数字。

如果利用韦达定理，首先计算出x 2，利用

x 1=

212 =x 256+562−4计算，只需取D=56−4≈55.96四位有效数字即可保证方程的两个根均具有四位有效数

字。此时有，x 1=0.01786，x 2=55.98。

7 设s =12gt ，假定g 是准确的，而对t 的测量有±0.1秒的误差，证明当t 增加时s 的绝2

对误差增加，而相对误差减小。

e (t ) |≤0.1，所以，对这一问题，当t 增加证明 由于e (s ) = g t e(t ) ，e r (s ) = 2 e (t ) / t 。而 |

时s 的绝对误差增加，而相对误差减小。

8 序列{ y n }满足递推关系 y n = 10y n-1 – 1 (n = 1，2，……) 。若取 y 0 = ≈1.41（三位有效数字），按上述递推公式，从y 0计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解 取 x 0 = 1.41，记 e (x 0) = 1.41 –2。根据

x n = 10x n-1 – 1 (n = 1，2，……)

得

e (x n ) = 10e (x n-1) (n = 1，2，……，10)

所以

e (x 10) = 1010e (x 0) 10从y 0计算到y 10时误差估计为： |e (x 10)| = 10 |e (x 0)| ≤0.5×108。

这是一个数值不稳定的算法。

9 f (x ) =ln(x −x −1) ，求f (30) 的值，若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式 2

ln(x −x 2−1) =−ln(x +x 2−1)

计算，求对数时误差有多大？

解 令 y =x −x −1，则当 x=30时，y=30 – 29.9833=0.0167有三位有效数字，其相对误差为10-3。由第一题结论，求对数时误差为 10-3。

若改用等价公式，令z =x +x −1，则当x=30时，y=30 + 29.9833= 59.9833有六位有效数字，其相对误差为10-6。由第一题结论，求对数时误差为10-6。

10 已知有求和式22∑∑a b i

i =1j =1n i j

（1） 试统计需要用多少次乘法和加法才能计算出该和式的值；

（2） 为了减少计算工作量，将和式作等价变换，变换后需要多少次乘法和加法。 解 （1）所用乘法次数：1+2+3+……+n = n( n+ 1) / 2，

2

加法次数：[0+1+2+……+ (n – 1) ]+( n – 1) = ( n + 2 ) ( n – 1) / 2；

（2）将和式等价变形为：∑[a ∑b ] i j

i =1j =1n i

所用乘法为 n 次，加法次数不变，仍为( n + 2 ) ( n – 1) / 2。

，算法输出11 试构造一个算法，对输入的数据 x 0，x 1，x 2，……，x n ，以及x （均为实数）

为 ( x –x0) ( x –x1) ( x –x2) ……( x –xn ) 的计算结果。

解 算法如下：

第一步：输入x ；x 0，x 1，x 2，……，x n ，M Å (x – x0 ) ；k Å 0； 第二步：M Å M ×(x – x0 ) ；k Å k+1；

第三步：判断，若 k ≤ n ，则转第二步；否则输出M ，结束。 12 利用级数公式111=1−+−+L 可计算出无理数π 的近似值。由于交错级数的部4357

分和数列S n 在其极限值上下摆动，故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值 | an+1|。试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。 解 由部分和

n π

S n =∑(−1) k −1

k =11 2k −1

知，截断误差满足

|S n −π

4|≤

显然，为了得到三位有效数字的近似值，绝对误差限应该为 0.0005 = 5×10-4。只需令 1 2n +1

151≤= 2n +1100002000

所以，当n ≥1000时，部分和至少有三位有效数字。

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