§8 最小二乘估计

§8 最小二乘估计

主编：李永强 李姣 审核：张晓铜

一．教学目标：

1知识目标：1、掌握最小二乘法的思想;

2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程

2. 能力目标：经历用不同的估计方法来描述两变量线性相关的过程，体会两个变量间依赖

关系的一般方法

3. 情感态度价值观目标：通过利用散点图直观认识变量间的相关关系，培养学生用普遍联

系的观点思考和解决生活中的数学现象，进一步培养学生的创新意识和创新能力。

二．重难点：重点：利用最小二乘法求线性回归方程；难点：最小二乘法的思想 三．学习新知:

（一）相关知识点：

1、相关关系：在我们现实生活中，有些变量之间在宏观上存在关系，但无须或不能用确定的函数关系来表达，散点图中的点都落在某一函数图像附近，则说明变量之间具有相关关系. 2、散点图：考虑两个变量之间的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，通常将变量、所对应的点（样本点）在描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，称这个图为变量之间的散点图.

3、曲线拟合：如果变量之间存在着某种关系，散点图有趋势，这种趋势通常可以用 来近似，这样近似的称为曲线拟合.

4、线性相关：若两个变量x,y 的散点图中，所有点看上去都在附近波动，则称此相关是线性相关.

5、非线性相关：若所有的点看上去都在某条曲线（不是一条直线）附近波动，称此相关是非线性相关.

6、不相关：如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间不相关.

7、最小二乘法：若变量x,y 线性相关，求一条直线y =a +bx 保证这条直线与散点图中的所有点都

8、假设一条直线的方程y=kx+b,任意给定一个样本点(x i , y i ) ，用来刻画这个样本点与这条直线之间的距离，用它表示二者之间的接近程度.

9、如果n 个点(x 1, y 1), (x 2, y 2), ⋅⋅⋅, (x n , y n ) 可以用[y 1-(a +bx 1)]2+[y 2-(a +bx 2)]2+

⋅⋅⋅+[y n -(a +bx n )]2来刻画这些点与直线 的接近程度. 10、如果=

x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n y +y 2+⋅⋅⋅y n

, =1则可以求得：

n n

b == ,a =;

这样得到的直线方程称为线性回归方程，a , b 是线性回归系数. （二）例题评析

1、下列有关线性回归的说法，不正确的是 （）

A ．一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系

B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；

C ．回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的线性关系； D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程；

2、废品率x %和每吨生铁成本y (元) 之间的线性回归方程为y ＝256＋2x ，这表明（） A ．废品率每增加1%，成本增加256元；B ．废品率每增加1%，成本增加2元；

C ．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加2元；D ．废品率不变，生铁成本为256元； 3、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心是(4，5) ，则回归直线的方程是（） A ．y ＝4＋1.23x ； B ．y ＝5＋1.23x ；C ．y ＝0.08＋1.23x ； D ．y ＝1.23＋0.08x ；

4、设有一个线性回归方程y ＝4－3x ，当变量x 增加1个单位时，y 平均________个单位． 5、工人月工资y (元) 依据劳动生产率x (千元) 变化的线性回归方程为y ＝50＋80x ，当劳动生产率

提高1 000元时，工资平均提高________元．

6、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表（用计算器直接求回归直线）：

（1）画散点图；

（2）从散点图中发现温度与热饮销售杯数之 间关系的一般规律；

（3）求回归方程；

（4）按照回归方程，计算温度为10度时销售杯数。为什么与表中不同？

（5）如果某天的气温是－5℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数；

（三）课堂练习

1. 已知x ，y 之间的一组数据如下表，则y 与x 的线性回归方程y=a+bx必经过点

A. （2，2） B. （1.5，0）C. （1，2）D. （1.5，4）

2. 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：

（１）画出销售额和利润额的散点图；

（２）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程。

3、假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：

若由资料y 与x 呈线性相关关系，试求： （1）线性回归方程y =a +bx 的回归系数

（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

（四）课堂小结

_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________四作业布置：另附页 五．教学反思：