高等数学(专科)复习题及答案

中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案

《高等数学》

一、填空题

1．函数y =

x 2-4+

1

的定义域是. x -解. (-∞, -2] [2, +∞) 。

2．若函数f (x +1) =x 2+2x -5，则f (x ) =解. x -6 3．lim 答案：1

正确解法：lim

2

．

x -sin x

=________________

x →∞x

x -sin x sin x sin x

=lim (1-) =lim 1-lim =1-0=1

x →∞x →∞x →∞x →∞x x x

x 2+ax +b

=2，则a =_____, b =_____。 4. 已知lim 2

x →2x -x -2

由所给极限存在知, 4+2a +b =0, 得b =-2a -4

, 又由

x 2+ax +b x +a +2a +4l i =l i ==2, 知a =2, b =-8 x →2x 2-x -2x →2x +13

e x -b 5. 已知lim =∞，则a =_____, b =_____。

x →0(x -a )(x -1)

(x -a )(x -1) a e x -b

==0, ∴a =0, b ≠1 lim =∞, 即lim x x →0x →0(x -a )(x -1) 1-b e -b

1⎧

⎪x sin

6．函数f (x ) =⎨x

⎪⎩x +1

x

的间断点是x =。

解：由f (x ) 是分段函数，x =0是f (x ) 的分段点，考虑函数在x =0处的连续性。

x sin 因为 lim -

x →0

1

=0lim (x +1) =1f (0) =1

x →0+x

所以函数f (x ) 在x =0处是间断的，

又f (x ) 在(-∞, 0) 和(0, +∞) 都是连续的，故函数f (x ) 的间断点是x =0。

7. 设y =x (x -1)(x -2)⋅ ⋅(x -n ), 则y (n +1)=(n +1)! 8．f (x ) =x 2，则f (f '(x ) +1) =__________。 答案：(2x +1) 2或4x +4x +1

2

4x -y 29．函数z =的定义域为 。

ln(1-x 2-y 2)

解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

⎧4x -y 2≥0⎧y 2≤4x ⎧y 2≤4x ⎪⎪⎪⎪⎪2⎪222221-x -y >0⇒x +y

⇒z 的定义域为：(x , y ) |0

{

10．已知f (x +y , x -y ) =x 2y +xy 2, 则f (x , y ) =. 解 令x +y =u ，x -y =v ，则x =

u +v u -v

，f (x +y )(x -y ) =xy (x +y ) , y =

22

f (u , v ) =

u +v u -v u u 2x

=(u -v 2) ，f (x , y ) =(x 2-y 2)

42224

11．设f (x , y ) =xy +

x , 则f x '(0, 1) =。f y '(0, 1) =

x 2+y 2=) +0=0 ∵ f (0, 1

f x '(0,1)=lim

f (∆x ,1) -f (0,1)

=lim ∆x →0∆x

∆x +

∆x

-0

2=2 ∆x

∆x →0

f y '(0,1)=lim

∆y →0

f (0,∆y +1) -f (0,1)0-0

=lim =0。 ∆y →0∆y ∆y

12． 设z =x 2+sin y , x =cos t , y =t 3, 则

解 13.

dz

=-2x sin t +3t 2cos y dt

d z

＝ 。 d t

d

d ⎰d f (x ) dx =. ⎰dx

d

d d f (x ) dx =f (x ) . 解：由导数与积分互为逆运算得，

dx ⎰⎰

14. 设f (x ) 是连续函数，且

⎰

x 3-1

f (t ) dt =x ，则f (7) =13x 2

=

x =2

323

解：两边对x 求导得3x f (x -1) =1，令x -1=7，得x =2，所以f (7) =

1

. 12

1

，则k =_________。 ⎰0

2+∞11b -kx -kx

答案：∵=⎰e d x =lim -⎰e d(-kx )

0b →+∞2k 0

1-kx b 111

=-lim e -kb = =lim -e 0b →+∞k k b →+∞k k

∴k =2

15．若

+∞

e -kx d x =

16．设函数f(x,y)连续，且满足f (x , y ) =x f(x,y)=______________.

⎰⎰

D

f (x , y ) d σ+y 2，其中D :x 2+y 2≤a 2, 则

4πa 4

x . 解 y +4

2

记A =

⎰⎰

D D

f (x , y ) d σ，则f (x , y ) =Ax +y 2，两端在D 上积分有：

，

其

中

A =⎰⎰Axd σ+⎰⎰y 2d σ

D

A ⎰⎰xd σ=0

D

（由对称性），

⎰⎰y

D

2

d σ=⎰d ϕ⎰ρsin ϕd ρ=

2πa

32

πa 4

4

.

即 A =

2

πa 4

4

，所以，f (x , y ) =y +

2

2

πa 4

4

x .

17．求曲线y =4ax , x =

解：

22a 3

ay

所围成图形的面积为（a>0） 2

18.

∑

2n -12n -2

； x n

2n =1

2

∞

解：令y =x ，则原幂级数成为不缺项的幂级数

2n -1n -1

y ，记其各项系数为b n ，因∑n

2n =1

∞

b n 2n -12n +12n -1

为R =lim =lim n ⋅=2lim =2，则-2

n →∞b n →∞n →∞2n +12n +12n +1

故-2

2.

1∞

当x =±2时，幂级数成为数项级数∑(2n -1) ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间

2n =1

为(-2, 2) .

111⎛1⎫, y '(1)=的特解为y = x -⎪. 19．(y '')-y '=0的满足初始条件y (1)=12412⎝2⎭

2

3

20．微分方程y ''-3y '=0的通解为y =c 1+c 2e 3x .

21．微分方程y ''+6y '+13y =0的通解为y =e -3x (c 1cos 2x +c 2sin 2x ). 22. 设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|2A *-7A -1答案：(-1)

n

1

3

-1

23. 1

11

1

-1x 是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . 1-1

答案： 2;

31x

24. f (x )=x

25是 次多项式，其一次项的系数是 。 14x

解：由对角线法则知，f (x ) 为二次多项式，一次项系数为4。

25. A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC . 26. 事件A 、B 相互独立，且知P (A )=0.2, P (B )=0.5则P (A B )= . 解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A ) P (B )

∴P (A ∪B )=P (A )+P (B ) –P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6

27. A，B 二个事件互不相容，P (A )=0.8, P (B )=0.1, 则P (A -B )= . 解： A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A ) –P (AB )=0.8

28. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7, 则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .

解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰

有一次击中目标可表示为A +B +，即有 P (A +B +)

=P (A ) P () P () +P () P (B ) P () +P () P () P (C ) =0.36

29. 已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.6, 且P （AB ）＝0.4，则P （A B ）＝ ；P （A －B ）＝ ； 解： P (A ∪B )=P (A )+P (B ) –P (AB )=0.9

P (A –B )=P (A ) –P (AB )=0.7–0.4=0.3

30. 若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为.

解：P (A +B )=1–P (A +B ) =1-P () =1-p

二、单项选择题

a x -1

(a >0, a ≠1) （ ） 1．函数f (x ) =x x

a +1

A. 是奇函数； B. 是偶函数；

C. 既奇函数又是偶函数； D. 是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。

a -x -1a -x (1-a x ) a x -1

f (-x ) =(-x ) -x =-x -x =x x =f (x )

a +1a (1+a x ) a +1

所以B 正确。 2．若函数f (x +

2

11

) =x 2+2，则f (x ) =（ ） x x

2

2

A. x ； B. x -2； C. (x -1) 2； D. x -1。 解：因为x +

2

11121122=x +2+-2=(x +) -2f (x +) =(x +) -2 ，所以

x x x x 2x 2

则f (x ) =x 2-2，故选项B 正确。

3．设f (x ) =x +1 ，则f (f (x ) +1) =（ ）．

A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3

解 由于f (x ) =x +1，得 f (f (x ) +1) =(f (x ) +1) +1＝f (x ) +2 将f (x ) =x +1代入，得f (f (x ) +1) =(x +1) +2=x +3 正确答案：D

x 2

-ax -b ) =0，其中a , b 是常数，则（ ） 4．已知lim (

x →∞x +1

(A) a =1, b =1, (B) a =-1, b =1 (C) a =1, b =-1 (D) a =-1, b =-1

(x 21-a )x 2-(a +b )x -b

-ax -b ) =lim =0, 解. lim (

x →∞x +1x →∞x +1

∴1-a =0, a +b =0, ∴a =1, b =-1 答案：C

5．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A. e ,

1x

(x →∞) ； B.

sin x

, (x →∞) ； x

C. ln(1+x ), (x →1) ； D.

x +1-1

, (x →0) x

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以

lim

sin x

=0

x →∞x

而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）

n 1

(x →∞) ; (B)y =n (-1)(n →∞) ; x

11

(C)y =ln x (x →+0) ； (D)y =cos (x →0)

x x

111

=1, 故不选(A). 取m =2k +1, 则解. lim x sin =lim sin

x →∞x x →∞x x

(A)y =x sin

n →∞

lim n (-1)=lim

n

1

=0, 故不选(B). 取x n =

k →∞2k +1

1n π+

2

, 则lim

n →∞

11

cos =0, 故不选x n x n

(D). 答案：C

1⎧

⎪x sin , x >0

7．设f (x ) =⎨，则f (x ) 在x =0处（ x

⎪⎩x , x ≤0

A ．连续且可导

）

B ．连续但不可导 D ．既不连续又不可导

C ．不连续但可导 解：（B ）

x →0

lim f (x ) =lim x =0，lim f (x ) =lim x sin --++

x →0

x →0x →0

1

=0，f (0) =0 x

因此f (x ) 在x =0处连续

f +'(0) =lim +

x →0

f (x ) -f (0)

=lim x →0+x -0

x sin

1

-0

1x ，此极限不存在 =lim sin

x →0+x -0x

'(0) 不存在，故f '(0) 不存在 从而f +

8．曲线y =x -x 在点（1，0）处的切线是（ ）． A． y =2x -2 C． y =2x +2

B ． y =-2x +2 D ． y =-2x -2

3

解 由导数的定义和它的几何意义可知，

y '(1) =(x 3

-x ) '

=(3x 2-1)

=2

x =1

x =1

是曲线y =x 3-x 在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 y -0=2(x -1) ，即y =2x -2

正确答案：A 9．已知y =

14

x 4

，则y ''=（ ）． A . x 3 B . 3x 2

C . 6x D . 6

解 直接利用导数的公式计算： y '=(14

x 4

) '=x 3, y ''=(x 3) '=3x 2 正确答案：B

10．若f (1x

) =x ，则f '(x ) =（ ）。 A ．

1x B ．111x 2 C ．-x D ．-x

2 答案：D 先求出f (x ) ，再求其导数。

211．

z =ln x -y 2

的定义域为（ ）．

22A ．x -y ≥1 B．x 2-y 2≥0C ．x 2-y 2>1 D．

x 2-y 2>0 解 z 的定义域为{

(x , y ) x 2-y 2>0}个，选D 。 12. 下列极限存在的是（ ）

（A ）lim

x （B ）1 （C ）x 2 （D ）x y →→00x +y lim x lim lim x →0x sin 1 y →→00

x +y x →0y →0x +y y →0x +y 解 A. 当P 沿x =0时，y lim →0

f (0, y ) =0，当P 沿直线y =0时，x lim →0

f (x , 0) =1，故x lim

y →→0

x x +y

不存在； B. lim x 1=∞，

不存在； C. 如判断题中1 题可知lim x 2

不存在；y →→00

x +y x y →→00

x +y 因为lim 1

x y →x sin

→0

x +y ≤lim x x =0，所以lim 1y →→0

x x sin

=0，选D y →→00

x +y D.

13. 若f (-x ) =f (x )(-∞0, f ''(x )

（A ）f '(x )>0, f ''(x ) 0, f ''(x ) >0 （C ）f '(x ) 0

解：因f (x ) 为偶函数, 则f '(x ) 为奇函数, f ''(x ) 为偶函数, 故应选(C ).

14．设f (x ) 为奇函数，且x >0时f '(x ) >0，则f (x ) 在[-10, -1]上的最大值为（ ）

A ．f (-10) 解：（B ）

因为f (x ) 是奇函数，故f (-x ) =-f (x ) ，两边求导-f '(-x ) =-f '(x ) ，从而

B ．f (-1) C ．f (10)

D ．f (1)

f '(x ) =f '(-x ) ，设x 0，从而f '(x ) =f '(-x ) >0，所以f (x ) 在[-10，-1]

上单调增加，故最大值为f (-1)

15．函数f (x , y , z ) =4(x -y ) -x 2-y 2 ( )

(A)、有极大值8 （B ）、有极小值8 （C ）无极值 （D ）有无极值不确定 解 f x =4-2x ，f y =-4-2y ，⎨

⎧⎧x =2⎪f x =0

−−→⎨ f =0y =-2⎪y ⎩⎩

⎛-20⎫

H = 0 -0-2⎝⎭

15. 设f (x ) 是以T 为周期的连续函数, 则I =（A ）依赖于a , T

⎰

a +T

a

f (x ) dx 的值（ ）.

（B ）依赖于a , T 和x

（C ）依赖于T , x ，不依赖于a （D ）依赖于T ，不依赖于a 解：根据周期函数定积分的性质有,

3

2

⎰

l +T

l

f (x ) dx =⎰f (x ) dx , 故应选(D ).

T

17. 曲线y =sin x (0≤x ≤π) 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为（ ）. （A ）

44222 （B ）π （C ）π （D ）π 3333

π

π

π

解：所求旋转体的体积为

V =⎰πy dx =π⎰sin xdx =-π⎰

23

cos 3x π4

(1-cos x ) d cos x =-π[cosx -]0=π.

33

2

故应选(B ).

sin x 434218. 设M =⎰2π，cos xdx N =(sinx +cos x ) dx ， π2⎰ -1+x -

22

ππ

π

P =⎰2π(x 2sin 3x -cos 4x ) dx ，则有（ ）.

-2

（A ）N

（C ）N

（B ）M

解：利用定积分的奇偶性质知M =0，N =2

⎰

2 0

π

4

cos xdx >0，P =-2⎰2cos 4xdx

π

所以P

19．下列不定积分中，常用分部积分法的是（ ）。

2

A ．x sin x d x B．x sin(2x +1) d x

⎰⎰

C ．

ln x x x D．⎰x ⎰1+x x

1

3

答案：B 。 20．设I =

x 2+y 2≤4

⎰⎰(1-x

2

-y ) dxdy ，则必有（ ）

2

（A ）I>0 (B)I

14

⎧0≤θ≤2π32π22323

解： D ：⎨ I =⎰0d θ⎰0(1-r ) r d r =-π⋅(1-r )

0≤r ≤24⎩

2

>0

21．设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（lim +

t →0

1

πt 3

x 2+y 2≤t 2

⎰⎰f (

x 2+y 2) dxdy ）( )

2

f ' (0) 3

(C) 等于+∞ （D ）不存在且非∞

（A ）等于0 （B ）等于 C ）

1

解：由极坐标，原极限=lim 3

t →0πt

+

⎰0d ϕ⎰0rf (r ) dr =t lim →0

+

2πt

2π⎰0rf (r ) dr

t

πt 3

=

2f (t )

lim =+∞ 3t →0t

+

22. 设函数项级数

∑u

n =1

∞

n

(x ) ，下列结论中正确的是( ).

（A ）若函数列{u n (x ) }定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间 （B ）若S (x ) 为此级数的和函数，则余项r n (x ) =S (x ) -S n (x ) ，lim r n (x ) =0

n →∞

（C ）若x 0∈I 使

∑u

n =1

∞

n

(x 0) 收敛，则|x |

n =1

∞

（D ）若S (x ) 为此级数的和函数，则解：选（B ）.

23. 设a >0为常数，则级数（A ）绝对收敛

n

∑u

n =1

∞

n

(x 0) 必收敛于S (x 0)

a n

(-1) (1-cos ) （ ）. ∑n n =1

（C ）发散

（D ）敛散性与a 有关

∞

（B ）条件收敛

∞

a a 2a 22a 解：因为(-1) (1-cos ) =2sin ≤2，而∑2收敛，因此原级数绝对收敛. 故n 2n 2n n =12n

选（A ）.

(x -a ) n

24. 若级数∑(-1) 在x >0时发散，在x =0处收敛，则常数a =（ ）.

n n =1

∞

n

（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）2

n ∞

(-a ) n n (x -a ) 解：由于∑(-1) 收敛，由此知a ≤1. 当-1

n n n =1n =1

∞

n

敛半径为1，因此该幂级数在区间(a -1, a +1) 内收敛，特别地，在(0, a +1) 内收敛，此与幂级数在x >0时发散矛盾，因此a =-1. 故选（B ）. 25. y ''+2y '+5y =e -x cos 2x 的特解可设为（ ） （A ）y =e

**

-x

A cos 2x ; （B ）y *=xe -x A cos 2x ;

（C ）y =xe

-x

(A cos 2x +B sin 2x ); （D ）y *=e -x (A cos 2x +B sin 2x ).

解：C

26. 微分方程的阶数是指（ ）

（A ）方程中未知函数的最高阶数； （B ）方程中未知函数导数或微分的最高阶数； （C ）方程中未知函数的最高次数； （D ）方程中函数的次数. 解：B

27. 下面函数( ) 可以看作某个二阶微分方程的通解.

（A ）x +y =c ; （B ）y =c 1x 2+c 2x +c 3; （C ）y =c 1sin x +c 2cos x ; （D ）y =ln (c 1x )+ln (c 2cos x ).

2

2

2

2

解：C

28.A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则A 、B 的伴随矩阵(AB ) *=（ ）. （A ）A *B *； （B ）|AB |A -1B -1； （C ）B -1A -1 （D ）B *A *； 解答：D

29. 设A 、B 均为n 阶方阵，则必有[ ]。

(A ) |A +B |=|A |+|B | (B ) AB =BA

(C ) |AB |=|BA | (D ) (A +B ) –1=A –1+B –1

解：正确答案为(C )

30. A,B 都是n 阶矩阵, 则下列各式成立的是 （ ） （A ）(AB )=A T B T （B ）(A +B )=A T +B T

T

T

（C ）(AB )解答：B

-1

=A -1B -1 （D ）(A +B )=A -1+B -1

-1

31. 在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（ ）

（A ）AC BC （B ）ABC （C ）ABC AB C ABC （D ）A B C 解 由事件间的关系及运算知，可选（A ）

32. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）

35⎛3⎫14⎛3⎫1（A ） （B ） ⎪ （C ）C 8 （D ） ⎪48C 8⎝8⎭8⎝8⎭8

4

解 基本事件总数为C 8，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数

53

1

为C 5=5，故P (A )=

5

，故应选（D ）。 C 84

33. 已知0＜P (B )＜1, 0＜P (A 1)＜1, 0＜P (A 2)＜1，且P (A 1 A 2)|B

()

=P (A 1|B )+P (A 2|B ), 则下列选项成立的是（ ）

（A ）P

((A A )|B )=P (A |B )+P (A |B );

1

2

1

2

（B ）P (A 1 A 2)|B =P (A 1)+P (A 2)

（C ）P (A 1B A 2B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)

（D ）P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)

解 由题可知A 1、A 2互斥，又0

P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B ) –P (A 1A 2B )=P (A 1) P (B |A 1)+P (A 2) P (B |A 2) 故应选（C ）。

()

三、解答题

1. 设函数

1⎧x sin +b ⎪x ⎪

f (x ) =⎨a

⎪sin x ⎪x ⎩

x 0

问（1）a , b 为何值时，f (x ) 在x =0处有极限存在？ （2）a , b 为何值时，f (x ) 在x =0处连续？

f (x ) =lim f (x ) 成立。 解：（1）要f (x ) 在x =0处有极限存在，即要lim -+

x →0

x →0

f (x ) =lim (x sin 因为lim --

x →0

x →0

1

+b ) =b x

x →0

lim f (x ) =lim ++

x →0

sin x

=1x

x →0

x →0

f (x ) =lim f (x ) 成立，即b =1时，函数在x =0处有极限所以，当b =1时，有lim -+

存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a 可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是

f (x ) =f (x 0) lim -f (x ) =lim +

x →x 0

x →x 0

于是有b =1=f (0) =a ，即a =b =1时函数在x =0处连续。

x 3+ax 2+b

=8，试确定a 和b 的值 2．已知lim

x →2x -2

x 3+ax 2+b

=8, ∴lim (x 3+ax 2+b )=8+4a +b =0, 即b =-8-4a 解. lim

x →2x →2x -2x 3+ax 2+b x 3+ax 2-4a -8

∴lim =lim =lim x 2+(a +2)x +2a +4=4a +12=8, x →2x →2x →2x -2x -2

[]

∴a =-1, 故b =-4

⎧x 1

⎪-1

3．设f (x ) =⎨e , x >0，求f (x ) 的间断点，并说明间断点的所属类型

⎪⎩ln(1+x ), -1

x →1

1

x -1

=∞, lim e -

x →1

1

x -1

=0, f (0)=0, 因此,

x =1是f (x ) 的第二类无穷间断点; lim f (x )=lim e ++

x →0

x →0

x →0-

1

x -1

=e -1,

lim f (x )=lim -ln (1+x )=0, 因此x =0是f (x ) 的第一类跳跃间断点.

x →0

4．求方程中y 是x 的隐函数的导数 （1）xy -e x +e y =1, y '

解：方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即

(xy ) '-(e x ) '+(e y ) '=1' y +x y '-e x +e y y '=0

(x +e y ) y '=e x -y

e x -y

整理得 y '=

x +e y

dy d 2y

（2）设y =sin(x +y ) ，求，； 2

dx dx

解：y '=cos(x +y ) ⋅(1+y ')

y '=

cos(x +y )

1-cos(x +y )

y ''=-sin(x +y ) ⋅(1+y ') 2+cos(x +y ) ⋅y ''，

y ''=-

sin(x +y ) -y

=33

[1-cos(x +y )][1-cos(x +y )]

z -y

5．设z =z (x , y ) 由方程z +x =e

∂2z

所确定, 求.

∂y ∂x

解: 设F (x , y , z ) =e z -y -z -x ,

F x =-1, F y =-e z -y , F z =e z -y -1,

∂z 1∂z e z -y 1=z -y , , =z -y =y -z ∂x e -1∂y e -11-e

∂2z ∂1-e y -z ∂z e 2(y -z )

. ∴=() =⋅=

∂y ∂x ∂x 1-e y -z (1-e y -z ) 2∂x (1-e y -z ) 3

6．设函数f (x ) 在[0,1]上可导，且0

（0,1）内有且只有一个数x 使 f (x ) =x .

设 F (x ) =f (x ) -x , 在 [0 , 1] 上用零点定理，得 F (x ) 至少有一个零点. 反设 F (x ) 在 [0 , 1] 上存在两个零点c 1, c 2，即F (c 1) =F (c 2) =0, [c 1, c 2]⊂ [0 , 1] , 由Rolle 定理可得至少有ζ∈(c 1, c 2) , 使 F '(ζ)=0 即 f '(ζ) -1=0⇒f '(ζ)=1, 与题设矛盾，故在 (0 , 1) 内有且只有一个x , 使 f (x )=x .

7. 求函数y =x 2(1+x ) -1的单调区间和极值.

解 函数y =x 2(1+x ) -1的定义域是(-∞, -1) (-1, +∞)

y '=2x (1+x ) -1+x 2(-1)(1+x ) -2

x (2+x ) 2x (1+x ) -x 2

= = (1+x ) 2(1+x ) 2

令 y '=x (2+x )

=0，得驻点x 1=-2，x 2=0

(1+x ) 2

故函数的单调增加区间是(-∞, -2) 和(0, +∞) ，单调减少区间是(-2, -1) 及(-1, 0) ，当

x =-2时，极大值f (-2) =-4；当x =0时，极小值f (0) =0.

8. 在过点P (1, 3, 6) 的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.

解: 设平面方程为Ax +By +Cz =1, 其中A , B , C 均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为V =

11

, 且A +3B +6C =1, 令

6ABC

F (A , B , C , λ) =ABC +λ(A +3B +6C -1) , 则由

⎧∂F

⎪∂A =BC +λ=0⎪∂F ⎪=AC +3λ=0⎪

, 求得 ∂A ⎨

⎪∂F

=AB +6λ=0⎪∂A ⎪⎪⎩A +3B +6C =1

1⎧

A =⎪3⎪

1⎪

. 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 B =⎨

9⎪

1⎪C =⎪18⎩

x y z 1

++=1, 且V min =⨯3⨯9⨯18=81. 39186

9．求下列积分 (1)

⎰

+∞

1x

1

3

1

x

b

解：

⎰

+∞

1x

13

1

x =lim

b →+∞1

⎰

b

1

x =lim x 31b →+∞13-+1x

3

1

2

3

=lim (b 3-1) b →+∞2

1

2

极限不存在，则积分发散. (2)

x 2+y 2≤a 2

⎰⎰

a 2-x 2-y 2d σ

解

f (x , y ) 是D

上的半球面，由I =σ的几何意义知I =V

D

半球

2

=πa 3 3

(3)

⎰⎰yd σ ，D 由 x +y =1, x -y =1, x =0 的围成。

D

D

解 关于x 轴对称，且f (x , y ) =y 是关于y 的奇函数， 由I 几何意义知，⇒ ⎰⎰y d σ=0。

4．判别级数件收敛?

a n

(-1) (1-cos ) （常数a >0）的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条∑n n =1

∞

解：由(-1) (1-cos ) =1-cos

n

a

n a

，而 n

1-cos lim

n →∞

a a a

2sin 22() 22

=lim =lim =a ≠0，

n →∞n →∞1112

n 2n 2n 2

∞

a 1

由正项级数的比较判别法知，∑(1-cos ) 与∑2同时敛散.

n n =1n =1n ∞

1a

而∑2收敛，故∑(1-cos ) 收敛，从而原级数绝对收敛.

n n =1n n =1

∞

∞

4．判别级数

∑(-1)

n =2

n -1

∞

n

1

的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? ln n

解：记u n =(-1)

∞

1∆1

=v n . ，则u n ≥

n +1ln(n +1)

∞∞∞

1

显见∑去掉首项后所得级数∑v n 仍是发散的，由比较法知∑u n 发散，从而∑u n 发

n =1n =2n =1n =1n

∞

∞

1n 1是Leibniz 型级数，它收敛. 即∑(-1) 收敛，从而原

ln n ln(n +1) n =2

散. 又显见

∑(-1)

n =1

n -1

级数条件收敛.

x n

4．求幂级数∑在收敛区间上的和函数S (x ) ：

n (n +1) n =1

∞

解：ρ=lim

a n +1n (n +1) =lim =1，所以R =1.

n →∞a n →∞(n +1)(n +2) n

∞

(±1) n

又当x =±1时，级数成为∑，都收敛，故级数的收敛域为[-1, 1].

n (n +1) n =1x n

设级数的和函数为S (x ) ，即S (x ) =∑.

n =1n (n +1)

∞

x n +1

再令f (x ) =xS (x ) =∑，

n (n +1) n =1

∞

∞

1x n n -1

逐项微分得，f '(x ) =∑，f ''(x ) =∑x ， =

1-x n =1n =1n

∞

⎰

x

f ''(x ) dx =⎰

1

dx =-ln(1-x ) ， 01-x

x

f '(x ) -f '(0) =f '(x ) =-ln(1-x ), f '(0) =0，

⎰

x

f '(x ) dx =⎰-ln(1-x ) dx =-x ln(1-x ) 0-⎰

x

x

x

dx 01-x

x

=-x ln(1-x ) +x +ln(1-x ) =(1-x ) ln(1-x ) +x ， 1-x ) ，又显然有S (1) =1，故 故f (x ) =x +(1-x ) ln(

⎧1-x

⎪1+x ln(1-x ), x ≠0, 1, ⎪

S (x ) =⎨0, x =0,

⎪1, x =1. ⎪⎩

5．求解微分方程

2

(1) 2x -y dx +ydy =0的所有解.

解 原方程可化为

ydy -y 2

222

（当y ≠1），两边积分得--y =-x +c ，即 =-2xdx ，

x 2--y 2=c 为通解。当y 2=1时，即y =±1，显然满足原方程，所以原方程的全部

22

解为x --y =c 及y =±1。

(2) x y '-y =x 2-y 2;

2

y y ⎛y ⎫

解 当x >0时，原方程可化为y '-=1- ⎪，令=u ，得y =xu ，原方程化为

x x ⎝x ⎭

x u '=-u 2，解之得arcsin u =ln x +c ；

y ⎛y ⎫

当x

x ⎝x ⎭

2

y ⎧ln x +c x >0;

合上述，有arcsin =⎨。

-ln x +c x

(3) y '+y cos x =

1

sin 2x ; 2

-cos xdx ⎡1⎰cos xdx dx +c ⎤=sin x -1+ce -sin x 。 解 由公式得 y =e ⎰sin 2xe ⎢⎥

⎰⎣2

⎦

三、求解下列各题

1． 计算下列行列式：

123456789，

（.2）

123

1

2

3

456=0-3-6=07890-6-12解：

1

30

（3）0

20400-105

0031

解：

D 4=

12-13

. =10⨯(-16) =-1603451

⎡12⎤⎡30⎤

3．设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中A =⎢⎥，B =⎢02⎥ , 求X ．

-10⎣⎦⎣⎦

解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为

⎡10⎡1210⎤⎡1210⎤

[A I ]=⎢⎥→⎢0211⎥→⎢01-1001⎢⎣⎦⎣⎦⎣0

-1⎤⎥ ⎥⎦

⎡0

所以 A =⎢⎢⎣

-1-1⎤

⎥ ⎥⎦

-1⎤⎡30⎤⎡0-2⎤

⎥ ⎥⋅⎢02⎥=⎢ 1⎥⎦⎢⎥⎦⎣⎣⎦

⎡0

且 X =A B =⎢⎢⎣-1

解法二： 因为 [A

⎡1230⎤

B ]=⎢⎥

⎣-1002⎦

⎡100-2⎤⎡1230⎤

→⎢⎥ ⎥→⎢0110232⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎡0-2⎤ 所以 X =⎢⎥

1⎢⎥⎣⎦

4． 设矩阵

⎡10-1⎤⎢⎥ A =-314⎢⎥⎢⎣100⎥⎦⎡1⎤

⎥

B =⎢5⎢⎥

⎢⎣-4⎥⎦

试计算A -1B ．

⎡10-1100⎤

⎢⎥解 因为 [A I ]=-314010 ⎢⎥⎢⎣100001⎥⎦

⎡10-1⎢ →011⎢⎢⎣001

00⎤⎡100

⎢

310⎥→⎢010⎥

⎢-101⎥⎦⎣0011

1⎤

⎥

41-1⎥ -101⎥⎦0

所以

⎡001⎤

⎥

A -1=⎢41-1⎢⎥

⎢⎣-101⎥⎦

⎡001⎤⎡1⎤⎡-4⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-1

且 A B =41-1⋅5=13

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣-101⎥⎦⎢⎣-4⎥⎦⎢⎣-5⎥⎦

2．设P (A )=

11, P (B )=. 32

(1)若AB =Φ，求P BA ； (2) 若A ⊂B ，求P BA ；

(3) 若P (AB )=

()

()

1

，求P BA . 8

()

解： (1) P (B )=P (B ) –P (AB ) 因为A ，B 互斥，故P (AB )=0，而由已知P (B )=

∴ P (B )=P (B )=(2) ∵ P (A )=

1 2

1 2

11，由A ⊂B 知：P (AB )=P (A )= 33

111

∴ P (B )=P (B ) –P (AB )=–=

236

1113

(3) P (AB )= ∴P (B )=P (B ) –P (AB )=–=

8288

3．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品

分别有20件，12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的 零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率.

解：设B 1、B 2、B 3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A 1、A 2分别表

示第一、二次选出的为一等品，依题意，有

P (A 1)=P (B 1) P (A 1|B 1)+P (B 2) P (A 1|B 2)+P (B 3) P (A 1|B 3) =

1201121247⋅+⋅+⋅==0.467 [1**********]

P (A 1A 2)=

[**************]

P (B ) P (A A |B ) =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.220 ∑i 12i

[**************]i =1

3