中点四边形2
一、 探究目的
把四边形四边中点连接的的四边形是什么形状?
二、 探究方法
实验法、计算法
三、 探究内容
1. 首先明确三角形中位线性质
如图,D.E 分别为AB.CD 边中点
此时DE 为△ABC 中位线。
性质:DE=0.5BC,DE ∥BC
证明:过C 作AB 的平行线交DE 的延长线于F 点。
∵CF ∥AD
∴∠A=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF
∴△ADE ≌△CFE
∴DE=EF=1/2DF、AD=CF
∵AD=BD
∴BD=CF
∴BCFD 是平行四边形
∴DF ∥BC 且DF=BC
∴DE ∥BC 且DE =1/2BC
∴三角形的中位线定理成立.
2.证明中点四边形性质:总为平行四边形。 如图有一四边形ABCD ,AB 中点为E,BC 中点F ,CD 中点为G ,AD 中点H ,连接EFGH ,则EFGH 为中点四边形,连接AC
∵△ABC 中,E ,F 是AB 和BC 中点
∴EF 是△ABC 的中位线
∴EF ∥AC ,EF =1/2AC
同理HG ∥AC ,HG =1/2AC
∴EF ∥HG ,EF =HG
∴四边形EHGF 为平行四边形
∴任意四边形的中点四边形的形状都是平行四边形
3.证明中点四边形性质:
中点四边形的面积为原四边形面积的一半。
如图四边形ABCD ,AB ,BC ,CD ,DA 的中点分别是E ,F ,G ,H 连接四边形的两条对角线AC ,BD 交与点O
连接EO ,FO ,GO ,HO
在三角形ABD 中EH 是中位线,与AC 交与点P
所以 EH//BD
所以 AP/PO=AE/EB=1,即AP=PO
在三角形AEO 中 S 三角形EPO=1/2S三角形AEO
四、 拓展提高
●平行四边形的中点四边形是平行四边形;
证明:连接AC
∵E 、F 是AB 、BC 边中点
∴EF ∥AC 且EF =1/2AC
同理:HG ∥AC 且HG =1/2AC
∴EF ∥HG 且EF =HG
∴四边形EFGH 为平行四边形。
矩形的中点四边形是 菱形 ;
证明:连接AC,BD
∵E 、F 是AB 、BC 边中点
∴EF ∥AC 且EF =1/2AC
同理:HG ∥AC 且HG =1/2AC
EH ∥BD 且EH =1/2BD
FG ∥BD 且FG =1/2BD
∵四边形ABCD 是矩形
∴AC=BD
∴EF=HG=FH=FG
∴四边形EFGH 为菱形。
●菱形的中点四边形是矩
证明:连接AC,BD
∵E 、F 是AB 、BC 边中点
∴EF ∥AC 且EF =1/2
AC 形;
同理:HG ∥AC 且HG =1/2AC
∵四边形ABCD 是菱形
∴AC ⊥BD
∴EF ⊥HG
∴四边形EFGH 为长方形
●正方形的中点四边形是正方形
;
证明:∵正方形是矩形和菱形的综合,它同时具有菱形和矩形的特点 ∴正方形的中点四边形是正方形
●梯形的中点四边形是平行四边形 ; 证明:连接AC
∵△
ABC 中,E ,F 是AB 和BC 中点
∴EF 是△ABC 的中位线
∴EF ∥AC ,EF =1/2AC
同理HG ∥AC ,HG =1/2AC
∴EF ∥HG ,EF =HG
∴四边形EFGH 为平行四边形
●直角梯形的中点四边形是平行四边形; 证明:连接AC
∵△ABC 中,E ,F 是AB 和BC 中点
∴EF 是△ABC 的中位线
∴EF ∥AC ,EF =1/2AC
同理HG ∥AC ,HG =1/2AC
∴EF ∥HG ,EF =HG
∴四边形EFGH 为平行四边形
●等腰梯形的中点四边形是菱形。
连接AC, BD
∵E ,F 是AB 和BC 中点
∴EF ∥AC 且EF =1/2AC
同理:HG ∥AC 且HG =1/2AC
EH ∥BD 且EH =1/2BD
FG ∥BD 且FG =1/2BD
∵ABCD 是等腰梯形
∴AC=BD
∴EF=HG=FH=FG
∴四边形EFGH 是菱形.
五、收获
1. 三角形的中位线定义和性质以及中点四边形的定义、性质和分类。
2. 本次数学论文在做的同时还增加了我的知识面,虽然我做的可能不是很好,但是我却是在用心去做,我应该在以后的学习中再不断提高,争取能写出更好的论文。