数理统计中的三大抽样分布理论系统与题型题法2009
一、 三大抽样分布的分布函数
综 述：a ) 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求n >45），任
何分布都依概率收敛于正态分布N (μ, σ2)，并可标准化为N (0, 1)。
b ) 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎N (0, 1)的函数分布，
集中表现为3大抽样分布规律。
，3 c ) 考研数学中规定：N (0, 1)的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积）大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积）
1． χ2(n )分布（分布函数不要求掌握）
量纲模型：
性 质：
(1){X i }
(2) 可加性
(3)
证 明(3)：由于X i ~
N (0,1)⇒E (X i )=0; D (X i )=1
E (X i 2)=E ⎡⎣X i -E (X i )⎤⎦=D (X i )=1 (i =1,2, , n )
2
E (X i 4)=
2i
+∞
-∞
x 4e
-
x 22
dx =3
2
2
D (X )=E (X )-⎡E X ()⎤i ⎣⎦=3-1=2
⎛n 2⎫n 2
E (χ(n ))=E ∑X i ⎪=∑E (X i 2)=n
⎝i =1⎭i =1⎛n 2⎫n 2
D (χ(n ))=D ∑X i ⎪=∑D (X i 2)=2n
⎝i =1⎭i =1
4i
样本函数中的必需记住的数字特征
(4) 上分位点 α定义为χ2(n )分布的分位数
2． t (n )分布（分布函数不要求掌握）
{X i }独立同分布 X i ~N (0, 1) Y , χ2~n (和X ) ;
独立Y 性 质：
(1) t分布密度函数n →∞⇒f t (n )(x ) ~N (0,1)
(2) 上分位点 α定义为t (n )分布的分位数
(3) EX =0, DX =
n
n -2
(n >2) (4) 性质 T 分布具有对称性， t 1
-α(n ) =-t α
(n ); n >45时，t α(n ) ≈Z α
3．F (m , n )分布（分布函数不要求掌握）
X 、Y 相互独立，X ~χ(m ); Y ~χ2(n ) ；量纲模型：
例：假定(X 2⎡(X 2
1+X 2
)1, X 2)来自正态整体X ~N (0, σ)的一个样本，求P ⎢⎢
1-X 2)⎥⎦
解：X i ~N (0, σ2)⇒X 1+X 2~N (0, 2σ2); X 1-X 2~N (0, 2σ2)
22
~N (0, 1)~N (0, 1)⇒~χ2(1); 2
~χ(1)
2
⇒(X 1+X 2
2)(
X 2=2
~F (1, 1)
=1-X 2) ⇒P ⎡⎢(X 1+X 22)⎢
⎥⎦
⎰0π2.
①上分位点 α定义为t (n )分布的分位数
② 性 质
n
● 证明结论 t 2(n )~F (
1, )n U ~N (0, 1 ) V ~χ2(n )
T =
~t (n )
T 2
=U 2
V n
; 而 U 2~χ2(1)时⇒T 2~F (1, n ) ⇒t 2(n )~F (1, n )
● 证明结论 F 1-α(n , m ) =
1
F n )
如下
α(m , P {X ≥F ⎧⎪11⎫⎪
1-α(m , n )}=1-α⇒P ⎨⎪⎩X ≤F 1-αm , n ⎬⎪=1-α
⎭⇒P ⎧⎪⎨1⎪>1⎫⎪
F m , n ⎬⎪=α
⎩X 1-α⎭
又根据分位数的定义， −−−−−−−−X ~F (m , n )Y =
1
X
~F (n , m )→P ⎧⎨1⎩X ≥F ⎫α(n , m )⎬⎭
=α
而连续分布对一点的概率取值为零，则
P ⎧⎪⎨1⎪>1⎫⎪=P ⎧1≥F ⎩X F (n , m )⎫⇒F n , m =11-αm , n ⎬⎪⎭
⎨⎩X α⎬⎭α
()F 1-αm , n
二、数理统计中8大样本函数的分布（枢轴量）的详细证明
1． 单个正态总体
设{X n }~N (μ, σ2) 为一系列简单随机样本，则有
(1) 若σ已知，需要估计μ的范围，则使用枢轴量
) 证明一：
X =1n ∑n
X i
i =1
E (X ) =1n ∑n E (X 1
i ) =⋅n ⋅μ=μ
i =1n
D (X ) =
1
∑n
D (X ) =12
=σ2n
2
i i =1
n 2⋅n
⋅σn
证明二：
⎛
E ⎫ X -μ⎪ E (X -μ) =0 ⎪⎪=
⎝⎪⎭
⎛D ⎫ X -μ⎪ ⎪=n n 2D (X -μ) =2[E (X -μ) 2-E 2(X ⎪σ
σ-μ)]
⎝⎪⎭
=n
(
2
2σ
2
[E X +μ-2μX )
-0] =n [E (X 2
) +μ2
-
2μ2
]=
n
σ
2
σ
2
(E (X 2
) +μ2-2μ2)
2
=
n
2
σ
2
[(μ+
σn
) -μ2]=1
故
X -μ
~N (0, 1)
公式 ① 是标准化随机变量的手段，也是确定复合随机变量分布的基础。
(2)若μ未知，需要估计σ的范围，则使用枢轴量
证 明：
（X 是随机变量） 已知X i (i =1, 2, , n )~N
(μ, σ2)，且相互独立，
令 Y i =
X i -μ
σ
作下列正交变换：
⎛Z 1⎫ ⎪ Z 2⎪= ⎪ ⎪ ⎝Z n ⎭
⎝
(i =1, 2, , n )⇒Y 1, Y 2, , Y n ~N (0,1)，且相互独立。
c 21 c n 1
c 22 c n 2
⎛Y 1⎫ Y 2⎪ c 2n ⎪ ⎪
⎪
⎪⎪ Y ⎪
⎝n ⎭ c nn ⎪⎭
正交变换不改变向量组的秩，由于Y 1, Y 2, , Y n 相互独立，则Z 1, Z 2, , Z n 相互独立，且都服从
N (0,1)。
1n 1n
X i -μ11n 1n μX 1μX
-μ
记 Y =∑Y i =∑ =⋅∑X i -∑=-⋅n ⋅=
n i
=1n
i =1σσn i =1n i =1σσn σσ由上述变换矩阵等式易得：Z 1=
n
1+2+ +n =~N (0,1) 2
n
正交变换不改变向量的长度⇒∑Y i =∑Z i 2，所以
i =1
i =1
(n -1) S 2
σ
2
=
1
σ
n
2
∑(X i -X ) =∑(
2
i =1
i =1
n n
X i -μ
σ
2
-
X -μ
σ
n
) 2
=∑(
i =1n
X i -μ
σ
) +∑(
2
i =1
n
X -μ
σ
⎛X i -μ⎫⎛X -μ⎫
) -2∑ ⎪⎪
σσ⎭⎝i =1⎝⎭
2
⎛X -μ⎫X -μ2X -μ2
=∑(i ) +n () -2n ⎪
σσσi =1⎝⎭ =∑(
i =1n n
X i -μ
σ
2
⎛X -μ⎫
) 2-n ⎪
σ⎝⎭
2
n
2i
21
i =1
2
=∑Y i -nY =∑Z -Z =∑Z i 2~χ2(n -1)
i =1
i =2
n
(n -1) S 2
2
=
1
2
∑(X
n
i
-X ) 2~χ2(n -1) 有重要的应用价值，如计算E (S 2); D (S 2)。
σσi =1
∵E (χ2(n -1))=n -1, D (χ2(n -1))=2(n -1)
2
⇒E (S 2
)=σ⎛(n -1) S 2⎫σ22
σ2n -1E
⎝σ2
⎪⎭=n -1
E (χ(n -1))=n -1⋅(n -1)=σ2⎡σ2⎤2
⎛(n -1) S 2⎫⎡(n -1) ⎤2
⎡σ2⎤2
D (S 2)=⎢⎣n -1⎥⎦D ⎝σ2
⎪⎭=⎢2
⎣σ2⎥⎦⋅D (χ(n -1))=
⎢⎣n -1⎥⎦
⋅2(n -1)=2σ4n -1(3)若σ
未知，需要估计μ的范围，则使用枢轴量
证明：
X -μ
X -μ
=N 0,1=
~t (n -1)
(4)若μ已知，需要估计σ的范围，则使用枢轴量
（μ是常量）
证明：
Y X i -μ
i =
~N (0,1)
σ
1
n n
X n
i -μ
σ2
∑(X i
-μ) 2
=) 2=i =1
∑(i =1
σ
∑Y 2i ~χ2(n )
i =1
2． 两个正态总体 （X 和Y 独立同分布）
X ~N (μ, σ22
1) ， Y ~N (μ2, σ2
) X =1n ∑n X Y =1∑n
i Y i
i =1n i =1
S 21
=1n n -1∑(X 2, S 2
1m i -X ) 2=i =1m -1∑(Y i -Y ) 2 i =1
则有：
(5) 若σ221, σ2已知，需要估计μ1-μ2的范围，则使用枢轴量
证明：
X -Y -(μ⎡σ2σ2
12⎤1-μ2) ~N ⎢⎣0, n +m ⎥⎦
⇒~N (0,1)
(6)若σ21, σ22未知，但σ1=σ2=σ时，需要估计μ1-μ2的范围，则使用枢轴量
其中： S
W =
证明：
X -Y -(μ⎡⎛11⎫⎤
1-μ2) ~N ⎢⎣
0, σ2 ⎝n +m ⎪⎭⎥⎦
N ⎡⎢0, σ2⎛ 1+1⎫
⎪⎤⎥
=
N ⎡⎢0, σ2⎛ 11⎫⎤+⎪⎥
==σ⋅N 0, 1
=
N 0,1N 0,1=
~t (n +m -2)
7)如μσ2
(11, μ2已知，需要估计σ2的范围，则使用枢轴量
2
证明：
n
1n
∑(X
i -μ2
1
) i =1χ2(n )
n ∑(X 2i -μ1) 2i =1
σ2n σ2
11m =n
=
m (Y μ2σ
2
i -2) 1m ∑i =1
∑)
(Y 2
χ
2
i
-μ2
)
m ~F (n , i =1
m
m σ
22
⎧n ⎪∑(X 222
i -μ1) /σ~χ(n ) 根据F 分布的意义，可以推知⎪1⎨i =1
⎪m ⎪2⎩∑(Y i -μ2) /σ22~χ2
(m ) i =1
)如μσ2
(811, μ2未知，需要估计σ2的范围，则使用枢轴量
2
证明：
(n -1)S 2
1χ22(n -1)
S 2
1σ2n -1σ21S 2σ2
=-1S 2=
21m 2
χ2m -1
~F (n -1, m -1) m -1σ2
2m -1
三、先进题型与求解秘技
量纲法求复合统计量的抽样分布。
3种抽样源正态；量纲法则判类型。 根据定义凑模式；标准变量容量值。
【例1】设x 1, x 2, x 3, x 4来自正态总体N (0, 22)的简单随机样本，求a , b ，使得 X =a (x 2
1-2x 2)+b (3x 3-4x 2
4)~χ2。 解：
⎤⎤X =a (x 1-2x 2)+b (
3x 3-4x 4)=
x 1-2x 2)⎦+
3x 3-4x 4)⎦
221⎡
x 1-2x 2)~N 0, 2+2⎤=N [
0, 20a ]⇒a =
⎢⎥⎣⎦20
221
3x 3-4x 4)~N ⎡0, 2+2⎤=N [0, 100a ]⇒b =
⎢⎥⎣⎦100
X ~χ2(2)
22
22
)()
(
)()
【例2】{N i }~N (0,22) ，
Q =aX 12+b (X 2+X 3) 2+c (X 4+X 5+X 6) 2+d (X 7+X 8+X 9+X 10) 服从χ2分布，求
a , b , c , 和自由度d m 。 ) 解： X 1~N (0, 22⇒
1
σ
X 1=
1
X 2
1
N ~
1(⇒0X )
4
21
x
2
~ (1)
同理 X 2+X 3~N (0,8),X 1+X 5+X 6~
1
(X 2+X 3) 2~χ2(1) 81
(X 4+X 5+X 6) ~χ2(1) 121
(X 7+X 8+X +X 10) ~χ2(1) 16
N (0, 12X ) 7, +X 8+X 9+X 1~0
N (0, 1 6)
由χ2(n ) 的可加性知 Q ~χ2(4 ) 所以 a =
1111
b = c = d = m =4 481216
【例3】设X , Y 相互独立，都服从N
(0, 32)，则统计量U =
服从什么分布。
解： U 的分子是N
U 必是T 分布。
根据T 分布定义，需要把分子和分母标准化N (0, 1)，这需要利用公式①
X =
∑X
i =1
n
i
n
⎛σ2⎫
~N μ, ⎪⇒X =
n ⎭⎝
∑X
i =1
9
i
9
~N (0, 1)
Y i
~N (0, 1)⇒3
∑Y
i =1
9
2
9
i
9
⎛Y ⎫
=∑ i ⎪~χ2(9)i =1⎝3⎭
2
∑X
U =
9
i =1
i
=~
N 0, 1=t (9)
【例4】设X ~正态分布，又设X n +1~N (μ, σ2)，且X n +1与X 1, X 2, , X n 相互独立，求
T =
解：含有S ，可以预计容量应该是
n -1，分子量纲为N 分布，分母S =χ2，根据量纲法，可以推知结果是t 分布。
⎛σ2⎫n +12⎫⎛2
x n +1-x ~N 0, σ+=N 0, σ⇒=~N (
0, 1)⎪ ⎪
n n ⎝⎭⎝⎭T ====
N 0, 1~t (n -1)
1n 1n 222
【例5】设 x 1, x 2, , x n ~N (μ, σ), 记 S 1=x i -x , ∑x i -x , S 2=n ∑n -1i =1i =1
()
2
()
2
1n 1n 2 S =。 (x i -μ), S 4=∑(x i -μ)。则下列正确的是（ ）∑n -1i =1n i =1
2
3
22
(A ) t (n -1)
=
x -μx -μ
(B ) t (n -1)
=x -μx -μ (D ) t (n -1)=
(C ) t (n -1)
=
22
解：由于容量为(n -1)的分布含样本方差，而S 12, S 2是样本方差，S 32, S 4不是，故立即可以否
定(C ), (D )。又只有S
12才是标准的样本方差，由标准的t (n -1)=
x -μ
推知(A )不对。故选(B )。事实上
x -μ
==
=
-μ
~t (n -1)
=
x 【例6】X 1, X 2, , X n (n ≥2)为来自N (0, 1)的简单随机样本，则下列哪个正确。
(A ) nX ~N (0, 1) (B ) nS 2~χ2(n )
(C ) (n -1)X ~t (n -1) (D ) (n -1)X 2
1n ~F (1, n -1)
S
∑X
2
i
i =2
解：选(D )
X -μ
=
X -0
=~N (0, ) ，故排除1(A )；
X -μ=X -0=S ~t (n -1)，故排除(C )； (n -1)S 2
21
2
=(n -1)S ~χ2(n -1)nS 2~χ2(n )，故排除(B )； (n -1)X 2
X 2
11χ2(1)∑n
=
n
~
(1, n -1)，故(D )正确。
X
2
2χ2n -1i
i
~F i =2
∑X
i =2
n -1
n -1
【例7】X ~N (μ, σ2)，S 22
221和S 2独立，求D (S 1-2S 2)。
解： D (S 2
-2S 2)=D (S 2)+4D (S 22σ48σ4⎛14⎫41
2
1
2
)=n -1+n =2 -1+n ⎪σ
12-1⎝n 12-1⎭
【例8】{X i }是来自正态整体X 的简单随机样本，已知 Y 1
1=
6
(X 1+X 2+
X )6, Y 12
192Y 1-Y 2)2=3(X 7+X 8+X 9), S =2∑(X i -Y 2)。 求Z =分布。
i =
1S 解：
11
E (X 1+X 2+ X 6)-E (X 7+X 8+X 9)=06311
D (Y 1-Y 2)=D (Y 1)+D (Y 2)=D (X 1+X 2+
X 6)+E (X 7+X 8+X 9)
369
11σ2 22
=⨯6σ+⨯3σ=
3692E (Y 1-Y 2)=E (Y 1)-E (Y 2)=
Y 1-Y 2)⎛σ2⎫
Y -Y -0
⇒Y 1-Y 2~N μ, ⇒=~N (0, 1)⎪2⎭σ⎝
⇒Z =
Y 1-Y 2)
~S
N 0, 1Y 1-Y 2)
σ
S
=
N 0, 1
N 0, 1
~
2
~
~t (n -1) (n =2, 3, )
22
x 12+x 2+ x 10
【例9】X ~N (0, 2)，x 1, x 2, , x 15来自X 的简单随机样本，则Y =服从什222
2x 11+x 12+ x 15么分布。
解：分子量纲为N 2→χ2分布，分母量纲为也为N 2→χ2分布，根据量纲法，可以推知结果是
F 分布。下面具体计算如下
⎛x 10⎫⎛x 1⎫⎛x 2⎫
++ 22⎪ ⎪ ⎪x 12+x 2+ x 101 2⎭⎝2⎭⎝⎝2⎭Y ==⋅222
2x 11+x 12+ x 152⎛x 11⎫2+⎛x 12⎫2+ ⎛x 15⎫2
⎪ ⎪ ⎪22⎝⎭⎝⎭⎝2⎭
χ2(10)2
1χ(10) ~⋅2~~F (10, 5)2
χ52χ55
1n
【例10】设X 1, X 2, , X n ~N (μ, σ), d =∑X i -μ，求Ed 和Dd 。
n i =1
2
222
解：记Y i =X i -μ，则Y i ~N (0, σ2)。
E Y i =⎰
+∞
-∞
y -
y 22σ2
dy =2⎰+∞
ye
2
-
y 22σ2
dy =
D Y i =EY i 2-(E Y i )
2
⎫22⎛222
=DY i +(
EY i )-=σ+0-σ=1σ ⎪⎪ π⎭⎝
⎛1n
⇒Ed =E ∑X i -μ
⎝n i =1⎛1n
Dd =D ∑
⎝n i =1
⎫1⎛n ⎫1
=E Y =⋅n =⎪n ∑
i ⎪n ⎭⎝i =1⎭
⎛2⎛σ2⎫1⎛n ⎫1
X i -μ⎪=2D ∑Y i ⎪=⋅n ⋅ 1-σ= 1- n n n ⎭⎝i =1⎭⎝⎝1
的分布。 2X
【例11】X ~t (n )，求解：
X ~t (n )
⇒
X N 0, 11
⇒2222
X N 0, 1χ1χ11χ2(n )
χ
2
(n )
χ
2
n ()
1~(F n ),
n 2
2⎡n 1
⎢∑X i -X +∑Y i -Y
j =1
【例12】X ~N (μ, σ2), Y ~N (μ, σ2)，均为简单随机样本，求E ⎢i =1
⎢n 1+n 2-2⎢⎣
解：
()()
2
⎤⎥⎥。 ⎥⎥⎦
n 2
2⎡n 1
⎢∑X i -X +∑Y i -Y
j =1
E ⎢i =1⎢n 1+n 2-2⎢⎣
()()
2
⎤⎥2
⎡(n 1-1)S 12+(n 2-1)S 2⎤⎡(n 1-1)+(n 2-1)⎤22⎥=E ⎢=E ⎥⎢⎥σ=σ。 ⎥n 1+n 2-2⎣n 1+n 2-2⎦⎣⎦⎥⎦
2
2
【例13】X ~N (0, 1), Y =(X 1+X 2+X 3)+(X 4+X 5+X 6), CY ~χ2。求C 。 解：
X 1+X 2+X 3~N (
0, 3)⇒X 4+X 5+X 6~N (0, 3)⇒
~N (0, 1)
~N (
0, 1)
2
⇒CY =C (X 1+X 2+X 3)+C (
X 4+X 5+X 6)
2
⎡22⎤12 =C ⨯3⎢+~χ2⇒C =⎥()3⎥⎢⎣⎦
【例14】设总体X ~N (0, 1)，X 1, X 2, , X 2n 是来自总体的简单随机样本，求下列分布。
3
3(
1)Y 1=
)(2n -)Y ∑X 2
i i =1
(3)Y 12n 2n
2=
2n
； 3= (22∑X i +∑X
2i -X 1
i 2
i =1i =1
3∑X 2
i i =4
解：
(
1)
Y 1=
0,1=
~t (2n -1)
~
N 2(3
2n -3()2)Y ∑X
2
∑3
X
i
χ2i
i =1(3)
i =1
2=
∑2n
=
2
2n
~
χ2
~F (3, 2n -3)3X i 2n -3 i =4
∑X
2i
i =4
2n -3
2n -3
(3)Y 12n 2n
3=2∑X i +i =1∑X 2i -1X 2i
i =1 =12
2
(X 21+ +X 2n )+X 1X 2+X 3X 4+ +X 2n -1X 2n
=12(X 2+12(X 212
1+X 2)
3+X 4)+ +2
(X 2n -1+X 2n )
n
2
=∑i =1n
2~∑⎡N (0,1)⎤2
1
⎣i ⎦~χ(n ).
i =【例15】已知X ~N (μ1, σ2), Y ~N (μ2, σ2)
(n -1)(2
2求 (1)S 1
+S 2
)；(2n ⎡⎣(X -Y )
-(μ2
1-μ2)⎤⎦σ2)S 22。 1+S 2
解：
(1)
(n -1)(S 21+S 22)(n -1)S 21(n -1)S 222σ
2
~σ
2
+σ
2
~χ
(n -1)+χ2(n -1)~χ2(2n -2)
⎡⎤⎢X -μX -μ⎥
12-⎢⎥22
n ⎡X -Y -(μ1-μ2)
⎤N 0, 2⎡()⎤=~(2)2
χ2n -1+χ2n -1S 12+S 2n -1S 1+S 2 n -1
n -1σ2
2
()
⎡N 0, 2⎤⎡N (0,1)⎤
⎢⎥
1~~F 1, 2n -2 ~2()2
22
χ2n -22n -1χ2n -22n -1