初一(上下册)数学资料培优汇总精华

第一讲 数系扩张--有理数（一）

一、【问题引入与归纳】

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成

m

（n ≠0, m , n 互质）。 n

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；

② 四则运算的封闭性（0不作除数）；

③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：

⎧a (a ≥0)

① |a |=⎨ ② 非负性 (|a |≥0, a 2≥0)

⎩-a (a ≤0)

③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：

|a ||b ||ab |+- 1、若ab 0, 则的值等于多少？ a b ab

2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方

3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求

200607

x 2-(a +b +cd ) x +(a +b ) +(-cd ) 20的值。

4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么|a -b |+|a +b |化简的结果等于（ A.2a B.-2a C.0 D.2b

5、已知(a -3) 2+|b -2|=0，求a b 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6

6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么

a -b b -c c -a

, , 中有几个负数？ b -c c -a a -b

7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a +b , a 的形式式，又可表示为

b

0，，b 的形式，求a 2006+b 2007。

a

8、 三个有理数a , b , c 的积为负数，和为正数，且

X =

a b c |ab ||bc ||ac |

则ax 3+bx 2+cx +1的值是多少？ +++++

|a ||b ||c |ab bc ac

9、若a , b , c 为整数，且|a -b |2007+|c -a |2007=1，试求|c -a |+|a -b |+|b -c |的值。 三、课堂备用练习题。

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+„+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+„+n(n+1)

[1**********]

-13 3、计算：+++++

2481632644、已知a , b 为非负整数，且满足|a -b |+ab =1，求a , b 的所有可能值。5、若三个有理数a , b , c 满足

|a ||b ||c ||abc |

++=1，求的值。 a b c abc

第二讲 数系扩张--有理数（二）

一、【能力训练点】：

1、绝对值的几何意义

① |a |=|a -0|表示数a 对应的点到原点的距离。 ② |a -b |表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：

1、 （1）若-2≤a ≤0，化简|a +2|+|a -2|

（2）若x 0，化简

2、设a 0，且x ≤

||x |-2x |

|x -3|-|x |

a

，试化简|x +1|-|x -2| |a |

3、a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

（1）|a +b |=|a |+|b |; （2）|ab |=|a ||b |; （3）|a -b |=|b -a |; （4）若|a |=b 则a =b （5）若|a | |b |，则a b （6）若a b ，则|a | |b |

4、若|x +5|+|x -2|=7，求x 的取值范围。

5、不相等的有理数a , b , c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果

|a -b |+|b -c |=|a -c |，那么B 点在A 、C 的什么位置？

6、设a b c d ，求|x -a |+|x -b |+|x -c |+|x -d |的最小值。

7、abcde 是一个五位数，a b c d e ，求|a -b |+|b -c |+|c -d |+|d -e |的最大值。

8、设a 1, a 2, a 3, , a 2006都是有理数，令M =(a 1+a 2+a 3+ +a 2005)

(a 2+a 3+a 4+ +a 2006) , N =(a 1+a 2+a 3+ +a 2006) (a 2+a 3+a 4+ +a 2005) , 试比较M 、N 的大小。

三、【课堂备用练习题】：

1、已知f (x ) =|x -1|+|x -2|+|x -3|+ +|x -2002|求f (x ) 的最小值。 2、若|a +b +1|与(a -b +1) 2互为相反数，求3a +2b -1的值。

|a ||b ||c |

++3、如果abc ≠0，求的值。 a b c

4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立？

（1）|(x -2) +(x -4) |=|x -2|+|x -4| 5、化简下式：|x -|x ||

x

2）|(7x +6)(3x -5) |=(7x +6)(3x -5) （

第三讲 数系扩张--有理数（三）

一、【能力训练点】：

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。

（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。

二、【典型例题解析】：

5⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛

1、计算：0.75+ -2⎪+(+0.125) + -12⎪+ -4⎪

7⎭⎝8⎭⎝4⎭⎝

2、计算：（1）、56+-90. 4. +)18. +-1(4(+)

（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25 （3）、（-4

2⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

）+ -3⎪+ +6⎪+ -2⎪ 3⎝3⎭⎝2⎭⎝4⎭

⎛2⎫⎛3⎫⎛2⎫

3、计算：① -3⎪- -2⎪- -1⎪-(+1.75)

⎝3⎭⎝4⎭⎝3⎭

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫② -1⎪+ -4⎪- -2⎪ ⎝2⎭⎝4⎭⎝3⎭

⎛7⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

4、 化简：计算：（1） -4⎪- -5⎪+ -4⎪- +3⎪

⎝8⎭⎝2⎭⎝4⎭⎝8⎭

⎡⎛3⎫⎛5⎫⎛1⎫2⎤

（2）3.75-⎢ -⎪- -⎪+ -⎪+4⎥-0.125

3⎦⎣⎝8⎭⎝6⎭⎝2⎭

⎡⎛3⎫⎛4⎫⎤

（3）0+1-⎢(-1)- -⎪-(+5)- -⎪⎥+-4

⎝7⎭⎝7⎭⎦⎣

⎛2⎫⎛3⎫⎛5⎫（4） -7⎪⨯ +1⎪÷ -3⎪

⎝3⎭⎝4⎭⎝6⎭

757

（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（-+）

9618

13242

5、计算： （1）(-2)+3⨯(-1)-(-1)（2）-11998-(1-0.5)⨯⨯⎡3-(-3)⎤（3）

⎦3⎣

1⎛2⎫⎛2⎫8⎛3⎫

÷-2-⨯-1-0.5÷2⨯ ⎪ ⎪ ⎪

552142⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3

⎧⎫34⎪⎛⎪⎡1⎛3⎫⎤⎫

6、计算：⎨1+⎢- -⎪⎥⨯(-2)⎬÷ -10--0.5⎪

4⎭⎪⎪⎣16⎝4⎭⎥⎦⎩⎢⎭⎝

134711133(-) ⨯[0.253+(-) 3]-(5-1.25-4) ÷[(0.45)2+(2) ]+(-1) 2002 7、计算：

[1**********]

：

第四讲 数系扩张--有理数（四）

一、【能力训练点】：

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。 3、巧算的一般性技巧：

① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：

1、计算：0.7⨯12

1111111111(1--- -) ⨯(+++ +) -(1--- -)

[***********]7

23797

-6.6⨯-2.2÷+0.7⨯+3.3÷ 1173118

、

1111

⨯(+++ +) 2341996

3、计算：①-22+(-2) 2-|3.14-π|-

π

(-1)

3

-|-3.14|

②5-3⨯{-2+4⨯[-3⨯(-2) 2-(-4) ÷(-1) 3]-7}

111

(x +y ) +(2x +y ) +(3x +y ) + (9x +y ) 并求当x =2, y =9时4、化简：

1⨯22⨯38⨯9

的值。

22+132+142+1n 2+1

+2+2+ +25、计算：S n =2 2-13-14-1n -11234n

6、比较S n =++++ +n 与2的大小。

[**************](-) ⨯[0.253+(-) 3]-(5-1.25-4) ÷[(0.45)2+(2) ]+(-1) 2002 7、计算：

[1**********]

a +2b a +2c c +2b

8、已知a 、b 是有理数，且a b ，含c =，x =，y =，请将

333a , b , c , x , y 按从小到大的顺序排列。

三、【备用练习题】：

1、计算（1）14+128+170+1130+1208 （2）21⨯3+23⨯5+ +2

99⨯101

2、计算：2007111111

2-20063+20052-20043+ 12-3

3、计算：(-112) ⨯(-113) ⨯(-114) ⨯ ⨯(-1

1

2006

) -1) +|b +2|=0，求代数式(b -a ) 2+(a +b ) 20064、如果(a 2

2ab +(a +b )

2005

的值。

5、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为a 2-b 2+

1cd

÷(1-2m +m 2

的值。) 2，求

第五讲代数式（一）

一、【能力训练点】：

（1）列代数式； （2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法）

二、【典型例题解析】：

1、用代数式表示：

（1）比x 与y 的和的平方小x 的数。 （2）比a 与b 的积的2倍大5的数。 （3）甲乙两数平方的和（差）。 （4）甲数与乙数的差的平方。

（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 （6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。 （7）比a 的平方的2倍小1的数。 （8）任意一个偶数（奇数） （9）能被5整除的数。 （10）任意一个三位数。 2、代数式的求值： （1）已知

2a -b 2(2a -b ) 3(a +b )

=5，求代数式+的值。 a +b a +b 2a -b

（2）已知x +2y 2+5的值是7，求代数式3x +6y 2+4的值。

6a +2b -c

的值(c ≠0)

a -4b +c

112a -2b -ab

（4）已知-=3，求的值。

b a a -b +2ab

（3）已知a =2b ；c =5a ，求

（5）已知：当x =1时，代数式Px 3+qx +1的值为2007，求当x =-1时，

代数式Px 3+qx +1的值。

（6）已知等式(2A -7B ) x +(3A -8B ) =8x +10对一切x 都成立，求A 、B

的值。

（7）已知(1+x ) 2(1-x ) =a +bx +cx 2+dx 3，求a +b +c +d 的值。 （8）当多项式m 2+m -1=0时，求多项式m 3+2m 2+2006的值。

3、找规律：

Ⅰ. （1）(1+2) 2-12=4(1+1) ； （2）(2+2) 2-22=4(2+1) （3）(3+2) 2-32=4(3+1) （4）(4+2) 2-42=4(4+1) 第N 个式子呢？ Ⅱ. 已知 2+

2233=22⨯； 3+=32⨯； 338844a a

4+=42⨯； 若10+=102⨯

1515b b

（a 、b 为正整数），求a +b =?

Ⅲ. 13=12;13+23=32;13+23+33=62; 13+23+33+43=102; 猜想： 13+23+33+43+ +n 3=?

三、【备用练习题】：

1、若(m +n ) 个人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要多少天？

2、已知代数式3y 2-2y +6的值为8，求代数式

32

y -y +1的值。 2

3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？

4、已知

a n +1=

11+a n

(n =

1, 2,

3求当

a 1=1时，

a 1a +2a 2 +a 3

+

a 2? 0a =

第六讲 代数式（二）

一、【能力训练点】：

（1）同类项的合并法则； （2）代数式的整体代入求值。

二、【典型例题解析】：

1、 已知多项式2y +5x 2-9xy 2+3x +3nxy 2-my +7经合并后，不含有y 的项，求2m +n 的值。

2、当50-(2a +3b ) 2达到最大值时，求1+4a 2-9b 2的值。

3、已知多项式2a 3-a 2+a -5与多项式N 的2倍之和是4a 3-2a 2+2a -4，求N ？

x y Z==4、若a , b , c 互异，且，求x +y +Z 的值。 a -b b -c c -a 5、已知m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2005的值。

6、已知m 2-mn =15, mn -n 2=-6，求3m 2-mn -2n 2的值。 7、已知a , b 均为正整数，且ab =1，求

a b +的值。 a +1b +1

8、求证111 1222 2等于两个连续自然数的积。

2006个1

2006个2

9、已知abc =1，求

a b c

++的值。

ab +a +1bc +b +1ac +c +1

10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？

三、【备用练习题】：

1、已知ab =1，比较M 、N 的大小。

M =

11a b

++， N =。 1+a 1+b 1+a 1+b

2、已知x 2-x -1=0，求x 3-2x +1的值。 3、已知

x y z ===K ，求K 的值。 y +z x +z x +y

4、a =355, b =444, c =533，比较a , b , c 的大小。 5、已知2a 2-3a -5=0，求4a 4-12a 3+9a 2-10的值。

第七讲 发现规律

一、【问题引入与归纳】

我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论

上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。 能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。

二、【典型例题解析】 1、 观察算式：

(1+3) ⨯2(1+5) ⨯3(1+7) ⨯4(1+9) ⨯5

,1+3+5=,1+3+5+7,1+3+5+7+9=, , 2222

按规律填空：1+3+5+„+99= ？，1+3+5+7+„

1+3=

+(2n -1) = ？

2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了多少块石子？

3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第n 个图案中有白色地面砖多少块？

4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第n 个图形中三角形的个数为多少？

5、 观察右图，回答下列问题：

（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？

（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n 层有多少个点？

（3）某一层上有77个点，这是第几层？

（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？

6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+„+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+„+100”表示为∑n ，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+„+99”（即从1

n =1100

开始的100以内的连续奇数的和）可表示为

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

∑(2n -1);

n =1

50

又如

“1+2+3+4+5+6+7+8+9+10”可表示为∑n ，同学们，通过以上

3n =1

10

材料的阅读，请解答下列问题：

（1）2+4+6+8+10+„+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；

（2）计算：∑(n 2-1) = （填写最后的计算结果）。

n =15

7、 观察下列各式，你会发现什么规律？

3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 „ „ 11×13=143，而143=122-1 „ „

将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。

8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+„+n3的分式，并算出13+23+33+„+1003的值。

三、【跟踪训练题】1

1、有一列数a 1, a 2, a 3, a 4 a n , 其中：a 1=6×2+1，a 2=6×3+2，a 3=6×4+3，a 4=6×5+4；„则第n 个数a n a n =2001时，n 。 2、将正偶数按下表排成5列

根据上面的规律，则2006应在

行 列。

3、已知一个数列2，5，9，14，20，x ，35„则x 的值应为：（ ） 4、在以下两个数串中：

1，3，5，7，„，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，„，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.336

5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：

6、给出下列算式：

32-12=8⨯152-32=8⨯2

72-52=8⨯3

92-72=8⨯4

观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：

7、通过计算探索规律：

152=225可写成100×1×（1+1）+25 252=625可写成100×2×（2+1）+25 352=1225可写成100×3×（3+1）+25 452=2025可写成100×4×（4+1）+25

„„„„

752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：1995= 8、已知12+22+32+ +n 2=

1

n (n +1)(2n +1)，计算： 6

112+122+132+„+192= ；

2

9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n 是自然数时，代数式n 2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n 2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？

第八讲 综合练习（一）

1、若

x -y x -y 5x +5y

的值。 =5，求+

x +y 2x +2y 3x -3y

2、已知|x +y -9|与(2x -y +3) 2互为相反数，求y x 。 3、已知|x -2|+x -2=0，求x 的范围。

|x -|x ||

的正负。 x

|abcd ||a ||b ||c ||d |

=-1，求+++5、若的值。 abcd a b c d

4、判断代数式

6

1+a (+

、

b

若

|a -

b 22+|，b -

)

(求=

b (

1

2)

111

1+a ) +b b +21+a 0(a +(

7

7、已知-2 x 3，化简|x +2|-|x -3|

8、已知a , b 互为相反数，c , d 互为倒数，m 的绝对值等于2，P 是数轴上的表示原点的数，求P 1000-cd +

a +b

+m 2的值。 abcd

9、问□中应填入什么数时，才能使|2006⨯ -2006|=2006 10、a , b , c 在数轴上的位置如图所示，

化简：|a +b |+|b -1|-|a -c |-|1-c |-|2b -3|

11、若a 0, b 0，求使|x -a |+|x -b |=|a -b |成立的x 的取值范围。

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

12、计算：

232-1

20⨯04-200420052⨯020050-20054

13、已知a =-，b =-

20⨯0+3200320042⨯020040+20043

2006⨯2006-2006c =-，求abc 。

2005⨯2005+2005999119

14、已知P =99, q =90，求P 、q 的大小关系。

99

，

15、有理数a , b , c 均不为0，且a +b +c =0。设x =|式x 19-99x +2008的值。

|a ||b ||c |

++|，求代数b +c c +a a +b

第九讲 一元一次方程（一）

一、知识点归纳：

1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。

3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。 二、典型例题解析： 1、解下列方程：（1（3）0.7+

2x -12x +13⎡2⎛x ⎫⎤

=-1 （2⎢ -1⎪-2⎥=x +2； 362⎣3⎝4⎭⎦

0.3x -0.21.5-5x = 0.20.5

b +3b +3

，为什么？反之，能否从x =得a -2a -2

2、 能否从(a -2) x =b +3；得到x =到(a -2) x =b +3，为什么？ 3、若关于x 的方程求m 、n 的值。

2kx +m x -nk

=2+，无论K 为何值时，它的解总是x =1，36

4、若(3x +1) 5=a 5x 5+a 4x 4+ +a 1x +a 0。求a 5-a 4+a 3-a 2+a 1-a 0的值。 11

5、已知x =1是方程mx =3x -的解，求代数式(m 2-7m +9) 2007的值。

226、关于x 的方程(2k -1) x =6的解是正整数，求整数K 的值。 7-3x 3x -55x -1

=4-6x 与方程2mx -=2-7、若方程2x -同解，求m 的值。 5468、关于x 的一元一次方程(m 2-1) x 2-(m +1) x +8=0求代数式

20m 0+(x

x -) (m +2的值。m

9、解方程

x x x x +++ +=2006 1⨯22⨯33⨯42006⨯2007

10、已知方程2(x +1) =3(x -1) 的解为a +2，求方程2[2(x +3) -3(x -a )]=3a 的解。 11、当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x -2|-|x -5|=a ，①有一解；②有无数解；③无解。

第十讲 一元一次方程（2）

一、能力训练点： 1、列方程应用题的一般步骤。

2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）

二、典型例题解析。

1、 要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？

2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？

3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？ ：

4、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？

5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？

6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？

1

7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加满，第二次倒出它

3

1

的后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。 2

8、 某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；

如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？

9、 1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大？

10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A 型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A 型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A 型抽水机抽水？

11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？

12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A 处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？