非线性薛定谔方程的五种差分格式
第27卷第3期
2006年6月暨南大学学报(自然科学版)JournalofJinaIqUniversity(NaturalScience)V01.27No3Jun.2006
非线性薛定谔方程的五种差分格式
王秀凤,陈辉,范德辉,张传林
(暨南大学数学系,广东广州510632)
[摘要]给出了非线性薛定谔方程的5种差分格式.并且分析了这些格式的局部截断误差以及
稳定性和收敛性.并且用数值实验比较了它们的截断误差和运算速度,
[关键词]薛定谔方程;数值稳定性;局部截断误差;“冻结”系数法
[中图分类号]00241.6[文献标识码]A[文章编号]1000—9965【2006)03—0341—09
FivedifferenceschemesofnonlinearSchrl}idingerequation
WANGXiu—feng,CHENHui,FANDe—hui,ZHANGChuan—lin
(DepartmentofMathematics,Jinanurllversity,Guanguhou510632,China)
[Abstract]Five
presentedkindsofdifferenceformatsofnonlinearSchr6dingerequationhavebeenoflocaltruncationerror,stability
errorTheanalysisandconvergenceoftheseschemeshavebeengained.Theirtruncmion
withnumericalexperiments.andspeedshavealsobeencompared
[Keywords]Sehrdinger
gardingcoefficientsasequationmethodnumericalstability;localtronea“ollerror;re一eonst
薛定谔波动方程在量子力学中的地位,就像牛顿三定律之于经典力学、麦克斯韦方程之于电磁学一样,是最基本的方程,奠定了近代量子力学的基础,揭示了微观世界中物质运动的基本规律”1.薛定谔方程是一类非线性抛物型偏微分方程,对于薛定谔波动方程的解析解,尤其是定态薛定谔方程(即与时间无关的情况)量子力学中已经有几种比较经典的解法.本文给出了5种逼近非线性薛定谔方程的有限差分格式.对它们的截断误差阶进行了分析和比较,利用“冻结”系数法”o分析了它们的稳定性,并设计数值实验对几种差分格式的运算速度和精度进行了分析和比较.
1非线性薛定谔方程的5种差分格式
^12
薛定谔方程:i业a=警+2"g㈨是非线性的抛物型偏微分方程,为了构造薛定谔方程的t
[收稿日期]2005—09—19vvdz
(基金项目]广东省科技计划莺点项日(004A1030300)与教育部归国基金项目[作者简介3工秀最(1980一),女,顽上研究生,研究方向:数值与应用软件.通讯联系^:张传麟
暨南大学学报(自然科学版)2006每
差分逼近,苜先用网联平竹直线
x=x.=jh,jeZ,
f=£。=nf,n=0,l,2‘‘。,
剖分(m,t)空间中的上半平面,在网格节点(止,nf)处分别用不同的差商近似薛定谔方程中的微商,得到如下5种差分格式.
(1)差分格式(a)i掣=警+z㈣2彭
(2)差分格式(b)i蓝≯:掣2h+∽-)2∥+㈣2霄
‘‘V1’o,17V引o,17
(3)差分格式(C)
fc喾/12:尊h+z㈦2酊I‘一
f27。删J』Ⅵ
li雩≠=学+z妒)2∥
(4)差分格式(d)
i芷2≠=鳖h2+z㈣i。一
f1‘咿J2疗o’
(5)差分格式(e)i(土12蓝塑2r、+塑12竖之≯=+土12蓝丝2v2f)=4去h(疰酊“+26豺+程酊。)+,‘、……~’,
号”t)2∥+㈣2够+丢∽,)2∥
2薛定谔方程的5种差分格式的局部截断误差
2.1差分格式(a)中将酊“、q;-,、吐。均在(叶,‘。)处做泰勒展开,
得到i年=i㈡?+0(r)
尊h=(磬)j圳鳓2、融2,J、’
:㈦。酊=:0硝酊+o
所以此格式关于f一阶相容关于h为二阶相容的,即其截断误差阶为0(f+h2)
2.2差分格式(b)中,将订“、酊~、吐。、酊+,、钟_、∥?均在(≈,f。n)处做泰勒展开得到i掣=i(警)■圳弘)
、
2/I+j㈤
第3期王秀风,等:非线性薛定谔方程的五种差分格式343
学=(妻)◆㈣=(雾)j““+手(毫)一啪w,㈩警=(妻r+oc昀=(嘉r-王f2、立\ax2a')4删铲“)
警+蹦-U=z(瓤“+0(…z)
0aP+1)2茚¨+0aI?)2酊=20,P+,儿)2酊+,几+o(。:)
之!差分格式(c)的两个式子相加就得到差分格式(b),即差分格式(。)是差分格式(b)的一?变形,它凹的阶段误差阶相同,所以差分格式(c)关于f、^均为二阶相容的,即其截断误差阶为0(f2+h。).
24差分格式(d)中,将酊“、筇~、吐,、吐,均在(誓,f。)处做泰勒展开,
得到
i幺乒=i(鲁)?圳鳓
等=(窘)j州㈣
2㈣2够=2㈨2够+o
所以此格式关于f、h均为二阶相容的,即其截断误差阶为D(口+h2).
2・5差分格式(e)中,将3层上的9个节点均在(誓,f。)处做泰勒展开,有
掣=(亟at)o∽,,2f乌乒=(州Ot/+D(哟,2fI’。o。“\/..,~”“㈣LjJ
鼍≯=(黔+0(q.2r\dfJ~,’”、。7‘(4)~4J
(警):2(塞)j叫窘)?州哟
(謇):。(鲁)j一一(雾)l圳确
式(3)+式(4)得
盟二盛■些二型
2r’
2f。(筑+(害):州纠=2(謇)l州^2)+D(列
所以
暨南大学学报(自然科学版)2006年
那么2r122V122V12、Ot,,12、Ot,)+()(r:)=’(署)j删㈣删㈣,
\i(—1L21:芏≠+!I壁21:笠217+』12~!:芏j;丝)=(丑Ot)?+o(^2)+。(弘).2f2r,、,.
筝=(掰1+o(㈣=㈤川k立Ox20t\)■n㈣,
学=(掰1圳2,=(嘉)一\立Ox20t、l『“)(“㈣
等+筝=z(嘉)?删水埘卜
所以(5)㈤
矿1z6.2矿n】+26:q;谯订_1)=(雾)?+0(“哟-
3薛定谔方程的5种差分格式的稳定性和收敛性
薛定谔方程是一类非线性抛物型偏微分方程,非线性抛物型方程的差分格式的稳定性研究是很复杂的,一般可以采用局部线性化稳定性分析方法.将非线性差分格式中的系数加以“冻结”,即当作常数,然后用分析常系数差分格式稳定性的方法进行考察,刘于薛定谔方程,将q前的系数Id2看作常数,采用Fourier方法来分析这几种差分格式的稳定性.
3.1差分格式(a)的增长因子为G(JB,。):—2r一。。。(|B^)+!::!掣其中,:r/^:
r>0.r>0因为
所以
}c(/3,r)I=k/1+【4rsill2(卢^/2)+2r(14;2]2,l
显然这种二层显式差分格式不满足YonNeumann条件,是恒不稳定的.由Lax一李荣华等价定理此格式也是不收敛的.
3.2差分格式(b)(c—N格式)将s?=器e恸带人c—N格式中,其增长因子为
第3期王秀风,等:非线性薛定谔方程的五种差分格式345
c(fl,f)l叫2rsin2(fib/2)一r㈣‘]
令
m=2rsin2(flh/2)一‘㈦?)
因为我们用“冻结”系数法进行稳定性分析,即把圹看作常数,所以09旷1)‘=㈦?)‘
所州阶):娅1-mi则lc(肌)l:止芝型=1,B[1.tiVOli式恒满足v0。Neu。。ⅡⅡ条件,所以此格式是绝对稳定的.又由上一部分的分析知差分格式(b)关于“h都是二阶相容的,则由Lax一李荣华等价定理,此格式也是收敛的.
3.3差分格式(c)(交替显隐格式),
分别算出差分格式(d)ee两个式子的增长因子
器“={1叫2,sin2(flh/2)一f㈥2鹏
扣再面右i面丽r”2
c(fi,r)2—1l+i【2rsin2(flh/2)一f09I?)‘】
i—l2i2rsin面(flh/2确n+l)一f㈦
2lI显然它是差分格式(c)的增长因子,lG(卢,f)l
Lax一李荣华等价定理此格式也是收敛的.1・即此格式恒满足VonNeumann条件,所以此格式是绝对稳定的.又由上一部分的分析知差分格式(b)关于f、h都是二阶相容的,则由
3.4差分格式(d)(三层古典显式差分格式)又可以写为
{酊“=孚(蝣,一2酊+吐,)+竿㈣?)2酊+艿硝”=酊令醇=(篡)
则原格式可写为
∥:f亭。k峨,吖半+掣,k赈差删足上述腻100jlloJ
将。等幽代入述格式碍增阵为
似雕砷
艇《二肚卧一:n一彪一:耵一玎一1O
暨南大学学报(自然科学版)2006年
由于G(序,f)的特征值是
五(C(口,f))=2
2
设
m=8rsin2(卢h/2)
z(G(卢,r)):堕三掣2
当
4一m2≥0即一2≤m≤2
得到
…舻,,i:巫莩互2:,
那么,当
一2≤m≤2即一2≤8rsin2(肪/2)+4f0qf一‘≤2
可以得到
8rsin2(flh/2)≤2+4f㈤‘
因为
min(4r09I;)。)2
那么得到
0<r≤1/4o
所以当0<r。<l/4时,此格式是稳定的.又当4一m2≤o时,此格式不稳定.所以当0<r< ̄=I/4时,差分格式(d)满足vonNeumann条件,是稳定的.在前一部分已经得到此格式关于f、h是二阶相容的,当0<r≤1/4时,则由Lax一李荣华等价定理此格式也是收敛的.
3.5差分格式(e)(三层隐式格式)又可以写为
啪1+,oqy÷l+刑一T6,htq.,1—2酊~剁)一孚∽)2∥=丁12rl,'可+
半《g∽2酊+聘。+lop;+礞,+了6rIPJ。一舛+薛。)+T12r州7
硝“=酊令7')2群
o、
第3期王秀凤,等:非线性薛定谔方程的五种差分格式347
蟛2㈢
则原格式可写为
吣+l—l—呐一曲一:甜,“¨
OO
2
+f一拈O卜,卜、尸兰;l+
“^№r
一;,。l、;r+0
则误差s也满足上述格式,将辞=鲆e脚代人上述格式,得增长矩阵为
G(口,f)=
一?sin2(/3h/2)+半㈣2lo+2c。s(研)+24irsin2(/甄/2)+T12"r∽)2
lo+2c。s(胁)+24irsin2(flh/2)一了12r∽,"+,)210+2c。s(肚)+墩iin2(舭卜字∽,)2
lO
M=29irsin2(/3h/2)一半㈣2Ⅳ=lo+2c。s(肚)
因为我们用“冻结”系数法进行稳定性分析,即把lql“看作常数,
所以
∽,)2=㈣2=㈤2=吣t)
所以
2MN一丝r一2M
G(口,c)=Ⅳ+丝Ⅳ+丝=l艏+M=丝!盟、掰+Ml
L10J
1O
当^≠o时P(G(卢,f))=|z(G(口,f))l=l
即此格式恒满足VOIINeumann条件,所以此格式是绝对稳定的.又由上一部分的分析知差分格式(b)关于f是二阶相容的,关于h为四阶相容的,则由Lax一李荣华等价定理此格式也是收敛的.
4数值实验
4.J取薛定谔方程的解析解为
q(z,£)=2叩e一“2“一4‘产一12’‘+‘如+丌/2’1×sech(217z一8f叼t—zo),~∞<Ⅲ<∞
其中
。o=咖o=0,f=l,卟=0.5
取时间步长为0.01,空间步长为0.2,即r=0.25时,画出由差分格式(b)、(c)、(d)、(e)得到
暨南大学学报(自然科学版)2006芷
的解的绝对值与原方程的解析解的绝对值得误差的绝对值的图像:41.如图1~8所示当r=0.275时,得到图9
4.2可以通过数值实验得到4种差分格式的运行时问.用MATL~B在PentiumPC上实现4种差分格式引,当时间步长为0Ol,空间步长为0.2时,得到表1所示时间.
图1由差分格式(b)得到的解的绝对值与解析解
的绝对值的误差的绝对值图2由差分格式(c)得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图3由差分格式(d)得到的解的绝对值与解析解
的绝对值的误差的绝对值图4由差分格式(e)得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
圈5从图像上方看差分格式(b)得到的解的绝
对值与解析解的绝对值的误差的绝对值图6从图像上方看差分格式(C)得到的艇的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图7从图像上方看差分格式(d)得到的解的绝
对值与解析解的绝对值的误差的绝对值图8从图像上方看差分格式(e)得到的解的绝
对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
第3期王秀风,等:菲线洼薛定谔方程的五种差分格式349
表1四种差分格式所用时间对比
差分格式运行时间/s
差分格式(h)7.40
差分格式(c)2.30
0.80
图9…0差分格式(d)
275时.由差分格式(d)得劲的解的绝差分格式(e)15.80
对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
从数值实验可以看到,当改变差分格式(b)、(c)、(e)的时间步长和空间步长时,它们的图间步长和空间步长时,它的图像显然不是解析解图像的一个很好的近似,这可以由图9看出,
由图1—4可知,在4种差分格式中,差分格式(e)的误差是最小的.由图像可以看出差分格式(b)和差分格式(c)的误差是相同的,而从表1可以看出差分格式(c)的运行时间要比(b)/j,得多,这正是差分格式(c)比(b)好的地方,当然最快的差分格式是(d),但它不是绝对的优点和缺陷.
从图5~8可以看到它们的图像相对于解析解都发生了偏移.这是这些差分格式存在的
(参考文献】
H,CHRISTIANR.AnoteOnthesymplecfieintegrationoftheItollllnearSchr№lingerequation[J].
.IoumalofComputaionalElectronics,2004,3:33—44[责任编辑:王蔚盎]
5结论像仍然是解析解的图像的很好的近似,所以差分格式(b)、(e)、(e)是绝对稳定的.因此用“冻结”系数法来分析非线性偏微分方程的稳定性是可行的.如果r>1/4,改变差分格式(d)的时所以正如我们在第2部分分析的结果,只有当0(r≤1/4时差分格式(d)才是稳定的.稳定的.而最精确的是(e),但它的运行速度最慢,可由表1看出.所以每种差分格式都有它最大的问题,所以这些差分格式都不是求解薛定谔方程的最好的差分格式,我们要在后续的研究中改进它们参考文献[5]中给出了一种辛算法"j,那种算法是能量守恒的,我们可以考虑如何改进差分格式(b)、(c)、(d)、(e),使之不发生偏移,从而得到更好的求解薛定谔方程的数值方法.【1]高政祥原子和亚原子物理学【M].北京:北京大学出版社,2001:27—30.[2]徐长发.实用偏微分方程数值解法[M].武汉:华中理工大学出版社.1990[3]余德浩,汤华中.微分方程数值解法[M].北京:北京科学出版社,2003:176—177,【4]胡蘸剑.丁晓东,孙晓君数学实验使用MATLAB【M]上海:上海科学技术出版社,2001:4—5[5]CLEMENS
非线性薛定谔方程的五种差分格式
作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年,卷(期):王秀凤, 陈辉, 范德辉, 张传林, WANG Xiu-feng, CHEN Hui, FAN De-hui, ZHANGChuan-lin暨南大学数学系,广东,广州,510632暨南大学学报(自然科学与医学版)JOURNAL OF JINAN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE & MEDICINE EDITION)2006,27(3)
参考文献(5条)
1.CLEMENS H;CHRISTIAN R A note on the symplectic integration of the nonlinear Schrodinger equation2004(03)
2.胡良剑;丁晓东;孙晓君 数学实验使用MATLAB 2001
3.余德浩;汤华中 微分方程数值解法 2003
4.徐长发 实用偏微分方程数值解法 1990
5.高政祥 原子和亚原子物理学 2001
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