勾股定理单元复习教案
年级 数学 科辅导讲义(第 讲)
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勾股定理
知识梳理
1.勾股定理:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边为a、 b,斜边为c,则a²+b²=c²。
2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。
3.满足a²+b²=c²的三个正整数,称为勾股数。若a,b,c是一组勾股数,则ak,bk,ck(k为正整数)也必然是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9,40,41等。
4.勾股定理的应用:
①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离; ②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。 5.直角三角形的判别:
①定义,判断一个三角形中有一个角是直角;
②根据勾股定理的逆定理,三角形一边的平方等于另外两边的平方和,则该三角形是直角三角形。 6.拓展:特殊角的直角三角形相关性质定理。 精讲点拨
考点1. 勾股定理
【例1】在Rt△ABC中,已知两边长为3、4,则第三边的长为 变式1 在Rt△ABC中,已知两边长为5、12,则第三边的长为 变式2 等边三角形的边长为6,则它的高是________
变式3 在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,
(1)已知c=4,b=3,求a; (2)若a:b=3:4,c=10cm,求a、b。
考点2. 勾股定理的证明
【例2】如图:由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形,求证:abc
变式 如图:由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形,求证:abc
考点3 勾股定理的应用
【例3】 如图,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处,以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动,距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域. (1)A市是否会受到台风的影响?写出你的结论并给予说明; (2)如果A市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长?
变式1 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩子头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?
2
2
2
2
2
2
变式2 一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时的AO距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底端B也外移4m吗?
考点4. 直角三角形的判定
【例4】三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )
222
A.a:b:c=8∶16∶17 B. a-b=c
2
C.a=(b+c)(b-c) D. a:b:c =13∶5∶12 变式1 三角形的三边长为(ab)c2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
变式2 已知,△ABC中,AB17cm,BC16cm,BC边上的中线AD15cm,试说明△ABC
A
22
是等腰三角形.
B
D
C
变式3 如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=求证:AF⊥EF.
1
BC, 4
考点5. 勾股定理及其逆定理相关面积计算
【例5】一个零件的形状如图,已知∠A=90,按规定这个零件中∠DBC应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD = 4,AB = 3, BC = 12 , DC=13,问这个零件是否符合要求,并求四边形ABCD的面积.
变式1 如图示,有块绿地ABCD,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,∠ADC=90°,求这块绿地的面积。
变式2 求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量 ∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元,问学校需要投 入多少资金买草皮?
考点6. 折叠问题
【例6】折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的F点处,若AB=8cm,BC=10cm。 求EC的长. = 4.00 厘米
变式1 如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,恰与AE重合,则CD等于( ) A.2㎝
B.3㎝
C.4㎝
D.5㎝
B
CE
A
D
m BF = 2.4 厘
变式2 如图,在矩形ABCD中,AB6,将矩形ABCD折叠,使点B与点D重合,C落在C处,若
AE:BE1:2,则折痕EF的长为。
变式1 图 变式2 图
章节练习
一、选择题
1. 下列各组能组成直角三角形的是 ( )
A. 4、5、6 B. 2、3、4 C. 11、12、13 D. 8、15、17 2. 若等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则底边上的高为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3. 如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( ) A.90° B.60° C.45° D.30°
4. 直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米,则斜边上的高是( )
A. 6厘米 B. 8厘米 C.
A
B
C
6080
厘米 D. 厘米
1313
D. 25或7
5. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) 3题 图
A. 5 二、填空题
6. 在△ABC中,∠C=90°,若 c=17,b=15,则a= .
7. 如图,中间三角形是直角三角形,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母A所代表的正方形面积是
8. 有以下几组数据 ①3、4、5 ;②17、15、8;③10、6、14;④12、5、13;⑤300、160、340;⑥0.3, 0.4,0.5.其中可以构成勾股数有
9. 如图某楼梯的长为5米,高3,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米。
10. 在长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE= cm.
B. 25
C. 7
5米
3米
′
F
B C
9题 图 10题 图
三、解答题:
11. 一同学先向东直线走了150米,由于其它原因,他接着向南直线走了80米,这时该同学距离他出发的地点有多远?(要求作图分析)
12. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处,过了2秒后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50米,这辆小汽车超速了吗?
17. 一块地如图所示,已知AB=4米,BC=3米,DC=12米,AD=13米,∠B=90°,求这块地的面积。(提示:做辅助线AC)
A
C