圆锥曲线经典题型研究

圆锥曲线最经典题型研究

第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查

1、（2010辽宁理数）设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐

近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A)

(B) (C)

12

(D)

12

【答案】D

2、（2010辽宁理数）设抛物线y 2=8x的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为, 那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16 【答案】B

3、（2010上海文数）8. 动点P 到点F (2,0) 的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则P 的轨迹方程为 y 2=8。

4、（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线C :y 2=2px (p ＞0) 的准线为l ，过M (1,0) 且

l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若A M =M B

，则p = ．

若双曲线

x

2

4

-

y b

22

=1(b>0)的渐近线方程式为y=±

12

x ，则ｂ等于。

【答案】1 5、已知椭圆c :

x

2

2

+y =1的两焦点为F 1, F 2, 点P (x 0, y 0) 满足0

x 0x 2

2

x 02

2

+y 0

2

|PF 1|+P F 2|的取值范围为_______，直线P 是双曲线

x a

22

+y 0y =1与椭圆C 的公共点个数_____。

-

y b

22

=1, (a >0, b >0) 右支上一点，F 1, F 2、分别是双曲线的左、

右焦点，I 为∆PF 1F 2的内心，若 S ∆IPF 1=S ∆IPF 2+离心率为（▲ ） A ．4

B ．

52

12

S ∆IF 1F 2 成立，则双曲线的

53

C ．2 D ．

8、

（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 9、（2010四川理数）椭圆

x a

22

+y b

22

其右准线与x 轴的交点为A ，=1(a >b >0) 的右焦点F ，

在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是

0（A ）

⎝⎛

2⎦

（B ） 0,

⎝

⎛

1⎤⎥2⎦

（C ） 1,1)

（D ）⎢

⎡1⎫

,1⎪⎣2⎭

解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ， 即F 点到P 点与A 点的距离相等

而|FA |＝

a

2

c

-c =

b

2

c

|PF |∈[a －c , a ＋c ] 于是

b

2

c

∈[a －c , a ＋c ]

即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2

222

⎧⎪ac -c ≤a -c ∴⎨

222⎪⎩a -c ≤ac +c

⎧c

≤1⎪⎪a ⇒⎨ ⎪c ≤-1或c ≥1⎪a 2⎩a

又e ∈(0, 1) 故e ∈⎢答案：D

10、（2010福建理数）若点O 和点F (-2, 0) 分别是双曲线

x a

22

⎡1⎫

,1⎪⎣2⎭

-y =1(a>0)的中心和左焦点,

2

点P 为双曲线右支上的任意一点, 则OP ⋅FP 的取值范围为 ( )

A

．+∞) B

．[3++∞) C．[-【答案】B

74

, +∞) D．[

74

, +∞)

11、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1, F 2，且它们在第一象限的交点为P ，

∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形. 若PF 1=10

，双曲线的离心率的取值范围为(1,2) . 则该

椭圆的离心率的取值范围是 . (, )

35

12

12、（2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科） 已知双曲线x -

2

y

2

3

=1的左顶点为A 1，

右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1⋅PF 2的最小值为___________. -2

13、（北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）直线x =t 过双曲线

x a

22

-

y b

22

A ，B 两点，若=1(a >0b , >0的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于)

原点在以A B 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是

．(1,

14

、（2010全国卷1文数）已知F 1、F 2为双曲线C:x 2-y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1P F 2=600，则|PF 1| |PF 2|= (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8

15、（2010全国卷1理数）(9)已知F 1、F 2为双曲线C:x -y =1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1P F 2=60，则P 到x 轴的距离为

2

2

(A)

2

(B)

2

16、（2010重庆理数）(14)已知以F 为焦点的抛物线

2

y =4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB , 则弦AB 的中点到准线的距离为___________. 解析：设BF=m,由抛物线的定义知 AA 1=3m , BB 1=m

∴∆ABC

中，AC=2m,AB=4m,k AB =

3(x -1)

3

直线AB 方程为y =

与抛物线方程联立消y 得3x 2-10x +3=0

x 1+x 2

2

53

83y b

22

所以AB 中点到准线距离为

+1=+1=

17、（2010上海文数）已知椭圆Γ的方程为

Q (a , 0) 为Γ的三个顶点.

x a

22

+=1(a >b >0) ，A (0,b ) 、B (0,-b ) 和

1

（1）若点M 满足A M =(A Q +A B ) ，求点M 的坐标；

2

（2）设直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2:y =k 2x 于点E . 若

b a

22

k 1⋅k 2=-

，证明：E 为C D 的中点；

（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的

两个交点P 1、P 2满足PP 1+PP 2=PQ PP 1+PP 2=PQ ？令a =10，b =5，点P 的坐标

是（-8，-1），若椭圆Γ上的点P 1、P 2满足PP 1+PP 2=PQ ，求点P 1、P 2的坐标.

解析：(1) M (, -) ；

2

2

a b

⎧y =k 1x +p

⎪

(2) 由方程组⎨x 2y 2，消y 得方程(a 2k 12+b 2) x 2+2a 2k 1px +a 2(p 2-b 2) =0，

⎪2+2=1

b ⎩a

因为直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即a 2k 12+b 2-p 2>0，

设C (x 1, y 1) 、D (x 2, y 2) ，CD 中点坐标为(x 0, y 0) ，

2

⎧x 1+x 2a k 1p

=-22

⎪x 0=2

2a k 1+b ⎪

则⎨， 2

b p ⎪y =k x +p =

10222⎪0

a k 1+b ⎩

由方程组⎨

⎧y =k 1x +p ⎩y =k 2x

，消y 得方程(k 2-k 1) x =p ，

2

⎧a k 1p p

=-22=x 0

⎪x =22

k -k a k +b b ⎪211

又因为k 2=-2，所以⎨， 2

a k 1b p ⎪y =k x ==y 0

2222⎪a k +b ⎩1

故E 为CD 的中点；

(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，

由PP 1+PP 2=PQ

b

22

知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率k 1=-

a k 2

，从而得直线l

的方程．

F (1,-

12)

，直线OF 的斜率k 2=-

12

，直线l 的斜率k 1=-

b

2

2

a k 2

=

12

，

1⎧y =x -1⎪⎪2

解方程组⎨2，消2

x y ⎪+=1⎪⎩10025

y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6, -4) 、P 2(8,3)．

18、（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：

x a

22

-

y b

22

=1(a ＞0，b ＞0)相交于B 、D 两点，且

BD 的中点为M (1, 3)．

（Ⅰ）求C 的离心率；

（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，DF BF =17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与

x 轴相切．

19、（2010安徽文数）椭圆E 经过点A (2, 3)，对称轴为坐标轴，

焦点F 1, F 2在x 轴上，离心率e = (Ⅰ) 求椭圆E 的方程；

12

。

(Ⅱ) 求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程。

20、（2010全国卷1理数）（21）(本小题满分12分)

已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，过点K (-1, 0) 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D. （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；

8

（Ⅱ）设F A F B =，求∆B D K 的内切圆M 的方程 .

9

21、（2010江苏卷）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆

x

2

9

+

y

2

5

=1的左、右顶点

为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （t , m ）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) ，其中m>0,y 1>0, y 2

（1）设动点P 满足PF （2）设x 1=2, x 2=

13

2

-PB

2

=4, 求点P 的轨迹；

，求点T 的坐标；

（3）设t =9, 求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

22、在直角坐标系xOy 中，点M 到点F 1(-3, 0), F 2(3, 0) 的距离之和是4，点M 的轨迹

是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l :y =kx +b 与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.

（I ）求轨迹C 的方程；

（II ）当AP ⋅AQ =0时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.

解：（1） 点M 到(-3, 0), (3, 0) 的距离之和是4，

∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为23的椭圆，

其方程为

x

2

4

+y

2

=1. …………3分

（2）将y =kx +b ，代入曲线C 的方程，

整理得(1+4k 2) x 2+82kx +4=0

…………5分 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，

所以∆=64k 2b 2-4(1+4k 2)(4b 2-4) =16(4k 2-b 2+1) >0. ① 设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), ，则

82k 1+4k

2

x 1+x 2=-, x 1x 2=

41+4k

2

② …………7分

且y 1⋅y 2=(kx 1+b )(kx 2+b ) =(k 2x 1x 2) +kb (x 1+x 2) +b 2. ③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A （-2，0）， 所以AP =(x 1+2, y 1), AQ =(x 2+2, y 2), 由AP ⋅AQ =0, 得(x 1+2)(x 2+2) +y 1y 2=0. 将②、③代入上式，整理得12k 2-16kb +5b 2=0. 所以(2k -b ) ⋅(6k -5b ) =0, 即b =2k 或b =

65

k , 经检验，都符合条件①

…………10分

当b=2k时，直线l 的方程为y =kx +2k . 显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点.

即直线l 经过点A ，与题意不符.

656

当b =k 时，直线l 的方程为y =kx +k =k (x +).

565

6

显然，此时直线l 经过定点(-, 0) 点，且不过点A.

5综上，k 与b 的关系是：b =且直线l 经过定点(-

65, 0) 点

65k ,

…………13分

23、（北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）（本小题满分13分）

已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为

1

3

，且经过点(-1, ) ，过点P （2，22

1）的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M .

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求直线l 的方程以及点M 的坐标；

（3））是否存过点P 的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，满足PA ⋅PB =PM

若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由.

9⎧1

+=12⎪a 2

4b

⎪

1⎪c

=1(a >b >0) ，由题意得⎨=

2⎪a

⎪a 2=b 2+c 2⎪⎩

2

？

解（Ⅰ）设椭圆C 的方程为

x a

22

+

y b

22

解得a =4, b =3，故椭圆C 的方程为

22

x

2

4

+

y

2

3

=1. ……………………4分

（Ⅱ）因为过点P （2，1）的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可调

直线l 的议程为y =k (x -2) +1.

2

⎧x 2y

+=1, ⎪

由⎨4 得(3+4k 2) x 2-8k (2k -1) x +16k 2-16k -8=0. ① 3

⎪y =k (x -2) +1⎩

因为直线l 与椭圆相切，所以∆=[-8k (2k -1)]-4(3+4k )(16k -16k -8) =0.

222

整理，得32(6k +3) >0 所以直线l 方程为y =-将k =-

1

12

(x -2) +1=-

解得k >-

12x +2.

12

.

[

3

代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为(1, ). …………9分 22

（Ⅲ）若存在直线l 1满足条件，的方程为y =k 1(x -2) +1，代入椭圆C 的方程得

(3+4k 1) x -8k 1(2k 1-1) x +16k 1-16k 1-8=0.

2

2

2

因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2), 所以∆=[-8k (2k -1)]-4(3+4k )(16k -16k -8) =32(6k 1+3) >0. 所以k =-

12

2

2

2

.

又x 1+x 2=

8k 1(2k 1-1) 3+4k

2

21

, x 1x 2=

16k 1-16k 1-8

3+4k

21

2

，

54

因为PA ⋅PB =PM 即(x 1-2)(x 2-2) +(y 1-1)(y 2-1) =所以(x 1-2)(x 2-2)(1+k 2) =|PM |2=即[x 1x 2-2(x 1+x 2) +4](1+k 12) =所以[

16k 1-16k 2-8

3+4k

21

2

，

54

.

54

.

-2⋅

8k 1(2k 1-1) 3+4k

21

+4](1+k ) =

21

4+4k 13+4k

2

21

=

54

，解得k 1=±

12

.

因为A ，B 为不同的两点，所以k =

12

.

12

x ………………………………13分

于是存在直线l 1满足条件，其方程为y =

l :y =kx +1与双曲线C :2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B. （I ）求实数k 的取值范围；

（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.

答案：. 解：（Ⅰ）将直线l 的方程y =kx +1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后, 整理得

(k

2

-2) x +2kx +2=0. ……①

2

依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故

⎧k 2-2≠0,

⎪22

⎪∆=(2k ) -8(k -2) >0, ⎪2k ⎨->02

⎪k -2⎪2

>0. ⎪2

⎩k -2

解得k 的取值范围是

-2

（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ，则由①式得

2k ⎧

x +x =, 122⎪⎪2-k

……② ⎨

2⎪x ⋅x =. 222⎪k -2⎩

假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：

(x 1-c )(x 2-c ) +y 1y 2=0.

即(x 1-c )(x 2-c ) +(kx 1+1)(kx 2+1) =0.

整理得

(k

2

+1) x 1x 2+(k -c )(x 1+x 2) +c +1=0. ……③

2

把②式及c =

5k

2

62

代入③式化简得

+26k -6=0.

解得k =-

6+5

6+56

6

或k =

6-5

6

∉(-2, -2)(舍去)

可知k =-

使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.