基于自适应进化粒子群算法的多目标优化方法

统 仿 真 学 报 V ol. 21 No. 22

2009年11月 Journal of System Simulation Nov., 2009

第21卷第22期 系

基于自适应进化粒子群算法的多目标优化方法

陈民铀，张聪誉，罗辞勇

（重庆大学输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆 400044）

摘 要：提出一种自适应进化粒子群优化算法(AEPSO)，以提高多目标优化PSO 算法的性能。AEPSO 算法把非支配排序技术、自适应惯性权重和特殊的变异操作引入到PSO 算法中，来提高算法的全局搜索能力和粒子的多样性。与常用的整体加权方法来处理多目标优化问题不同，AEPSO 算法采用非劣解排序来引导粒子的飞行，以改进算法的收敛性，同时采用特殊的变异操作防止早熟收敛并增加优化解的多样性。所提算法的有效性经过四种代表性benchmark 函数进行验证，并与几种典型同类型算法进行比较。该算法已成功地用于合金材料的多目标优化设计。实验结果表明AEPSO 算法能够较好地兼顾收敛精度与优化解的多样性，满足多目标优化设计的要求。 关键词：多目标优化; 群体智能; 非支配排序; 合金材料优化设计

中图分类号：TP18 文献标识码：A 文章编号：1004-731X (2009) 22-7061-05

Adaptive Evolutionary Particle Swarm Algorithm for Multi-Objective Optimisation

CHEN Min-You, ZHANG Cong-Yu, LUO Ci-yong

(State Key Laboratory of Power Transmission Equipment & System Security and New Technology, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Abstract: An Adaptive Evolutionary Particle Swarm Optimisation (AEPSO) approach was proposed to improve the performance of PSO algorithm for multi-objective optimisation. The proposed approach incorporated non-dominated sorting, adaptive inertia weight and a special mutation operation into particle swarm optimisation to enhance the exploratory capability of the algorithm and improve the diversity of the Pareto solutions. Instead of using weighted aggregation approach to deal with multi-objective optimisation problems, dominance-based rank was used to guide the flight of particles. The proposed algorithm was validated using several well-known benchmark test functions and successfully applied to the multi-objective optimal design of alloy steels, which aimed at determining the optimal process parameters and the required weight percentages of the chemical composites in order to obtain the pre-defined mechanical properties of the materials. The experimental results have shown that the algorithm can locate the constrained optimal design with good accuracy while keep the diversity of the Pareto solutions.

Key words: multi-objective optimisation; swarm intelligence; pareto-optimality; optimal alloy design

引 言

粒子群优化(PSO)是近年来提出的一种启发式搜索技术，通过种群粒子中个体的交互作用来寻找复杂问题空间中的优化解。PSO 算法的产生是受到飞鸟和鱼类集群活动的规律性启发[1]。正如Kennedy 指出的，PSO 算法是对群体的社会交互行为的一种模拟[2]。PSO 算法随机产生一个初始种群并赋予每个微粒一个随机速度，在飞行过程中，微粒的飞行速度和轨迹通过自己及同伴的飞行经验来动态调整，整个群体有飞向更好搜索区域的能力。PSO 算法已经被成功应用于众多领域的优化问题[3-6]，例如网络优化、控制器参数优化、电力系统优化等。但是直到最近，PSO 算法才被扩展到工程领域中经常遇到的多目标优化问题。

PSO 算法最早由Kenney 和Eberhart 提出的[1]，其后Shi 和Eberhart 引入了惯性权重对算法进行了改进

[8,9]

[7]

的标准版本。在每次迭代过程中，粒子的位置由下面的式确

定：

v i (t )=wv i (t-1)+c 1r 1(p i -x i (t -1))+c 2r 2(p g -x i (t -1)) (1)

x i (t ) = vi (t )+ xi (t -1) (2) v i －粒子飞行速度；w －惯性权重；

在式子中：x i －粒子位置；c 1, c 2－加速度常数，取正常数；r 1, r 2－是在[0,1]范围变化的随机数；p i －粒子在历史中的最好位置；p g －整个群体中的最好位置。

式(1)的第1部分为微粒先前的速度; 第2部分为“认知(cognition)”部分, 表示微粒本身的思考; 第3部分为“社会( social)”部分, 表示微粒间的信息共享与相互合作[10]。

研究表明PSO 具有快速发现局部最优解，但是会产生早熟收敛的现象，并且具有种群多样性随代数增加下降过快、有可能不收敛导全局最优解等缺点。为了避免早熟收敛，有很多的改进算法被提出来。先前对算法的改进主要围绕惯性权重或者压缩因子[8-11]。但对于复杂多峰函数，带有线性变化权重的种群多样性可能导致粒子早熟收敛。另外，压缩因子法处理复杂多峰函数效率较低，尽管它对单峰函数具有特别快的收敛速率。近年来，许多学者将进化算法中的选择和变异操作引入PSO 。变异操作可以控制种群的多样性，防止搜索停止在局部最优解。在文献[12-15]中提出了带变异操

, 引入惯性

权w 来更好地控制开拓和探索能力, 参数w 根据迭代次数进行动态调整使得w 随着代数的增加而逐渐减小，形成了当前

收稿日期：2008-06-02 修回日期：2008-09-18

基金项目：国家111引智工程 (B08036)

作者简介：陈民铀(1954-)，教授，博导，研究方向为智能控制、数据建模及多目标优化; 张聪誉(1982-)，硕士研究生，研究方向为多目标优化，电力系统优化。

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作的改进PSO 算法，按照随机分布（如高斯分布、柯西分布）进行变异操作改变粒子各维数值。变异率随着代数增加而下降，变异的影响逐渐减小。

本文面向多目标优化问题，将非支配排序策略，自适应惯性加权和特殊的变异操作引入到PSO 当中，来提高算法的开拓能力和粒子的多样性，以解决多目标优化问题。所提出的算法经过四个具有代表性的benchmark 函数进行验证，并成功地应用在合金材料的多目标优化设计中。

⎧1 if x ≥0

sign (x ) =⎨ (7)

x 1 if 0−

需要说明的是在本算法中变异率并不随迭代次数而下降，相反，变异的影响在后期还得到增强。这种特殊的变异操作不仅能够增强粒子群的全局搜索能力，而且有助于保持种群的多样性。

为了加强多目标优化的收敛性，Deb 提出并改进的非支配排序技术[17-18]，Li 在文献[19]中将其引入到PSO 算法中。本文也将非支配排序技术引入到AEPSO 算法当中。

综上所述，完整的AEPSO 算法可归纳如下： 1) 初始化。设定种群规模为N ，和迭代次数N t 。用预定义的值域随机初始化粒子位置x i ，个体最优位置p i = x i ，迭代计数器t =0。 并计算适应度。V max 设置为最大允许速度。

1 自适应进化PSO 算法(AEPSO)

为提高PSO 算法的开拓能力并且保持快速的收敛速度，特别考虑多目标优化问题。本文将非支配排序non-dominated sorting ，自适应惯性权重和特殊的变异操作引入粒子群优化

算法当中。对式(1)作如下修改： 2) 评价。t =t +1。评价当前种群当中所有粒子的适应度，

v i (t +1)=wv i (t )+α[r 1(p i -x i (t ))+ r2(p g -x i (t ))]+v m (t ) (3)

更新个体最优位置p i 和全局最优位置p g 。

式(3)的第二部分被当作一个加速项，由当前粒子和自身

3) 产生新的粒子。根据当前位置x i (i =1, 2, …, N ) 用式(3)

最优位置和全局最优位置的距离决定。加速因子 α 定义如

组合所有的x i 和NX i 和(2)计算新的速度NV i 和新的位置NX i ，

下：

一起(共2N 个粒子) 存储在一个临时列表当tempList 中。

α = α0 + t/Nt t =1, 2, … , N t (4)

4) 非支配排序。

式中：N t 代表总的迭代次数, t 代表当前代数, α0 的范围是[0.5,

(a) k ＝0，在tempList 中用非支配排序选出非劣解，并移

1]。

存到一个Pareto 前端矩阵PFront 。

式(4)可以看到加速因子随迭代次数增加而增加，在运行

(b) k ＝k ＋1，在tempList 余下的解中再次进行非支配排

后期会提高全局搜索能力，有助于跳出局部最优解，特别是

序，选出下一层非劣解，并将其存储为PFront (k ) 。

对于多峰问题。而且采用随机惯性权重代替线性下降权重。

(c) 重复 (b) 直到全部2N 个粒子全部完成非支配排序。

研究表明，随机权重在许多情况下比线性下降权重更能提高

5) 选择下一代粒子。如果PFront 矩阵粒子数量大于N ,

PSO 算法的性能。

则从PFront 中随机选择N 个粒子存储为NextX 。否则先将

在每一次迭代时，惯性权重由下面式子确定：

PFront 存为NextX ，然后从PFront (k ) 中随机选择粒子，加倒

(5) w=w0 +r (w 1- w0) ;

NextX 中，直到NextX 的粒子数等于N 。令NextX 为下一次

式中w 0∈[0, 1], w 1> w0 均为常数，r 是在[0, 1]分布的随机

迭代粒子。

数。w 0 建议的范围是[0, 0.5], 式(5)让惯性权重在[w 0, w 1]之

6) 变异操作

间随机变化。这样在每一代可以得到一致随机分布权重组

若粒子的运动速率|v i |

合。这个思想是采用动态权重来代替固定权重以期望得到

否则就跳到(7) 。

Pareto 优化解。

(a) 用式(6)计算v m (t ) ，通过变异率选择粒子，把v m (t )

式(4)中的第三项是一个变异操作，通过最大允许速度

项加到这些粒子的速度项，同时计算其位置并保存到Xtemp

粒子的飞行速V max . 的比值来设定。经过一定次数的迭代后，

中。

度越来越小，若按式1、2迭代继续，粒子的位置将不再发

(b) 计算Xtemp 中粒子的适应度，判别是否为非支配解，

[16]

生变化。若粒子群的历史最优位置 p i 随迭代次数的增加

若是，则用变异粒子取代当前x 中对应的原粒子。

不再改进，表明种群已陷入局部最优解。为了提高全局搜索

7) 如果 t

能力，保持粒子群的多样性，我们引入了变异操作项v m (t ) 8) 保存最终种群中Pareto 优化解。 到PSO 中。通过变异操作引导粒子群到达新的位置，一旦某个粒子成为新的最优粒子，又会吸引其他的粒子飞过来。所以在式(3)的后面增加了v m (t ) 进行随机摄动。变异项v m (t ) 按式(6)产生：

v m (t )=sign (2rand -1) βV max .

sign 操作用于确定粒子飞行的方向，定义如下：

(6)

式中β∈[0, 1]是一个常数，rand 是在[0,1]范围变化的随机数,

下面将通过多目标优化测试函数和工程优化设计问题来验证AEPSO 算法有效性。

2 AEPSO算法的多目标优化仿真验证

科研与工程实践中存在大量的多目标优化问题，大多数复杂系统的优化问题通常包含相互矛盾、相互制约的多个目标。多目标优化问题（求最小代价）就是在一定的约束条件

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下寻找最优的协调解。即

r

设 x =[x 1, x 2, L , x n ]，

r r r

且 x ∈Ω={x |g j (x ), j =1,2, L , p }

r

min f (x ) ={f 1(x ), f 2(x ),..., f m (x )}

x ∈Ω

h (f 1, g ) =1−(f 1/g ) 2 ZDT3—非连续函数：

g (x 2, L

, x m ) =1+9∑x i /(m −1), m =30, x i ∈[0,1]

i =2m

r r r

式中x 为决策变量，g j (x ) 为第j 个约束, f (x ) 为目标向量，

h (f 1, g ) =1(f 1/g )sin(10πf 1)

m

f i (x ) 为第i 个优化目标(i =1,2,L , m ) ，Ω为决策变量可行解域。

一个好的多目标优化算法不仅应该收敛到全局最优，也应充分提供解的多样性，为最终用户根据其标准来选择合适的解。

为验证AEPSO 算法的性能，选择了四种具有代表性的测试函数定义如下： 多目标优化标准测试函数ZDT1~ ZDT4[20]。

x = (x 1, x 2, …, x m )

ZDT4—多峰函数：

g (x 2, L , x m ) =1+10(m −1) +∑[x i 2−m cos(4πx i )]

i =2

m =10, x 1∈[0,1], [x i ∈−5, 5], i =

2,3,..., m

h (f 1, g ) =1

ZDT1的Pareto 前端为凸函数，而ZDT2则为非凸函数，ZDT3的Pareto 为非连续函数，这使得求解不同系列的解变得较为困难。ZDT4是一个多峰函数，多重局部Pareto 前端

Mini.: F (x )=(f 1(x ), f 2(x )) s.t. :f 1(x 1)=x 1,

f 2(x )= g (x 2,…, xm ) h (f 1(x 1), g (x 2,…, xm )) ZDT1—凸函数：

g (x 2, L

, x m ) =1+9∑x i /(m −1), m =30, x i ∈[0,1]

i =2m

(8)

AEPSO 导致很多算法都难以收敛到真实解。在仿真实验中，算法参数选取为 w 0=0.5, w 1=1, α0= 0.5, 种群规模N =100, 迭代次数N t =300。测试结果如图1(a)~(d)所示。图中可以看到AEPSO 算法以很高的精度收敛到Pareto 最优解，并且在

Pareto 解中保持良好多样性。

为了把AEPSO 算法和近年来提出的其它同类算法，比如非支配排序遗传算法(NSGA II)[17]、Pareto 进化算法（SPEA ）[18]、以及NSPSO 算法[19]等进行比较, 我们采用了在文献[21]中提出的两个性能指标GD 和S 。

h (f 1, g ) =1m

ZDT2—非凸函数：

g (x 2, L , x m ) =1+9∑x i /(m −1), m =30, x i ∈[0,1]

i =2

(a) (b)

1.510.5f 2

0-0.5

ZDT3

-10 0.5 1 f1

(c) (d)

——：全局Pareto 优化解; .... ：AEPSO 优化解 图1 AEPSO 算法在ZDT1~ZDT4上的Pareto 解

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真 学 报 Nov., 2009

第一个目标函数 f 1 表示理想的解应使夏比冲击吸收功大于目标值Cv o 的1.5倍。第二个目标函数代表产品成本，包含Mn, Cr, Mo等各个组分的添加成本和在热处理中的能

GD(Generational Distance)指标测算Pareto 解集Q 和已知Pareto 最优解P *的距离，用于考察算法的收敛性。

GD 定义如下： GD=

(∑i =1D i M ) 1/M

|Q |

|Q |

耗成本。优化设计的目标是寻找合适化学成分和回火温度，

(9)

让合金钢产品在高韧度和低成本之间取得合理折衷。

图2显示用AEPSO 算法在目标空间的寻优结果。可以看出，随着冲击吸收功Cv 的提高，生产成本也随之增加。表2显示了从所得到的Pareto 优化解展现了良好的多样性。

其中D i 是第个i 解和P *最近的成员之间的欧式距离。本文

GD 采用一组|P *|=500 均匀分布的Pareto 最优解来计算GD 。的值越小，解的收敛性越好。

S (Spread)表示分散度，用来测量最终种群沿着Pareto 前端解的多样性，S 定义如下：

Pareto 解集中选择的不同解。可以看到算法不仅收敛到一个Pareto 优化解集，而且为用户提供了满足不同需要的多种可

C o s t (U S $)

Cv (J)

∑S =

d e +∑i =1|d i −|m =1m

M |Q |

∑

M m =1

e

d m +|Q |行解。

式中：d i 是在Pareto 解集Q 中相邻解的距离；是所有d i

e

的平均值；d m 是在第m 个目标P *与Q 中最极端解的距离。

S 的值越小，表明解的多样性越好。

在比较实验中，用ZDT1~ ZDT4对上述四种算法进行测

AESPO 算法重复运行10次，平均性能指标结果见表1。试。

在表1中SPEA, NSGA-II 和 NSPSO算法的指标来自文献

[20-21]。

从表1可以看出AEPSO 算法在收敛精度和保持优化解的多样性方面都具有较好的性能。是解决多目标优化问题的一个不错的选项。

表1 收敛指标GD 和多样性指标S 的平均值

ZDT1 ZDT2 ZDT3 ZDT4 GD

S

GD

S

GD

S

GD

S 0.732

图2 在目标空间获得的Pareto 解集 表2 合金钢优化设计的部分Pareto 解

Solutions

C Mn Cr Mo Temp Cv Cost $

14.538.824.630.150.8

1 0.12010.35000.0500 0.0100 691 1262 0.12001.42330.0500 0.0979 730 1833 0.12000.36790.0500 0.1908 728 1574 0.12000.84450.0500 0.1310 730 1685 0.12011.72000.0500 0.2303 709 197

SPEA 1.25e-3 0.730 3.04e-3 0.678 4.42e-2 0.666 9.514

NSGA II 8.94e-4 0.463 8.24e-4 0.435 4.34e-2 0.576 2.92e-20.655NSPSO 7.53e-4 0.767 8.05e-4 0.758 3.4e-3 0.869 7.82e-40.768AEPSO 9.97e-5 0.714 8.71e-5 0.682 6.01e-4 0.844 4.48e-40.618

4 结论

本文研究了自适应进化粒子群优化算法，并用于合金材料的多目标优化设计中。AEPSO 算法克服了标准PSO 中常见的问题，即早熟收验问题以及解的多样性问题。自适应惯性权重和特殊变异操作的引入使得算法在保持简单性的同时，改进了Pareto 解的多样性。AEPSO 算法能够在良好多样性情况下实现较好的收敛性能（这通过ZDT1~ZDT4 测试函数得到验证）。合金钢优化设计结果表明AEPSO 优化算法能够以良好的收敛性能定位到最优设计方案，同时也提供了满足预期性能及生产成本要求的多组可行解。仿真结果表明所提算法可推广应用于其它工程领域的优化设计。

3 AESPO算法的工程应用

在材料工程中，金属材料的优化设计是多目标优化的一个挑战性问题，它包括寻找优化工艺参数和合金材料的化学组分，使研制的合金材料的机械性能达到设计预期。

对于高性能低合金钢材，强度和韧性是最重要的机械性能。本节以冲击韧性为目标的优化设计为例，选择对材料韧性有重要影响作用的化学成分：碳(C)，锰(Mn)，铬(Cr)，钼

(Mo)和热处理回火温度(Temp)为决策变量。所有优化仿真实验均在文献[22]提出的模糊神经网络预测模型基础上进行。

合金钢韧度优化设计的目标是确定材料的优化化学组分和回火温度，使得在-20°C时的夏比冲击吸收功(Cv ) 不低于54焦耳，同时使钢材的生产成本保持最低。因此，用于合金钢材冲击韧性优化设计的双目标优化函数定义如下：

⎧100Cv

Mini.: f 1=⎨

⎩2Cv 0/Cv

if Cv

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