中央电大工程数学形成性考核册答案

工程数学作业（一）答案（满分100分）

第2章 矩阵

（一）单项选择题（每小题2分，共20分）

a 1

a 2b 2a 3a 1a 22a 2-3b 2

a 3

2a 3-3b 3=（D ）．

⒈设b 1

b 3=2，则2a 1-3b 1

c 1

c 2

c 3

c 1

c 2

c 3

A. 4 B. －4 C. 6 D. －6

001 ⒉若00a 00200=1，则a =（A ）．

1

a

A.

12

B. －1 C. -

12

D. 1

⒊乘积矩阵⎡1

-1⎤⎡-103⎤

⎢

⎣24⎥⎦⎢⎣5

2

1⎥中元素c 23=（C ）． ⎦

A. 1 B. 7 C. 10 D. 8

⒋设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）． A. A +B

-1

=A

-1

+B

-1

B. (A B ) -1=B A

-1

C. (A +B ) -1=A -1+B -1 D. (A B ) -1=A -1B -1

⒌设A , B 均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D A. A +B =A +B B. A B =n A B

C. kA =k A D. -kA =(-k ) n

A

⒍下列结论正确的是（ A ）．

A. 若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵

B. 若A , B 均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 C. 若A , B 均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵 D. 若A , B 均为n 阶非零矩阵，则A B ≠0 ⒎矩阵⎡1

3⎤

⎢

⎣2

5⎥的伴随矩阵为（ C ）． ⎦

A. ⎡1-3⎤⎡-13⎤

⎢

⎣-2

5⎥ B. ⎦⎢⎣2-5⎥ ⎦ C. ⎡5-3⎤⎡-3⎤⎢

⎣-2

1⎥ D. 5

⎦⎢⎣2

-1⎥ ⎦

⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）．

A. A ≠0 B. A ≠0 C. A *≠0 D. A *>0 ⒐设A , B , C 均为n 阶可逆矩阵，则(A CB ') -1

=（D ）．

A. (B ')

-1

A -1C -1

B. B 'C -1A -1

C. A -1

C

-1

(B

-1

) ' D. (B

-1

) 'C

-1

A -1

⒑设A , B , C 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D ）． A. (A +B ) 2

=A 2

+2A B +B 2

B. (A +B ) B =B A +B 2

C. (2A B C )

-1

=2C

-1

B

-1

A

-1

D. (2ABC ) '=2C 'B 'A '

）．

（二）填空题（每小题2分，共20分）

2

-1-401-11

0=． -11

x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是． -1

5

⒈1

0-1

⒉1

1

⒊若A 为3⨯4矩阵，B 为2⨯5矩阵，切乘积A C 'B '有意义，则C 为 ⎡1

⒋二阶矩阵A =⎢

⎣0⎡1

⒌设A =⎢4

⎢⎢⎣-3

1⎤

⎥=第一横排 3 5 第二横排 5 8 1⎦

2-1

0⎤⎡0，则(A +B ) =''⎢⎥4⎦⎣5

6-1

-3⎤

⎥ 8⎦

2⎤

⎡-1⎥

0, B =⎢⎥

⎣3

4⎥⎦

⒍设A , B 均为3阶矩阵，且A =B =-3，则-2A B = 72 ．

⒎设A , B 均为3阶矩阵，且A =-1, B =-3，则-3(A 'B -1) 2= －3 ． ⎡1a ⎤

⒏若A =⎢⎥为正交矩阵，则a = 0 ．

⎣01⎦⎡2-12⎤⎢⎥

⒐矩阵402的秩为 2 ．

⎢⎥⎢⎣0-33⎥⎦⎡A 1

⒑设A 1, A 2是两个可逆矩阵，则⎢

⎣O

O ⎤⎥A 2⎦

-1

⎡A 1-1=⎢⎣O O ⎤

． -1⎥A 2⎦

（三）解答题（每小题8分，共48分） ⎡1

⒈设A =⎢

⎣-3

(AB ) 'C ．

2⎤⎡-1, B =⎥⎢5⎦⎣4

⎡0⎣1

1⎤⎡5

, C =⎥⎢3⎦⎣34⎤

⎥，求⑴A +B ；⑵A +C ；⑶2A +3C ；⑷A +5B ；⑸AB ；⑹-1⎦

16⎤⎥ 7⎦

答案：A +B =⎢

3⎤⎡6 A +C =⎥⎢8⎦⎣022⎤⎡7

AB =⎥⎢0⎦⎣23

6⎤⎡17

2A +3C =⎢⎥4⎦⎣37⎤⎡56

' (AB ) C =⎥⎢

12⎦⎣151

⎡26

A +5B =⎢

⎣1221⎤⎥ 80⎦

⎡-1

⒉设A =⎢

⎣0

2-1

1⎤⎡1, B =⎥⎢2⎦⎣2

20

01

⎡-1

3⎤⎢⎥, C =⎢3-1⎦

⎢⎣0

1-20

1-20

4⎤

⎥

1，求AC +BC ． ⎥2⎥⎦

-42

10⎤

⎥ 10⎦

⎡0

解：AC +BC =(A +B ) C =⎢

⎣2

⎡-14⎤⎢⎥⎢31⎦⎢⎣04⎤

⎥⎡61=⎢⎥

⎣-22⎥⎦

⎡3

⎢

⒊已知A =-1

⎢⎢⎣3

124

0⎤⎡1

⎥⎢1, B =-1⎥⎢

⎢2⎥⎦⎣2

011

2⎤

⎥

1，求满足方程3A -2X =B 中的X ． ⎥1⎥⎦

解： 3A -2X =B

⎡8

11

∴ X =(3A -B ) =⎢-2

22⎢

⎢⎣7

3511

⎡

⎢4

-2⎤

⎢⎥

2=⎢-1⎥

⎢5⎥⎦⎢7

⎢2⎣

3252112

⎤-1⎥⎥1⎥ ⎥5⎥2⎥⎦

⒋写出4阶行列式

1-103

0421

23-51

0630

中元素a 41, a 42的代数余子式，并求其值．

20

120答案：a 41=(-1) 4+14

36=0 a 42=(-1) 4+2

-136=45 2

-5

3

-5

3

⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ⎡1

22⎤⎡1

234⎤⎡1000⎤ ⑴ ⎢-2⎥

⎢

2312

⎥⎢100

⎥⎢2

1⎥； ⑵ ⎢⎥⎢1⎥⎢11-1⎥； ⑶ ⎢1110⎥． ⎣2

-2

1⎥⎢1⎦

⎢⎣1

-2

-6⎥⎦

⎢⎣1

1

1

1⎥⎦

解：（1）

⎡1

21

22100⎤⎡22100⎤2

⎡

r 0-2-

[3

3A |I ]=⎢⎢2

1-2010⎥-2r r 1−-−2r 1+2

1−+−r ⎢⎥3→⎢0

-3-6-210⎥3

2+r 1⎢1−-−2r ⎥2−+−r 3→⎢⎢

-3-6-21⎢⎣2-2

1

001⎥⎦⎢⎣

0-6

-3-2

01⎥⎦

⎢00

9

2

-2

⎢⎣1

⎡

-

1

2

0⎤⎡1

22⎤

-3

r 2

⎢0-233⎥⎢

⎥2r 0099

9⎥-1r ⎢13+r 1⎢1−−9

−3→⎢1220⎥−-−2r 3−+−r 2

→⎢1021⎢0

9-2⎥⎥⎢00

1

3-13⎥⎢02

⎥⎢00

199⎥⎢-212-21⎥⎣

9

9

9⎥⎦⎢⎣

9

9

9⎥⎦

⎡22

-6-2617⎤⎡1

000⎤

⎢（2）A

-1

=⎢-17520-13⎥⎢⎥100⎥⎥⎢-102(过程略) (3) A -1=⎢

-1

-1⎥

⎢0-110⎥ ⎢⎣4

-1

-5

3⎥⎢⎦⎣0

-1

1⎥⎦

⎡1011011⎤⎢ ⒍求矩阵⎢

1

101100

⎥⎥⎢1012101⎥的秩． ⎢⎣2

1

1

3

2

1⎥⎦

0⎤⎥0⎥⎥1⎥⎥⎦

⎡1

⎢⎢9∴A

-1

=⎢2⎢9⎢2⎢⎣

922⎤99⎥12⎥9-⎥9⎥-21⎥9

9⎥⎦

⎡1011011⎤011011⎤⎡1011011⎤

⎢-⎡1⎢1101100⎥r -r 1+r 2⎥1+r 3⎢1-101-1-1⎥⎢⎥-1-1⎥⎥⎢101210−-−2r 1−+−r 4→⎢

01⎥

⎢00011-1−-−r 2+−r 4→⎢

01-1010⎥

⎢00011-10⎥⎢解：

⎣2

1

1

3

201⎥⎢⎦⎣01

-1

1

2

-2

-1⎥⎢⎦⎣0

1

1

-1

0⎥⎦

∴ 011011R (A ) =3

⎡1⎤

⎢−-−r 3+−r 4

→⎢

01-101-1-1⎥⎥⎢00011-10⎥⎢⎣0

0⎥⎦

（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A ，试证A +A '是对称矩阵． 证明：(A +A ' )' =A ' +(A ' )' =A ' +A =A +A '

∴ A +A '是对称矩阵

⒏若A 是n 阶方阵，且A A '=I ，试证A =1或-1． 证明： A 是n 阶方阵，且A A '=I

∴ A A '=A A '=A 2

=I =1

∴

A =1或A =-1

⒐若A 是正交矩阵，试证A '也是正交矩阵． 证明： A 是正交矩阵

∴ A -1=A '

∴ (A ') -1=(A -1) -1

=A =(A ') '

即A '是正交矩阵

工程数学作业（第二次）(满分100分)

第3章 线性方程组

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

⎧x 1+2x 2-4x 3=1 ⒈用消元法得⎪⎡x 1⎤⎨x ⎢⎥

2+x 3=0的解x 2为（C ⎪⎢⎥

）．

⎩

-x 3=2⎢⎣x 3⎥⎦ A. [1, 0, -2]' B. [-7, 2, -2]' C. [-11, 2, -2]' D. [-11, -2, -2]' ⎧x 1+2x 2+3x 3=2 ⒉线性方程组⎪

⎨x 1-x 3=6（B ）．

⎪⎩

-3x 2+3x 3=4 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 ⎡1⎤⎡0⎤

⎡0⎤

⎡1⎤

⎡3⎤

⒊向量组⎢⎥

⎢⎢⎢⎢⎢0⎥,

⎢1⎥⎥, ⎢0⎥⎥, ⎢2⎥⎥, ⎢0⎥

⎥的秩为（ A ）． ⎢⎣0⎥⎦

⎢⎣0⎥⎦

⎢⎣1⎥⎦

⎢⎣1⎥⎦

⎢⎣4⎥⎦

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

⒋设向量组为α1

⎡1⎤⎢⎥1=⎢⎥, α⎢0⎥⎢⎥⎣0⎦

2

⎡0⎤⎢⎥0=⎢⎥, α⎢1⎥⎢⎥⎣1⎦

3

⎡1⎤⎢⎥0=⎢⎥, α⎢1⎥⎢⎥⎣0⎦

4

⎡1⎤⎢⎥1

=⎢⎥，则（B ）是极大无关组． ⎢1⎥⎢⎥⎣1⎦

A. α1, α2 B. α1, α2, α3 C. α1, α2, α4 D. α1

⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩(A ) =秩(A ) B. 秩(A ) 秩(A ) D. 秩(A ) =秩(A ) -1

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解

D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组α1, α2, , αs 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ ）成立． Ａ．λ是AB 的特征值 Ｂ．λ是A+B的特征值

Ｃ．λ是A －B 的特征值 Ｄ．x 是A+B的属于λ的特征向量 10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．AB =BA Ｂ．(AB ) '=AB Ｃ．PAP （二）填空题(每小题2分，共16分)

⎧x 1+x 2=0

⒈当λ=⎨有非零解．

λx +x =02⎩1

-1

=B Ｄ．PA P '=B

⒉向量组α1=[0, 0, 0], α

2

=[1, 1, 1]线性

⒊向量组[1, 2, 3], [1, 2, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 0]的秩是． ⒋设齐次线性方程组α1x 1+α2x 2+α3x 3=0的系数行列式1α系数列向量α1, α2, α3是线性 相关 的． ⒌向量组α1=[1, 0], α

2

2

α

3

=0，则这个方程组有解，且

=[0, 1], α

3

=[0, 0]的极大线性无关组是α1, α2．

s

⒍向量组α1, α2, , αs 的秩与矩阵[α1, α2, , α

]的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩(A ) =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ⒏设线性方程组A X =b 有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X 1, X 2，则A X =b 的通解为

X 0+k 1X 1+k 2X 2．

9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程λI -A =0 的根． 10．若矩阵Ａ满足A -1=A ' ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组

⎧x 1-3x 2-2x 3-x 4=6⎪

⎪3x 1-8x 2+x +5x ⎨

34=0

⎪-2x 1+x 2-4x 3+x 4=-12⎪⎩-x 1+4x 2-x 3

-3x 4=2

解：

⎡1-3-2-16⎤⎡1-3-2-16⎤3⎡101923-48⎤

⎢A =⎢

3-8150⎥-3r 2r 1+r 2

⎥1+r 3⎢8-18⎥r 5r 2+r 1

⎥2+r 3⎢0178-18

⎥⎥⎢-21-41−r −1+r 4−−→⎢

017-12⎥

⎢0-5-8-10⎥

−-

−r 1+−r 4

→⎢

⎢002739-90⎥

⎢⎣-1

4

-1

-3

2⎥⎢⎦⎣0

1

-3

-4

8⎥⎢⎦⎣0

-10

-12

26⎥⎦

3r 4+r 3⎡101923-48⎤⎡1

01923-48⎤-19⎡10042-124⎤

-1⎢−−2

r −4→⎢

178-18⎥-1⎥3r ⎢3

0178-18⎥r 3+r 1

-7r ⎥3+r 2⎢−-−5r 3−+−r 4→⎢

01015-46

⎥⎥⎢⎥

−−−→⎢

⎢003-312⎢001-14⎥

⎢001-14⎥

⎣0

5

6

-13⎥⎦⎢⎣0

5

6

-13⎥⎦⎢⎣0

11

-33⎥⎦

⎡10042-124⎤⎡0002⎤

1⎧x =2r ⎢−11−−4→⎢

01015-46⎥-42r 1-15r 4+r 1

⎥4+r ⎢−r 2

−4+r −3−→⎢

0100-1

⎥

1

⎥⎢ =-1001-14⎥

⎢0010∴方程组解为⎪⎪x 2

1⎥

⎨

⎢⎪x =1⎣0

1

-3⎥⎢⎦⎣00

1

-3⎥

3

⎦⎪⎩x 4

=-3

２．设有线性方程组

⎡λ

1

1⎤⎡x ⎤⎡1⎤

⎢11⎥⎢⎢λ⎥⎢y ⎥⎥=⎢⎢λ⎥⎥

⎢⎣1

1

λ⎥⎦⎢⎣z ⎥⎦⎢⎣λ2

⎥⎦

λ 为何值时，方程组有唯一解? 或有无穷多解?

⎡λ

1

11⎤

⎡11λ

λ2

⎤

-r ⎡11

λ

λ

2

⎤A =⎢-λ1+r r 2⎢1

λ

1

λ⎥−r −1−r 3

→⎢⎢1λ

1λ⎥

−−1−−+r 3

→⎢

⎥

⎢0

λ-1

1-λλ-λ2⎥⎥

⎢⎣1

1

λ

λ2⎥⎥⎢解：

⎦⎢⎣

λ1

1

1⎥⎦

⎣

01-λ

1-λ

2

1-λ3

⎥

⎦

］

⎡11

λ

λ

2

⎤−r −2+−r 3

→⎢⎢0

λ-1

1-λλ(1-λ) ⎥

⎥

⎢⎣

00

(2+λ)(1-λ)

(1+λ)(1-λ)

2⎥

⎦

∴ 当λ≠1且λ≠-2时，R (A ) =R (A ) =3，方程组有唯一解

当λ=1时，R (A ) =R (A ) =1，方程组有无穷多解

３．判断向量β能否由向量组α1, α2, α3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

⎡-8⎤⎡-2⎤⎡3⎤⎡-5⎤⎢⎥⎢⎢β=⎢-3⎢⎥⎥, α7

=⎢-5⎥⎥⎢7⎥1

=⎢⎥⎢1⎥, α2

⎢0⎥, α3

=⎢-6⎥⎥⎢3⎥ ⎢⎣-10⎥⎦⎢⎣3⎥⎦

⎢⎣-2⎥⎦

⎢⎣1⎥⎦

解：向量β能否由向量组α1, α2, α3线性表出，当且仅当方程组α1x 1+α2x 2+α3x 3=β有解

⎡-2

3-5-8⎤⎡1

037

⎤⎢这里 A =[α, α7

-5-6-3⎥⎢1, α23, β]=⎢

⎥1-341

⎥⎥⎢1037⎥

−−→⋯⋯⋯⋯−−→⎢

⎢0010-117⎥

⎢⎣3

-2

1

-10⎥⎢⎦⎣0

571⎥⎦R (A ) ≠R (A )

∴ 方程组无解

∴ β不能由向量α1, α2, α3线性表出

４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

⎡1⎤⎡3⎤

⎡-1⎤

⎡1⎤

⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢-1⎥⎥⎢-7⎥⎢-3⎥⎥⎢9⎥α1

=⎢2⎥, α2=⎢8⎥, α3=⎢0⎥, α⎢4

=⎢6⎥ 3⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢9⎥-3⎥⎢⎥⎢3⎥⎢⎣4⎥⎦

⎢⎣13⎥⎦

⎢⎣-3⎥⎦

⎢⎣6⎥⎦

⎡1

3-11⎤⎡13-11⎤

⎢⎢

-1-7-39⎥⎢⎥⎢0112⎥⎥解：[α1, α2, α3, α4]=⎢2

806⎥−−→⋯⋯⋯⋯−−→⎢00018⎥ ⎢⎢39-33⎥⎢⎥⎢0

000⎥⎥⎢⎣413

-3

6⎥⎦⎢⎣00

0⎥⎦

∴该向量组线性相关

５．求齐次线性方程组

⎧x 1-3x 2+x 3-2x 4=0

⎪

⎪-5x 1+x ⎨

2-2x 3+3x 4=0

-x -11x x ⎪12+23-5x 4=0⎪⎩3x 1+5x 2

+4x 4=0的一个基础解系． 解：

⎡1

-31-2⎤-31-2⎤-3

⎡⎢5r ⎡11+14

r 2+r 1

⎢10514-

1⎤

2⎥A =⎢

-51-23⎥r r +r 2

⎥13⎢⎢

-143-7⎥-r ⎥2+r 3

r 2⎢-143-7⎥⎢-1-112-5⎥

−-−3r 1−+−r 4→0⎢0-143-7⎥

−-

−+−r 4

−→⎢0

⎥⎢000⎥⎣3

5

4⎥⎢⎦⎣0

14

-3

10⎥

⎢0

⎦

⎢⎣0

3⎥⎦

⎡0514-

1⎤⎡

1⎤-1

r ⎢12

2⎥⎢10514

-

2⎥1

⎡r 3+r 1⎢105214

0⎤⎥−r 14

⎢−3−r 4

→⎢0

1-31⎥1r 3⎢1⎥-1⎥2r 3+r 2⎢

⎢142⎥1-3142⎥−−−−→⎢0

1-3140⎥⎢0003⎥−3−→⎢0⎢⎥⎢0

001⎥⎢⎥⎢0

001⎥⎥⎢⎣

00

0⎥⎦⎢⎣

00

0⎥⎦⎢⎣

00

0⎥⎦

⎧5⎪x 1=-x ⎡-5⎤3⎪14

⎢∴ 方程组的一般解为⎪⎨x 3⎢14⎥3⎥

2=

x 3 令x 3=1，得基础解系 ξ=⎢⎥⎪

14⎢14⎥ ⎪x ⎪4=0

⎢0⎥⎢⎩

⎣1⎥⎦ ６．求下列线性方程组的全部解．

⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11⎪

⎪-3x 1+x 2-4x 3+2x 4=-5

⎨

-x

⎪1-9x 2-4x 4=17⎪⎩5x 1+3x 2+6x 3-x 4=-1解：

⎡1-52-311⎤⎡1-52-311⎤-5r 2+r ⎡1⎢091⎤⎥A =⎢

-31-42-5⎥3r r 1+r 2

⎥1+r 3⎢28⎥-14r ⎢

1

7-

1

2⎥2+r 3

⎢-1-90-4−-−5r 1−+−r 4→⎢

0-142-717⎥

⎢0-142-7−2−r 2+−r 4

−→⎢-142-728⎥⎥

⎢028⎥⎢0000⎥⎣5

36-1

-1⎥⎢⎦⎣028

-4

14

-56⎥

⎢0

⎦

⎢⎣0

0⎥⎦

⎡⎢109

7-

121⎤⎥

-1⎢⎥⎧

7−−14

r −2→⎢0

1-

11-2⎥⎪x 1=-x 3+1x 4+1⎢72⎢00000⎥ ∴方程组一般解为⎪⎨921

⎥⎪⎢⎪⎩

x 2=-7x 3-12x 4

-2⎣0

0⎥⎦

令x 3=k 1，x 4=k 2，这里k 1，k 2为任意常数，得方程组通解

⎡1⎡x ⎢1⎤⎢-7k 1+k 2+1⎤⎡7⎤⎡1⎤

⎥⎥⎢-⎢92

⎥9⎥⎢⎢x ⎢⎢2⎥⎡1⎤2⎥⎢=⎢11

1⎥1⎥⎢-2⎥7k -2k -2⎥x 12⎥=k 1⎢⎥+k 2⎢-⎥+⎢⎥ ⎢3⎥⎢⎢7⎥⎢2⎣x ⎥⎢k ⎥⎢0⎥

1⎥⎢1⎥⎢0⎥⎢

4⎦⎢0⎥⎦⎣k ⎥⎢2⎦

⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎣７．试证：任一４维向量β=[a 1, a 2, a '3, a 4]都可由向量组 ⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢α=⎢0⎥⎢0⎥，α⎢1⎥⎢0⎥，α1

1⎥

12=3=⎢⎥⎢1⎥，α4=⎢⎥⎢1⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣0⎦⎣0⎦⎣0⎦

⎣1⎦线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．

⎡1⎤⎡0⎤⎡0⎤⎡0⎤

⎢⎥⎢⎥⎢证明：α=⎢0⎥⎢0⎥ αα1

0⎥⎢0⎥

12-1=⎢⎥⎢0⎥ α3-α2=⎢⎥⎢1⎥ α4-α3=⎢⎥⎢0⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎣0⎦⎣0⎦

⎣0⎥⎢⎥⎦⎣1⎦任一４维向量可唯一表示为

⎡a ⎢1⎤⎡1⎤⎡0⎤⎡0⎤⎡0⎤

β=⎢a ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥2⎥⎢a =a 01⎥⎥+a 00

1⎢⎥+a 2⎢3⎢⎥⎢1⎥+a 4⎢⎥⎢0⎥=a 1α1+a 2(α2-α1) +a 3(α3-α2) +a 4(α4-α3)

⎢3⎥⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎣a 4⎦0⎥⎢⎥⎢⎥

⎣0⎦⎣⎦⎣0⎦⎣1⎦=(a 1-a 2) α1+(a 2-a 3) α2+(a 3-a 4) α3+a 4α4

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设AX =B 为含n 个未知量的线性方程组

该方程组有解，即R (A ) =R (A ) =n

从而AX =B 有唯一解当且仅当R (A ) =n

而相应齐次线性方程组AX =0只有零解的充分必要条件是R (A ) =n

∴ AX =B 有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX =0只有零解

9．设λ是可逆矩阵Ａ的特征值，且λ≠0，试证：1

λ

是矩阵A -1的特征值．

证明： λ是可逆矩阵Ａ的特征值

∴ 存在向量ξ，使A ξ=λξ

∴

I ξ=(A

-1

A ) ξ=A

-1

(A ξ) =A

-1

(λξ) =λA -1

ξ=ξ

∴A -1

ξ=

1

λ

ξ

即

1

λ

是矩阵A -1的特征值

10．用配方法将二次型f =x 2222

1+x 2+x 3+x 4+2x 1x 2-2x 2x 4-2x 2x 3+2x 3x 4化为标准型．

解：

f =(x 222222

1+x 2) +x 3+x 4-2x 2x 4-2x 2x 3+2x 3x 4=(x 1+x 2) +x 3+2x 3(-x 2+x 4) +x 4-2x 2x 4 =(x +x 222

12) +(x 3-x 2+x 4) -x 2

∴ 令y 1=x 1+x 2，y 2=x 3-x 2+x 4，y 3=x 2，x 4=y 4

⎧x =y ⎪11-y 3即⎪x =y ⎨23

⎪x 3=y

2+y 3-y 4⎪⎩x 4

=y 4

则将二次型化为标准型 f =y 222

1+y 2-y 3

工程数学作业（第三次）(满分100分)

第4章 随机事件与概率

（一）单项选择题

⒈A , B 为两个事件，则（ B ）成立．

A. (A +B ) -B =A B. (A +B ) -B ⊂A C. (A -B ) +B =A D. (A -B ) +B ⊂A ⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件． A. A B =∅ B. A B =U

C. A B =∅且A B =U D. A 与B 互为对立事件 ⒊ C

4. 对于事件A , B ，命题（D ）是正确的． A. 如果A , B 互不相容，则A , B 互不相容 B. 如果A ⊂B ，则A ⊂B

C. 如果A , B 对立，则A , B 对立

D. 如果A , B 相容，则A , B 相容

⒌某随机试验的成功率为p (0

6. 设随机变量X ~B (n , p ) ，且E (X ) =4. 8, D (X ) =0. 96，则参数n 与p 分别是（A ）． A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2

7. 设f (x ) 为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a , b (a

-∞xf (x )d x ⎰

b a

xf (x )d x C.

⎰

b D.

a

f (x )d x ⎰

+∞-∞

f (x )d x

8. 在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．

⎧ A. f (x ) =⎪⎨sin x , -π3π⎧

π2

⎨sin x , 0

⎪⎩

0,

其它

⎪⎩

0, 其它

⎧

3π C. f (x ) =⎪⎨sin x , 0

2 D. f (x ) =⎧sin x , 0

⎪⎩

0, 其它⎩0, 其它9. 设连续型随机变量X 的密度函数为f (x ) ，分布函数为F (x ) ，则对任意的区间(a , b ) ，则P (a

A. F (a ) -F (b ) B. C. f (a ) -f (b ) D.

⎰⎰

b a b a

F (x )d x f (x )d x

10. 设X 为随机变量，E (X ) =μ, D (X ) =σ2，当（C ）时，有E (Y ) =0, D (Y ) =1． A. Y =σX +μ B. Y =σX -μ C. Y =

X -μ

σ

（二）填空题

D. Y =

X -μ

σ

2

⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为

25

．

2. 已知P (A ) =0. 3, P (B ) =0. 5，则当事件A , B 互不相容时，P (A +B ) =P (A B ) =． 3. A , B 为两个事件，且B ⊂A ，则P (A +B ) =P (A )．

4. 已知P (A B ) =P (A B ) , P (A ) =p ，则P (B ) =1-P ．

5. 若事件A , B 相互独立，且P (A ) =p , P (B ) =q ，则P (A +B ) =p +q -pq ．

6. 已知P (A ) =0. 3, P (B ) =0. 5，则当事件A , B 相互独立时，P (A +B ) =P (A B ) =．

⎧0⎪

7. 设随机变量X ~U (0, 1) ，则X 的分布函数F (x ) =⎨x

⎪1⎩

x ≤00

8. 若X ~B (20, 0. 3) ，则E (X ) = 6 ． 9. 若X ~N (μ, σ2) ，则P (X -μ≤3σ) =2Φ(3) ．

10. E [(X -E (X ))(Y -E (Y ))]称为二维随机变量(X , Y ) 的 协方差 ． （三）解答题

1. 设A , B , C 为三个事件，试用A , B , C 的运算分别表示下列事件： ⑴ A , B , C 中至少有一个发生； ⑵ A , ⑶ A , ⑷ A , ⑸ A , ⑹ A ,

B , C 中只有一个发生； B , C 中至多有一个发生； B , C 中至少有两个发生； B , C 中不多于两个发生； B , C 中只有C 发生．

解:(1)A +B +C (2)A B C +A B C +A B C (3) A B C +A B C +A B C +A B C (4)AB +AC +BC (5)A +B +C (6)A B C

2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色；

⑵ 2球中至少有1红球．

解:设A =“2球恰好同色”，B =“2球中至少有1红球”

P (A ) =

C 3+C 2

2C 52

2

=

3+110

=

25

P (B ) =

C 3C 2+C 3

2C 5

112

=

6+310

=

910

3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率． 解：设A i =“第i 道工序出正品”（i=1,2）

P (A 1A 2) =P (A 1) P (A 2|A 1) =(1-0. 02)(1-0. 03) =0. 9506

4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．

解：设A 1=" 产品由甲厂生产" A 2=" 产品由乙厂生产" A 3=" 产品由丙厂生产"

B =" 产品合格"

P (B ) =P (A 1) P (B |A 1) +P (A 2) P (B |A 2) +P (A 3) P (B |A 3)

=0. 5⨯0. 9+0. 3⨯0. 85+0. 2⨯0. 80=0. 865

5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p ，求所需设计次数X 的概率分布． 解：P (X =1) =P

P (X =2) =(1-P ) P

2

P (X =3) =(1-P ) P

„„„„

P (X =k ) =(1-P )

k -1

P

„„„„

故X 的概率分布是

⎡1⎢⎣p

2(1-p ) p

3(1-p ) p

2

⋯⋯⋯⋯

k (1-p )

k -1

p

⋯⋯⎤

⎥ ⋯⋯⎦

6. 设随机变量X 的概率分布为

1⎡0

⎢

⎣0. 10. 15

试求P (X ≤4) , P (2≤X ≤5) , P (X ≠3) ．

20. 2

30. 3

40. 12

50. 1

6⎤⎥ 0. 03⎦

解：

P (X ≤4) =P (X =0) +P (X =1) +P (X =2) +P (X =3) +P (X =4) =0. 1+0. 15+0. 2+0. 3+0. 12=0. 87 P (2≤X ≤5) =P (X =2) +P (X =3) +P (X =4) +P (X =5) =0. 2+0. 3+0. 12+0. 1=0. 72 P (X ≠3) =1-P (X =3) =1-0. 3=0. 7

7. 设随机变量X 具有概率密度

⎧2x , 0≤x ≤1

f (x ) =⎨

其它⎩0,

试求P (X ≤解：P (X ≤

14

12

12

) , P (

1

14

1

1

) =

⎰

2

-∞

f (x ) dx =

⎰

2

2xdx =x

2

2

=

14

1516

P (

2

14

f (x ) dx =

1

14

2xdx =x

21

1

4

=

⎧2x , 0≤x ≤1

8. 设X ~f (x ) =⎨，求E (X ) , D (X ) ．

其它⎩0,

解：E (X ) =

2

⎰

+∞

-∞

xf (x ) dx =

+∞

2

⎰

1

x ⋅2xdx =

23

x

31

=x

23

=12

E (X ) =

⎰

-∞

x f (x ) dx =

2

⎰

2

1

x ⋅2xdx =1

2

24

410

D (X ) =E (X ) -[E (x )]=

221-() = 2318

9. 设X ~N (1, 0. 62) ，计算⑴P (0. 20) ．

解：

P (0. 20) =P (

X -10. 6

X -10. 2

2

10. 设X 1, X 2, , X n 是独立同分布的随机变量，已知E (X 1) =μ, D (X 1) =σ，设X =解：E (X ) =E (

1n

n

∑n

1

n

求E (X ) , D (X ) ． X i ，

i =1

∑

i =1

X i ) =

1n

E (X 1+X 2+⋯⋯+X n ) =

1n

[E (X 1) +E (X 2) +⋯⋯+E (X n )]

11

=

D (X ) =D (

1

1n

n

n μ=μ X i ) =

2

∑n

i =1

1n

2

D (X 1+X

2

+⋯⋯+X n ) =

1n

2

[D (X 1) +D (X 2) +⋯⋯+D (X n )]

=

1n

2

⋅n σ=

1n

2

σ

工程数学作业（第四次）

第6章 统计推断

（一）单项选择题

⒈设x 1, x 2, , x n 是来自正态总体N (μ, σ2) （μ, σ2均未知）的样本，则（A ）是统计量． A. x 1 B. x 1+μ C.

x 1

22

σ

⒉设x 1, x 2, x 3是来自正态总体N (μ, σ2) （μ, σ2均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计． A. max{x 1, x 2, x 3} B.

12

(x 1+x 2)

D. μx 1

C. 2x 1-x 2 D. x 1-x 2-x 3

（二）填空题

1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．

2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．

3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．

4．设x 1, x 2, , x n 是来自正态总体N (μ, σ2) （σ2已知）的样本值，按给定的显著性水平α检验

H 0:μ=μ0; H 1:μ≠μ0，需选取统计量U =

-μ0

σ/

．

n

5．假设检验中的显著性水平α|-μ0|>u

（三）解答题

1．设对总体X 得到一个容量为10的样本值

4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0

试分别计算样本均值和样本方差s 2． 解： =

s =

2．设总体X 的概率密度函数为

⎧(θ+1) x θ, 0

f (x ; θ) =⎨

其它⎩0,

12

2

∑10

i =1

1

10

x i =

110

⨯36=3. 6

110-1

10

∑

i =1

(x i -x ) =

2

19

⨯25. 9=2. 878

试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ． 解：提示教材第214页例3

矩估计：E (X ) =最大似然估计：

n 1

⎰

x (θ+1) x dx =

θ

1+θ2+θ

==

1n

n

∑

i =1

2-1

x i , θˆ=

1-L (x 1, x 2, , x n ; θ) =

(θ

i =1n i =1

θn θ

+1) x i =(1+θ) (x 1x 2 x n )

ln L =n ln(θ+1) +θ∑ln x i ,

d ln L d θ

=

n

n

θ+1

+

∑

i =1

ln x i =0，θˆ=-

n

n

-1 x i

∑ln

i =1

3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m ）：

108.5 109.0 110.0 110.5 112.0

测量值可以认为是服从正态分布N (μ, σ2) 的，求μ与σ2的估计值．并在⑴σ2=2. 5；⑵σ2未知的情况下，分别求μ的置信度为0.95的置信区间．

ˆ=x =解： μ

15

5

∑x

i =1

i

ˆ=110 σ

2

=s

2

=

15-1

5

∑(x

i =1

i

-x ) =1. 875

（1）当σ

2

=2. 5时，由1－α＝0.95，Φ(λ) =1-

α

2

=0. 975 查表得：λ=1. 96

故所求置信区间为：[x -λ

σn

, x +λ

σn

]=[108. 6, 111. 4]

（2）当σ2未知时，用s 2替代σ2，查t (4, 0.05 ) ，得 λ=2. 776

s s

故所求置信区间为：[x -λ, x +λ]=[108. 3, 111. 7]

n n

4．设某产品的性能指标服从正态分布N (μ, σ2) ，从历史资料已知σ=4，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平α=0. 05，问原假设H 0:μ=20是否成立． 解：|U |=|

-μ0

17-204/34⨯3. 162

σ/n

|=||==0. 237，

由Φ(λ) =1-

α

2

=0. 975 ，查表得：λ=1. 96

因为 |U |=0. 237 > 1.96 ，所以拒绝H 0

5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm ）：

20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（α=0. 05）．

2

解：由已知条件可求得：x =20. 0125 s =0. 0671

-μ020. 0125-200. 035

|T |=||=||==0. 1365

s /n 0. 259/8

0. 259

λ=t (n -1, 0. 05) =t (9, 0. 05) =2. 62 ∵ | T |

即用新材料做的零件平均长度没有变化。

13